Psicometria: Limite centrale e stima dei parametri

X

Rispetto alla popolazione, dunque, la deviazione standard della distribuzione campionaria delle

medie è ridotta di un fattore pari a √n

- Se n = 1, l’errore standard della media è pari alla deviazione standard della popolazione

- All’aumentare di n, l’errore standard della media si riduce

- All'aumentare di n la variabilità della distribuzione campionaria delle medie diminuisce fino a

tendere a zero (legge dei grandi numeri)

- Man mano che l'ampiezza dei campioni aumenta, infatti, la media di ciascuno di essi diventa una

stima sempre più «precisa» della media della popolazione, coincidendo con essa quando n = N

- Quando n = N tutte le medie (calcolate su campioni di ampiezza uguale alla popolazione) sono

identiche e la variabilità della distribuzione campionaria delle medie è pari a zero

3. Forma della distribuzione campionaria delle medie

Se la popolazione di riferimento ha forma normale, anche la distribuzione campionaria delle medie

si distribuisce normalmente

E quando la popolazione non ha forma normale?

All’aumentare di n, la forma della distribuzione campionaria delle medie approssima la forma

normale

Se il campione è sufficientemente grande (in genere n > 30), la distribuzione campionaria delle

medie si distribuisce normalmente (anche quando la popolazione non ha forma normale)

Inferenza statistica

L’inferenza statistica consiste nell’inferire una caratteristica della popolazione a partire

dall’osservazione della stessa caratteristica in un campione (sottoinsieme della popolazione)

In altri termini, l’inferenza statistica utilizza l’informazione campionaria (es. x e s) per fare delle

affermazioni sui parametri della popolazione (es. μ e σ) da cui il campione è stato estratto

Ricorda: Si definisce parametro la misura effettuata sulla popolazione e statistica la misura

effettuata sul campione

Nell’ambito dell’inferenza statistica si possono individuare due classi generali di procedure che

affrontano i seguenti problemi inferenziali:

Stima dei parametri: si vuole ottenere, sulla base dell’osservazione della statistica

• campionaria, una stima del parametro della popolazione

Verifica delle ipotesi: data una ipotesi sul parametro della popolazione, si vuole verificare,

• sulla base dell’osservazione della statistica campionaria, se tale ipotesi è accettabile (ovvero

in accordo con i dati osservati)

La stima dei parametri

Uno degli obiettivi dell'inferenza statistica è la conoscenza dei parametri che caratterizzano una

determinata popolazione

Per conoscere esattamente il valore di un parametro abbiamo bisogno di esaminare tutte le unità che

costituiscono la popolazione

Ciò spesso è impossibile: la popolazione da studiare è in genere molto numerosa

Spesso è impossibile conoscere il valore esatto di un parametro

Possiamo tuttavia fare delle stime, si distingue tra stime puntuali e stime intervallari

La stima puntuale

La statistica calcolata su un campione è una stima puntuale del parametro della popolazione

Ad esempio, se vogliamo conoscere il peso medio di tutti i bambini italiani di 6 anni (μ), possiamo:

1. estrarre dalla popolazione un campione casuale di bambini di 6 anni (es. n = 100)

2. misurare il peso di ciascun bambino e calcolare la media campionaria (X)

X è la migliore stima puntuale di μ che possiamo ottenere da un campione di ampiezza n

- La media che abbiamo osservato nel nostro campione di ampiezza n proviene da una

distribuzione campionaria che include le medie di tutti i possibili campioni di ampiezza n

- Nell’esempio, la media calcolata su un campione di 100 bambini di 6 anni proviene da una

distribuzione campionaria delle medie di ampiezza 100

- Come sappiamo, la distribuzione campionarie delle medie ha una media che è pari alla media della

popolazione e una deviazione standard che è influenzata da n: σ = σ/√n

x

Maggiore è l’ampiezza del campione, minore è la dispersione delle medie dei singoli campioni

attorno alla media della popolazione (minore è l’errore standard), più è probabile che la media del

campione che abbiamo estratto sia vicina (simile) alla media della popolazione

La stima intervallare

In ogni caso, la stima puntuale del parametro non è mai identica al vero parametro della

popolazione, a causa delle fluttuazioni campionarie

Per questo è preferibile utilizzare come stima del parametro un intervallo di valori all’interno del

quale possa essere compreso il parametro, piuttosto che un singolo valore

Questo intervallo di valori viene chiamato intervallo di confidenza (o intervallo di fiducia)

Esso include anche la probabilità che il parametro ricada entro tale intervallo (livello di confidenza)

Un campione di 100 unità (n = 100) è stato estratto casualmente dalla popolazione dei bambini di 6

anni: la media del campione è pari a 21.5 (è la nostra stima puntuale)

Non possiamo sapere quanto la media di tale campione si discosti dalla media della popolazione