Statistica

I

La proprietà dice soltanto che, fra tutte le costanti h che potremmo inserire nella formula Y5 -

come sottraendo, la media aritmetica è quella che genera il risultato più piccolo: vale a dire, la più

̅

piccola somma di quadrati di scarti.

2 y5 h)

-

5 1

= Lyn-h

h

y3-h)"

h) h)

Y 45

+ Somm

yz degli Scri

+

+ + ....

-

- -

do de non do euro

CALCOLO della media aritmetica:

1. SUCCESSIONI DI VALORI → {yj}j =1, 2, ..., n

2. DISTRIBUZIONE DI FREQ. CON MODALITÀ PUNTUALI → {yi, ni}i = 1, 2, ...,k

3. DISTRIBUZIONE DI FREQ. RELATIVE CON MODALITÀ PUNTUALI → {yi, fi}i = 1, 2, ...,k

4. DISTRIBUZIONE DI FREQ. CON MODALITÀ INTERVALLARI → {yi-1 ni}i = 1, 2, ..., k

⊣yi,

1. SUCCESSIONI DI VALORI → {yj}j =1, 2, ..., n

N.B. La media aritmetica può essere un valore decimale: i decimali si tengono, anche se Y è un

carattere quantitativo discreto, perché la media aritmetica è un valore teorico, non la realtà.

N.B. In questo esempio, teniamo più di 2 cifre decimali perché la media aritmetica sarà utilizzata nel

corso delle lezioni per ulteriori calcoli.

2. DISTRIBUZIONE DI FREQ. CON MODALITÀ PUNTUALI → {yi, ni}i = 1, 2, ...,k

k

-

Yi

&

My Y Yz Yr

Yi

n ni

nz n

ni+ .

+

- + - -

+ + . =

= ...

= ... n

n

3. DISTRIBUZIONE DI FREQ. RELATIVE CON MODALITÀ PUNTUALI → {yi, fi}i = 1, 2, ...,k

Considerando la formula per il calcolo della media aritmetica in una distribuzione di frequenze

assolute, e ricordando che si ottiene:

Si M(y) 2Yi 2 fi

Y:

G

Ri i .

= = = =

R

N.B.) Se disponiamo della successione {yi, ni}i = 1, 2, ..., k, ai fini dell'accuratezza del risultato è

meglio calcolare la media aritmetica sulla distribuzione di frequenze assolute (dove viene calcolato

un solo quoziente) piuttosto che sulla distribuzione di frequenze relative (dove vengono invece

calcolati k quozienti, tante quante sono le classi).

N.B.) Non esistono differenze concettuali fra le tre formule; riproduce infatti:

MY 27:

2 g

= :

.

=

Zyini

· gi

per n

=

,

Zy

· =

i

per

,

4. DISTRIBUZIONE DI FREQ. CON MODALITÀ INTERVALLARI → {yi-1 ni}i = 1, 2, ..., k

⊣yi,

2Yin

E

M(y) Yi Yi Yi

: 1

= +

-

= = 2

N.B. Il valore ottenuto dalla distribuzione con intervalli è diverso dal valore 13,0625 ottenuto dalla

distribuzione con modalità puntuali a causa del carattere eterogrado delle modalità intervallari:

ciascun intervallo comprende infatti, per definizione, valori diversi.

In sintesi, quindi, la media aritmetica M(Y) viene calcolata, a seconda dei casi, come segue:

PROPRIETÀ AGGIUNTIVE (NON DEFINITORIE) DELLA MEDIA ARITMETICA

1. PROPRIETÀ DI EQUIVARIANZA RISPETTO A TRASFORMAZIONI LINEARI

W

Se by bMy

allora Mw a

a =

+ +

=

2. PROPRIETÀ ASSOCIATIVITÀ

Se il carattere Y viene osservato in un insieme di n u.s. suddiviso in G gruppi di numerosità

n1, n2, ..., ng, ..., nG , allora: M(y) I g

Tem+Tanzt

G Yeng+ Jano g

+ .

=

= ... =

... n

d e no

e e n

b) MEDIA GEOMETRICA (solo per caratteri Y quantitativi, con valori tutti positivi)

TASSO DI INDICE MEDIO: è quel valore che, sostituito a ciascuno dei tre fattori moltiplicativi, lascia

invariato il risultato.

Possiamo intanto notare che, se la relazione che lega la somma iniziale alla somma finale è una

legge moltiplicativa devo estrarre la RADICE n del prodotto.

Data una successione {yj} j=1, 2, ..., n di valori tutti positivi di un carattere quantitativo Y, la MEDIA

GEOMETRICA è la radice n-esima del prodotto degli n valori: "45=

Mo Y 4530Vj

Mg

=

Nelle distribuzioni di frequenze {yi, ni} e in quelle di frequenze relative {yi, fi}, con i = 1, 2, ..., k, la

formula assume rispettivamente le seguenti forme: I

Mo(Y) Ti r

Mo(4) 8"

"

E Y Y

me meg

:

= :

= =

=

La MEDIA GEOMETRICA, in generale viene calcolata quando il prodotto è positivo.

N.B. Se la media aritmetica è quel valore che, sostituito alle n osservazioni, ne lascia invariata la

somma → y1 + ...+ yj +...+ yn = y + ...+y

+ ...+y

. La media geometrica è invece quel valore che,

̅ ̅ ̅

sostituito alle n osservazioni, ne lascia invariato il prodotto: y1 ·...·yj ·...· yn = mg ·...·mg ·...·mg.

La scelta sulla media da operare, si basa sulla scelta dei caratteri operativi.

QUANDO USIAMO UNA MEDIA GEOMETRICA? La MEDIA GEOMETRICA trova quindi impiego

su quei valori (positivi) che vengono per natura moltiplicati fra loro anziché sommati

(es. Rapporti, i tassi di variazione, tassi di interesse, tassi di inflazione, indici…) tutto quello che è

costruito in termini di rapporto.

ATTENZIONE !

Quando vogliamo studiare la variazione di un fenomeno nel tempo, il confronto viene effettuato

solitamente non in termini di differenza, ma in termini di rapporto.

Il rapporto può assumere due diverse forme:

1. TASSO DI VARIAZIONE (O TASSO DI CRESCITA): Pt Pb

-

Pb

- : la variazione nel tempo è stata POSITIVA (incremento, cresce)

Pt Pb >0

-

Pb

- : la variazione nel tempo è stata NULLA (invariato, non c’è stata variazione)

Pt P o

- =

- : la variazione nel tempo è stata NEGATIVA (decremento, c’è un calo)

Pt b = 0

- bIt

2. NUMERO INDICE: (Numero indice con base b riferito al tempo)

Pt

Pb

- : la variazione nel tempo è stata POSITIVA (incremento, c’è un aumento)

bIt < 1

- : la variazione nel tempo è stata NULLA (invariato, non c’è variazione)

bIt 1

=

- : la variazione nel tempo è stata NEGATIVA (decremento, c’è un calo)

b I t <0

N.B. Questi due modi sono EQUIVALENTI tanto che se ho uno dei due posso trovare l’altro;

valgono le seguenti relazioni: Ptb Pt

bIt- bIt=

1 1

<

=

DETERMINAZIONE del TASSO DI CRESCITA MEDIO ANNUO

Per determinare il tasso di crescita medio annuo nel periodo considerato, occorre:

1. riconoscere che la relazione che lega il prezzo iniziale al prezzo finale è una LEGGE

MOLTIPLICATIVA

2. identificare i FATTORI MOLTIPLICATIVI che entrano in gioco

3. trattandosi di fattori moltiplicativi, MEDIARLI in termini di media geometrica

4. essendo richiesto non il numero indice medio, ma il TASSO DI VARIAZIONE MEDIO, occorre

sfruttare la relazione generale tra numero indice e tasso di variazione. occorre

bIt

Pt Pb 1

- -

=

pb

cioè sottrarre 1 dalla media dei numeri indici.

ATTENZIONE!

• lavorare sui TASSI DI VARIAZIONE non sugli indici

• Ignorare la struttura moltiplicativa

• Se chiede il tasso di variazione devo fare -1

e

e a me no

c) MEDIANA (per caratteri Y quantitativi o qualitativi ordinabili)

Considerazioni generali:

1. La media geometrica NON può essere calcolata se nella successione ci sono valori negativi.

2. Se il carattere è quantitativo; potremmo calcolare la media aritmetica, che risulterebbe essere

nella maggior parte dei casi sballata; a causa di DATI ANOMALI. Questa media ci da quindi una

sintesi inappropriata.

Il problema è che la media aritmetica, essendo una media algebrica, risente di TUTTI i valori

osservati, compreso il valore anomalo. In tale situazione potrebbe essere più consona una MEDIA

LASCA (o MEDIA DI POSIZIONE) come la MEDIANA.

Per calcolare la mediana si segue il seguente schema:

1. ordinare le osservazioni in ORDINE CRESCENTE, ordino le osservazioni Yj

2. individuare i POSTI CENTRALI (o il posto centrale, se n è dispari)

- se n è PARI: i posti centrali sono due, in posizione:

nei 1

+

- se n è DISPARI, il posto centrale è uno soltanto:

3. assumere come valore di sintesi della successione, il rendimento Y che occupa i posti centrali (o

il posto centrale).

La MEDIANA è la modalità di Y che occupa il posto centrale nella successione ordinata (crescente

o decrescente) dei valori: il "VALORE MEDIANO" è dunque preceduto e seguito dallo stesso

numero di osservazioni.

Per le sue caratteristiche, la mediana può essere determinata su:

• caratteri quantitativi

• caratteri qualitativi ordinabili.

N.B. La mediana è una media lasca.

N.B. La mediana è robusta rispetto alla presenza di valori anomali; viene utilizzata quando ci sono

dati anomali poiché non risente della presenza di dati anomali. do

ne de

d) MODA (per ogni tipologia di carattere)

La moda Mo(Y) è la modalità (puntuale o intervallare) dei caratteri Y alla quale è associata la

frequenza più elevata.

Per determinare la moda devo:

1. sintetizzarla in classi

2. vedere qual’é la frequenza piu elevata

3. guardare a quale carattere corrisponde la frequenza più elevata.

Si adopera quando si cerca la modalità più diffusa nell'insieme statistico, la più tipica (ES. per le

taglie dei capi di abbigliamento: la misura media aritmetica potrebbe non corrispondere ad alcun

individuo dell'insieme ...).

Per determinare la moda occorre:

• predisporre la distribuzione di frequenze.

• L'individuazione della moda non pone particolari problemi di calcolo.

N.B. Possono esistere più modalità che presentano la frequenza massima: la distribuzione viene

detta in tal caso PLURIMODALE (o ad es. bimodale se presenta due mode).

N.B. Quando le modalità si presentano tutte con la medesima frequenza, la distribuzione viene

detta "UNIFORME": in tal caso la distribuzione è priva di moda.

-

-

-

-

5- MISURE DI VARIABILITÀ

Le medie sono indicatori sintetisi, che fotografano il fenomeno in una sola informazione.

IMPORTANTE:

Una misura di variabilità, per essere tale, deve avere le seguenti caratteristiche:

• deve VALERE ZERO quando (esclusivamente quando) non c’è variabilità

• deve assumere VALORI via via MAGGIORI esclusivamente al CRESCERE DELLA

VARIABILITÀ

Le misure di variabilità che vedremo riguardano i caratteri quantitativi e sono le seguenti:

a) INTERVALLO DI VARIABILITÀ (O RANGE)

b) VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD

c) COEFFICIENTE DI VARIAZIONE

d) INDICE DI CONCENTRAZIONE DI GINI

a) INTERVALLO DI VARIABILITÀ (O RANGE)

L'intervallo di variabilità è la differenza tra il valore osservato più grand