Stima Puntuale vs Stima Intervallare

DIFFERENZE

STIMA PUNTUALE

• X₁, ..., Xₙ campione casuale

Stima puntuale del parametro θ

Obiettivo:

Strumento

• T = T(X₁, ..., Xₙ) stimatore puntuale

Errore quadratico medio

• MSE(T) = E[(T-θ)²]

Dati campionari:

• x₁, ..., xₙ

Risultato

• Stima puntuale: T = T(X₁, ..., Xₙ)

STIMA INTERVALLARE

• X₁, ..., Xₙ

Stima per intervallo del parametro θ

Strumento

• [L₁, L₂] = [L₁(x₁, ..., xₙ), L₂(x₁, ..., xₙ)] stimatore intervallo di confidenza

Accortezza

• Livello di confidenza
• P(L₁ ≤ θ ≤ L₂) = 1-α

Risultato

• [L₁, L₂] = [L₁(x₁, ..., xₙ), L₂(x₁, ..., xₙ)]

INTERVALLO DI CONFIDENZA PER LA MEDIA (σ² noto)

• X ~ N(μ, σ²) popolazione
• x̄ ~ N(μ, σ²/n) standardizzando

• Z = (x̄ - μ)/(σ/√n) ~ N(0,1)

Z_α/2 numero reale tale per cui

• P(Z > Z_α/2) = α/2
• -Z_α/2 = P(Z < Z_α/2) = α/2
• P(-Z_α/2 < Z < Z_α/2) = 1-α