Strutture Aerospaziali - Esercizi

N F

0.15

1

z 1 1

1 z

A J J

x y

⋅ ⋅

M S M S

⋅

T A x x y y

= + − =

2

z

N 0

2 2

2 A J J

x y

⋅ ⋅

M S M S

⋅

T A x x y y

= + − = ⋅

3

z

N F

0.15

3 3

3 z

A J J

x y

⋅ ⋅

M S M S

⋅

T A x x y y

= + − = ⋅

N F

0.55

4

z 4 4

4 z

A J J

x y

⋅ ⋅

M S M S

⋅

T A x x y y

= + − = ⋅

5

z

N F

0.45

5 5

5 z

A J J

x y

Pannelli:

I pannelli sono in questo caso scarichi

Calcolo dei coefficienti C

ij

• C

11

Sistema reale Sistema fittizio

δ = ⋅

l s

1

e y

L  

l

1

   

{ } { }

{ } { }

T T

∫

δ ' '

= + =

l N N q q dz

 

   

d ⋅ ⋅

TOT E A G t

   

F F

 

F F

= =

y y

1 1

F F

y y

0

δ δ

= ⇒

l l s

e d y

Disponibile in rete sul sito http://www.aero.polimi.it/~anghi/index.htm

Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I 36

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• C

12

Sistema reale Sistema fittizio

δ = ⋅

l s

1

e y

L  

l

1

   

{ } { }

{ } { }

T T

∫

δ ' '

= +

l N N q q dz

 

   

d ⋅ ⋅

E A G t

   

F F

 

F F

= =

z z

1 1

F F

y y

0

δ δ

= ⇒

l l s

e d y

• C

22

Sistema reale Sistema fittizio

δ = ⋅

l s

1

e z

L  

l

1

   

{ } { }

{ } { }

T T

∫

δ ' '

= +

l N N q q dz

 

   

d ⋅ ⋅

E A G t

   

F F

 

F F

= =

z z

1 1

F F

z z

0

δ δ ⇒

=

l l s

e d z

Disponibile in rete sul sito http://www.aero.polimi.it/~anghi/index.htm

Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I 37

________________________________________________________________________________

ESERCIZIO 1 (T.E. 17/3/2000):

Per la trave a semiguscio schematizzata in figura 1.1, determinare lo stato di sforzo completo

(fondamentale e correttivo) all’incastro. Figura 1.1

Dati: -6 2

p = 10 (z + 1) Kg/mm

h = 200 mm

h = 100 mm

1

L = 2500 mm

a = 300 mm

b = 100 mm

t = 1.3 mm (per tutti i pannelli)

2

A = 200 mm (per tutti i correnti)

2

E = 7200 Kg/mm 2

G = 2770 Kg/mm

Disponibile in rete sul sito http://www.aero.polimi.it/~anghi/index.htm

Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I 38

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SVOLGIMENTO.

Il carico applicato produce una coppia torcente variabile lungo l’asse “z”, crescente dall’estremità

verso l’incastro.

Calcoliamo il momento torcente all’incastro: +

a 3

b 2 ( )

= ⋅ = +

braccio della coppia 4 a 3

b

6 3

−

6

+

a 3

b p 10 ( )( )

= ⋅ = + +

forza F ( z ) a 3

b z 1

2 2 4 ( )

= ⋅ +

coppia M ( z ) 0

.

06 z 1

L

∫

= =

coppia all ' incastro M ( L ) M ( z ) dz 187650 Kg mm

0

SOLUZIONE CENTRALE (fondamentale)

Trattandosi di un momento torcente M applicato ad una sezione chiusa, per la formula di Bredt il

z

flusso in tutti i pannelli è lo stesso e pari a (positivo se antiorario):

M 187650

= = =

incastro

q 0 . 67 Kg / mm

[ ]

( )( )

incastro Ω + + −

2 2 2

b a h h bh

1 1

quindi: { } { }

=

N 0 Kg ( solo coppia )

f 0

.

67

 

 

0

.

67

 

 

0

.

67

 

{ } =

q Kg / mm

 

f 0

.

67

 

 

0

.

67

 

 

0

.

67

 

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Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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ESERCIZIO 3 (T.E. 24/1/2000)

Per la struttura a semiguscio schematizzata in figura 3.1, determinare:

1. le azioni assiali nei correnti

2. la posizione del centro di taglio della sezione

Figura 3.1

Dati: L = 2500 mm

a = 200 mm

t = 1.2 mm (per tutti i pannelli)

2

A = 350 mm (per tutti i correnti)

F = 1500 Kg 2

E = 7200 Kg/mm 2

G = 2800 Kg/mm

SVOLGIMENTO

Disponibile in rete sul sito http://www.aero.polimi.it/~anghi/index.htm 40

Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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SOLUZIONE CENTRALE (fondamentale)

Riferendoci alla figura 3.2, calcoliamo i flussi di taglio della sezione, riducendo la struttura ad

albero (aprendo i pannelli 3 e 5): Figura 3.2

S

= − ⋅ =

5

x

' 3

.

75

q T

4 y J x

+

S S

= − ⋅ =

5 1

x x

' 3

.

75

q T

1 y J x

+ +

S S S

= − ⋅ =

5 1 4

x x x

' 0

q T

2 y J x

+ + +

S S S S

− = − ⋅ =

5 1 4 3

x x x x

' 0

q T

6 y J x

= =

' ' 0

q q

3 5

dove: = = = 0

S S S

1 2 3

x x x

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Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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3

= =

S A a 70000 mm

4

x 3

= − = −

S A a 70000 mm

5

x 2 4

= =

Jx 4 A a 28000000 mm

Per l’equilibrio rispetto al polo “3” (momenti positivi se antiorari):

∑ ∗

Ω + Ω =

2 q ' 2 q M

0

i i ext

e quindi: ∗ ∗

Ω + Ω + Ω + Ω =

2 ' 2 ' 2 2 0

q q q q

1 01 4 04 1 1 2 2

dove: 1 π 2 2

Ω = Ω = Ω = Ω = =

a 31416 mm

1 2 04 01 4

da cui sostituendo, si ottiene * *

+ − = −

q q 410 . 62 7 . 5

1 2

Per la congruenza delle deformazioni, dovrà essere (torsione positiva se antioraria):

q l

1

∑

θ θ ϑ

= = = i i

1 2 Ω

2

G t

i i

dove: 1*

q = q ’ + q

1 1 1*

q = q ’ + q

2 2 2*

q = q ’ + q

3 3 2*

q = q ’ + q

4 4 2* 1*

q = q ’ + q -q

5 5 2* 1*

q = q ’ + q -q

6 6

quindi :    

l l l l l

l l l

1 1

+ − − = + + +

6 5 5 6 3

1 2 4

q q q q q q q q

   

1 2 6 5 4 5 6 3

Ω Ω

2

G t t t t 2

G t t t t

   

1 1 2 6 5 2 4 5 6 3

da cui sostituendo, si ottiene * *

− =

q q 0

1 2

Ponendo a sistema le due equazioni trovate,

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Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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 * *

+ = −

q q 7

.

5

 1 2

 * *

 − =

q q 0

1 2

da cui si ottiene: ∗

* = = −

q q 3 . 75 Kg / mm

1 2

I flussi sono quindi: q 0

   

1

   

−

q 3

.

75

   

2

   

−

q 3

.

75

 

 

{ } 3 =

=

q Kg / mm

 

 

f q 0

 

 

4

 

 

q 0

5

 

 

 

 

q 0

 

 

6

CENTRO DI TAGLIO

Esistendo un asse di simmetria, il centro di taglio si troverà su quell’asse; si tratta quindi di

calcolarne la coordinata x .

CT

Riprendendo quanto scritto per il calcolo dei flussi di taglio della soluzione fondamentale,

riscriviamo l’equazione di equilibrio dei momenti evidenziando però la coordinata x del centro di

CT

taglio.

Riferendoci alla figura 3.8, per l’equilibrio rispetto al polo “3” (momenti positivi se antiorari):

Disponibile in rete sul sito http://www.aero.polimi.it/~anghi/index.htm 43

Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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Figura 3.8

∑ ∗

Ω + Ω = ⋅

2 q ' 2 q F x

i 0 i CT

∗ ∗

Ω + Ω + Ω + Ω = ⋅

2 q ' 2 q ' 2 q 2 q F x CT

1 01 4 04 1 1 2 2

da cui si ottiene: * *

+ − − ⋅ = −

q q E x

2

.

387 2 7

.

5

CT

1 2

Per la congruenza delle deformazioni, dovrà essere (torsione positiva se antioraria):

θ θ

=

1 2

e quindi    

l l l l l

l l l

1 1

+ − − = + + +

6 5 5 6 3

1 2 4

q q q q q q q q

   

1 2 6 5 4 5 6 3

Ω Ω

2

G t t t t 2

G t t t t

   

1 1 2 6 5 2 4 5 6 3

da cui sostituendo, si ottiene * *

− =

q q 0

1 2

Per la definizione di centro di taglio dovrà essere:

θ = 0

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Esercizi risolti per il corso di Strutture Aerospaziali N.O. Vol I

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quindi:  

l l

l l

1 + − − =

6 5

1 2

q q q q 0

 

1 2 6 5

Ω

2

G t t t t

 

1 1 2 6 5

da cui: * *

− = −

714 . 2 q 200 q 1178 . 25

1 2

Risolvendo il sistema di queste tre equazioni

 * *

+ − − = −

2

.

387 2 7

.