Statistica - Tutte le formule utili per il corso

Variabili aleatorie

Variabile aleatoria singola

È un esperimento probabilistico di cui gli esiti possibili sono numerici e si riesce a conoscere o a stimare: (, ) (, (∈ ]) ∀ ]

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria è: [0,1], () : ℝ → = ( ≤ ) Da cui si ha che: (, )( ∈ ] = () − () −[, )( ∈ ] = () − lim () = () − ( ) − → − −) ) )( ∈ [, ) = ( − (−(, ) )( ∈ ) = ( − ()

Variabili aleatorie discrete e continue

Variabili aleatorie discrete: () = ∑ ( = ) = ∑ ()

Variabili aleatorie continue: () = ∫ ()

Dove è la densità di probabilità che deve ∈(,] ∈(,] rispettare:

• () ≥ 0 ;()
• Dove è una funzione a gradini, i quali in +∞ sono di ampiezza −∞ − +) ),() = ( = (

Per la continuità si ha ( = ) = 0 quindi il valore atteso di è: () = ∫ ()ℝ

Valore atteso

Variabili aleatorie discrete: +∞() = ∑ • ()

Variabili aleatorie continue: () = ∫ • =1 −∞

Con proprietà che sono:

• , ( • ) = () + ()
• Se allora ;( + ) = () + 2.
• ;( + ) = () + ()3. ; +∞ () = ℝ(), () = ℝ() •
• Se allora ∫ −∞

Varianza

La varianza di è: 2( − )2 2 2 2)() = (( − ()) ) = ( − oppure = ∑(()) =1

Con proprietà che sono:

• ( + ) = () + () + 2 • (, )1. ;
• 2( + ) = ()2. .(, )

Dove è la covarianza: (, ) = (( − ())( − ())) = () − ()()

Con proprietà che sono:

• (, ) = (, )1. ;( + , ) = (, )2.
• ;( + , ) = (, ) + (, )3. .

Funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti è: () ) = (() o ()| ) = ( ;() =0o () () () = ∀ ∈ ℝ = ()se e solo se ; o () () () , = + Se allora ;+ o (). = + , = • Se allora

Variabile aleatoria doppia

(, ) è una variabile aleatoria doppia e conoscere la distribuzione di questa vuol dire saper calcolare 2 (, (, )((, ) ∈ ) ∀ ∈ ℝ = ( ∈ ] ∩ ∈ ](, (, )

Distribuzione discreta e continua

Distribuzione discreta: ((, ) ∈ ) = ∑ (, )

Distribuzione continua: ((, ) ∈ ) = ∬ (, )

Dove è la densità doppia congiunta e le marginali sono:

• () (, = ); ∫ −∞ +∞
• () (, = ); ∫ −∞ +∞

Funzione di ripartizione congiunta

La funzione di ripartizione congiunta è: (, ) = ( ≤ , ≤ )

Le distribuzioni marginali di x e y sono:

• () (, = lim ) y→+∞
• () (, = lim ) x→+∞

Nota che: () () (, → ) (, () () ) → (, )

Valore atteso di una distribuzione continua

(,((, )) = ∬ (, ) • ) 2ℝ

Distribuzioni discrete

Distribuzione di Bernoulli

~ ()

Se: ( = 1) = 1, se A si verifica′ = indicatrice dell evento A = = →{ 0, se A non si verifica ( = 0) = 1 −

Valore atteso e varianza: (1() = () = • − )

Distribuzione binomiale

~(, )

Se conta il numero di successi in prove ripetute, ciascuna con probabilità di successo: −(1( = ) = ( ) • − )

Valore atteso e varianza: () = • () = • (1 − )

~() = 1 … Nota che se per e ogni è indipendente con le altre, allora: = ∑ ~(, )=1

Inoltre: ~(, )1 ~(, ) → + ~( + , ){ }2 1 2 1 2

Distribuzione di Poisson

~()

Se conta eventi “rari”, ossia eventi che si verificano con un intervallo di tempo abbastanza grande: − = ( = ) = ! ()

Valore atteso e varianza: 2 () = () = + ( −1)() = Nota che: ) ~(1 1 )) → + ~( + { } ~( 1 2 1 22 2 1 2

Distribuzioni continue

Distribuzione uniforme

Variabile aleatoria singola: ~ (, )

Variabile aleatoria doppia: (, ~ ()

Se: Se:, ∈ (, ) , , ∈ (, () ) = { = {