Statistica applicata - proprietà degli stimatori, stima intervallare

Proprietà degli stimatori

1. correttezza o non distorsione

2. efficienza (confronto stimatori)

3. consistenza

servono a definire un buon stimatore

1. correttezza: molto vicina. medio dello stimatore = parametro da stimare
2. consistenza: allo a della dimensione campionaria, il distribuzione dello stimatore è concentrato intorno al parametro
3. efficienza: uno stimatore è più efficiente dell’altro se ha var <

Correttezza o non distorsione

Uno stimatore è uno stimatore corretto se e sse

\( \mu (T) = \theta \) medio \(\theta \)

La distorsione di uno stimatore è calcolabile se lo stimatore non è corretto:

\( B(T) = \mu(T) - \theta \)

Bias

1. correttezza asintotica

   Uno stimatore potrebbe essere distorto per n piccolo e non distorto per n grande.

2. \(\lim_{n \to \infty} \mu (T) = \theta \)
3. error quadratico medio (mean square error)

\( eqm = mse(T) = \mu[(T - \theta)^{2}] \) quanto lo stimatore va intorno a \(\theta \)

Proprietà

• \( mse(T) = \mu[(T - \theta)^{2}] = Var(T) + B(T)^{2} \)
• Var(T) = \mu[(T - \mu(T))^{2}]

se lo stimatore è corretto la distorsione è nulla

\( mse(T) = Var(T) \)

Proprietà dello stimatore

• Correttezza o non distorsione
• Efficienza (confronto stimatori)

Servono a definire un buon stimatore

1. Correttezza

Medio dello stimatore: parametro da stimare

1. Consistenza

Tutto della chiamata campionaria è distribuzione dello stimatore.

1. Efficienza

Uno stimatore è più efficiente dell'altro. Peana.

Correttezza o non distorsione

Uno stimatore T è uno stimatore corretto se e solo se

E(T) = θ

La distorsione di uno stimatore è calcolabile se lo stimatore non è corretto.

B(T) = E(T) - θ

Correttezza asintotica

Uno stimatore potrebbe essere distorto per il piccolo se non distorto per il grande.

n⟶∞

E(T) = θ

G per valutare la prossimità di T a θ, usando l'errore quadratico medio

MSE(T) = E[(T - θ)²]

Quando lo stimatore va vicino a θ

Proprietà

• MSE(T) = E[(T - θ)²] = Var(T) + [B(T)]²

Se lo stimatore è corretto la distorsione fosse nulla

MSE(T) = Var(T)

Consistenza

Se prendiamo campioni sempre più grandi la p che il valore dello stimatore coincide con θ → 1.

lim_n→∞ P(|Tn-θ|ε)=1, dove (ε>0)

Come verificare questo?

1. Teorema con condizioni sufficienti (ma non necessarie)
   • lim_n→∞ M(Tn) = θ lo stimatore deve essere almeno asintoticamente corretto
   • lim_n→∞ Var(Tn) = 0 la distribuzione si stringe più distribuita intorno a M(Tn)

Efficienza o Accuratezza

Mi riferisce al confronto tra due stimatori

1. Dati 2 stimatori T1 e T2 di uno stesso parametro
   • T1 è più efficiente di T2 se
     • NSE(T1)≤ NSE(T2) → efficiente quello che ha termine più piccolo
     • Dati 2 stimatori corretti si dirà che T1 è più efficiente di T2 se
       • Var(T1) ≤ Var(T2) e valore θ = θ → più è piccola meglio è

Verifica delle proprietà degli stimatori

Media Campionaria

• M(X) = μ è uno stimatore corretto per la media della popolazione
• dimostrativo
  • M(ΣX_i)
    • Esempio(ΣX_i)
    • ΣE(X_i)
    • Σp_i(t_i) = ^Σ(X) (Σ p_i)
    • ΣE(X_iA(t_i))
  • Proprietà degli Operatori Media

L'operatore media si presenta uguale per qualsiasi

• l'operatore media = l'operatore uniforme
• la var(x)^n-1 < μ è uno stimatore consistente
• poiché per lim_n→∞ mse(x_n) = lim_n→∞ var(x_n) → 0
• consistenza poiché prende la potenza → 0
• con n > 0 poiché media la potenza

Dimostrazione

VAR(X) = VAR(_1/n ΣX_i)

_1/n ΣVAR(X_i) + 2ΣΣcov(X_i,X_j)

per sommare la VAR è necessario porla al quadrato

VAR(λX) = λ²VAR(X)

_1/n² ΣVAR(X_i)

Proprietà della VAR

1. VAR(C) = 0
2. VAR(CX) = C²VAR(X)
3. VAR(X+Y) = VAR(X) + VAR(Y) + 2Cov(X,Y)

Variatore Campionaria

μ/Σ(x_i - μ)²

n = n non è uguale al parametro (Θ = σ²) la stimatore non è corretto

lim

μ/ΣΣ(x_i - x^-)² = _n-₁ con μ/lim tende a n

Dimostrazione

Applicando la dimostrazione ai termini e la proprietà della media campionaria

A + B²

C = 2AB doppio prodotto

Var delle variabili

Var della media campionaria

Σx² = Σ x² / (n - 1)

... dalla definizione

G_animatore (variabile corretta) ⇒ µ = E^µ

s² è corretta per la varianza; la sua media multipa è: q(s²) = s²

h = _n⁄^n-1 Σ(x_i-x)

vale quindi quanto detto prima:

se j è c.c.s. deriva la sua normale ⇒ s² è anche uno stimatore consistente

(lims_n→∞ nse(s²) = 0, lims_n→∞ Var(s²) = 0)

G_stimatore

è h noto e θ incognita

lo stimatore è µ corretto; infatti la sua media è q(s²) = s²

h = _n⁄^n-1 Σ(x_i-x)

se j è c.c.s. è distribuito come una variabile ⇒ s² è anche consistente per x²

G_{proporzioni campionaria} ⇒ la facciamo sempre in retto poiché si tratta della media campionaria di una Bernoulli

P^{animatore corretto} lo q(P) = π

tao var (p) = _π(1-π)⁄ⁿ lo stimatore è consistente poiché

(lims_n→∞ nse(P) = lims_n→∞ π(1-π) = 0, _n→∞ π(1-π) = 0)

una Bin con n=1

Bin (n, π)

descrive 2 pole xi dada (successori/successo)

dove π è la p di A

P=X1

dove i x_i sono n successi estratti dalla Bernoulli

esercizio campione IID campionaria π=¼

estratto da una polpa con media v e varianza x²

Dato che stimatori equivalenti quello più efficiente è y

• T₁ = X
• T₂ = X₁ +2X₂ + 3X₃ + X₄⁄4
• N(T₁) = h(X) = µ

Lo stimatore corretto B(T₁) = 0

Var(T₁) = Var(X) = s²⁄n = _s²⁄⁴

nse (T₁) = var (T₁) + B(T₁)²

nse (T₁) = _s²⁄⁴

1. nse (T₁) ≤ nse (T₂)
2. → stimatore più efficiente
3. ML(T₃) = a(x) + 2x₂ + 3x₃ + x₄⁄4

(a(X)₃)= ₁⁄^4hμ, a + è uno stimatore incorretto

Perché, campione IID e X; N(X_i) = μ

B(T₂) = θ^{2 μ}⁄_1u

dato, ponne

Var(T₂) = Var(x) = UX₂ + x₃ + X₄

+ ₁⁄⁴ Var(x₃) + ₃₁⁄⁶⁴ Var(x)₄

+ ₂₁⁄¹⁶Var (X

= 16

= 15⁄16

1. nse(T₁) = ₄⁄¹⁵
2. nse(T₁) < nse(T₂)
3. (α=0) x θ ≠ d

Metodo di reperimento degli stimatori

• Metodo dei momenti
• Metodo delle verosimiglianze
• Metodo dei minimi quadrati

Data un campione estratto da una popolazione X

La verosimiglianza è funzione del parametro (dati sono fissi)

• L'(θ) indica quanto è probabile uno specifico parametro ignoto

Se L(θ₁) > L(θ₂)

θ₁ è il parametro più verosimile

Equazione di verosimiglianza

Otteniamo quindi una v.c. dello stimatore di max verosimiglianza

• Se la pop. è una N(μ,σ²) ne è...

Proprietà degli stimatori di max verosimiglianza:

• Asintoticamente corretti
• Consistenti
• Asintoticamente efficienti
• Asintoticamente Normali

Stima intervallare

Abbiamo un intervallo di valori o probabilità aggiungendo anche una probabilità che l'intervallo contenga effettivamente θ.

Intervallo di confidenza/di fiducia

• Probabilità di trovare θ-σε θ+σε nell'intervallo prefissato (di valore assoluto).
• Probabilità fissata dal dato da cui calcolare il parametro (lunghezza dell'intervallo).

Si possono trovare:

• Intervalli di confidenza per la media σ² nota.
• Intervalli di confidenza per frazione/percentuale.
• Intervalli di confidenza per la varianza.

Intervallo di confidenza per la media con varianza nota

La pop deriva da v.c normale X~N(μ,σ²) σ²₀ = var. nota

Volendo stimare la media il miglior stimatore è la media campionaria.

Z = _X¯ - μ / σ0/√n ~ N(0,1) standardizzata.

Se la v.c è N anche _X¯ è una normale (μ, σ²/n)

P(-z_α/2 ≤ _X¯ - μ / σ0/√n ≤ z_α/2) = 1 - α

2z_α/2 è il percentile (1-α/2) della N(0,1).

Quantità incognite che dipendono da α

Sfruttando l'aspetto a 1 la P che può cadere nel intervallo.

P(X - z_α/2 σ0/√n ≤ μ ≤ X + z_α/2 σ0/√n) = 1-α

IC: X_¯ - z_α/2σ0/√n ≤ μ ≤ X_¯ + z_α/2σ0/√n

Formula per trovare l'intervallo di confidenza con un certo grado di fiducia 1 - α.

Come trovare z_α/2?

• si moltiplica α per dividere tutto ciò che sta a sinistra per quello che ti portano le tabelle
• n-1 x = 0,95 <- dato
• x = 0,05
• x/2 = 0,025

z_α/2 = 1-0,025 = 0,975

Trovo questo valore all'interno della tavola

E scrivo i valori esterni

• 3_α/2 = 1,96

Se la distribuzione non è Normale?

• per n>50¹ la media campionaria tende ad una Normale

2. Intervallo di confidenza

• per la media con varianza incognita
• la pop deriva da v.c. normale
• X~N(μ, σ²/ n)

** uguale

Utilizziamo ancora lo stimatore media campionaria

• z = x-μ
• ^S/√n

t_(n-1)

• N-1 gradi di libertà

dove N è la dimensione del campione

** stimatore var campionaria corretto

** studio α^S con S²

• e la distribuzione dello X è una t-student

(IC = x ± t_n-α x S/√n)

x ± t(n-α) x S/√n

(1)

Intervallo di confidenza da ricercare nei percentili della t-student

Esempio

• n = 20
• α-x = 0,95
• x = 0,05
• x/2 = 0,025

t_(n-1); x/2 = 2,093

20 /19· 42,25 = (44,47)

t-student diventa una N(0,1) standardizzata

20 /(49 · 42,25/20

• 42.25
• 49 · 2,093/20
• 42,25

97,88^± 104,12

Anche se la X non è normale

(1) per la distribuzione normale

3. Intervallo di confidenza per la proporzione

La frazione incognita π

v.c. Bernoulliana di parametro incognito p:

P=(X/n) ~ N (p; √p(1-p)/n)

distribuzione Normale

proporzione campionaria

Sostituisco IC con v.c. Normale

p ± z_α/2 √(p(1-p)/n)

Propagazione approssimata con una Normale

esempio: π=?

N=100

α=0,05

z = 0,025

P = 70/100

IC = 0,7 ± 0,0984; [0,6016, 0,798]

IC per la media con X Normale e varianza nota

• [ x̄ - z_α/2σ/√n; x̄ + z_α/2σ/√n ]

IC per la media con varianza ignota

per n≤50

• [ x̄ - z_α/2s/√n; x̄ + z_α/2s/√n ]

IC per la media con X Normale e varianza ignota

per n≤50

• [ x̄ - t_n-1/2s/√n; x̄ + t_n-1/2s/√n ]

IC per la media con varianza ignota (anche se X è Normale)

• [ x̄ - t_N-1/2s/√n; x̄ + t_N-1/2s/√n ]

IC per la proporzione

• solo se n>100
• [ p - z_α/2 √(p(1-p)/n) ; p + z_α/2 √(p(1-p)/n) ]

P(π) = P(N)

4. Intervallo di confidenza per la varianza

La varianza campionaria corretta S²

n-1 chi quadrato con n-1 gradi di libertà

p(π) 1

• Non è parametrico per la formula

Errore di prelievo del campione della stessa

L’importante è che il campione sia rappresentativo

Ossa campione dell’intervallo

∈ limite pulp limite mi̅

1. errore è la campionessa s del campione

2 IC per 10 medes con % = 2.s celte

δ = 2 √(s²/n)

3. IC per 10 medes con x = N = s proprieto

δ = t (n-m) ^s/√n per campioni piccoli

δ = z s/√n per campioni grandi

3. IC per il proporzions

δ = 2x /√p(1-p) per n ≥ 100

→ p "incognito" di solitto

Dato il tale è possibile trovare queti l n ≥ p la precisione della stessa

non ma aggiusterei un δo datas

se il valore dirutto non è un numero intero

→M prendere come dimensione

campionessa il primo intero

superiore al valore a colocato

Esempio

la prepa medes ausupis v.c N(μ,2s) con valore vero o 1,2 cm

e un n iteravollo di coagiduzione con livetto li dio e 95%

di campenesso di calcolore la miaumenzione campiondicio n

δ = 2,96. s/√n δ= 2,96. s/√n

μ = 1,2→ 95

x = 0,05

→ 0,025 p →

μ = 0,25 → 0,025

campione IC = (x s)/√n

→ 96

campione IC = (x− δ x)/√n

2,96 5/√n . aoolore

6 = 2,96.5/√n

6 = 2,96.5/√n = 2,96. s/√n

n=40,67 →

Esemplio

formula 2/3 δ/6

propensione pereditis

calculare ni infatti di intervento per avere π misure di cofaduzione

→ 90% 100 piu- campione IC

΄ seu- campione ^≥0,1

nove: ampianta

δ = 2 x /√p(1−p)

π ˃ 0,5

piu˛ 1, p→√n

1− x = 90%

x = 0,1

√x/√p (1−p)

√n

δ = 1,64/√0,5(1−0,5)

1,64

= 0,04

1 = 6,24

formula operativo proporsione

n ˃ (x/2 (√p(1−p)

60