Statistica: teoria ed esercizi

STATISTICA II PARTE: Variabili Casuali, capitoli 2, 3, 4

• Variabile casuale: dato uno spazio di probabilità è una corrispondenza tra gli elementi di e i numeri reali che soddisfa la condizione
• Immagine supporto: insieme dei valori che la variabile casuale può assumere (funzione di probabilità).
• Funzione di ripartizione

• Continua da dx
• Discreta: v.c. assume numero finito di valori, → già costruite a tratti
• Continue: v.c. assume valori di un intervallo \text{continua}">

Derivate di variabili aleatorie

• Caso discreto:
• Caso continuo:
• Valore atteso:
• Valore atteso di una funzione di una variabile casuale

• Varianza:
• Moda: valore per cui la densità è massima
• Quantile: dato , si dice quantile di ordine
• Mediana:
• Scarto quadratico medio:

STATISTICA

II PARTE: Variabili Casuali, Capitoli 2, 3, 4

• Variabile casuale: dato uno spazio di probabilità ( Ω, A, P ), è una corrispondenza tra gli elementi di Ω e i numeri reali che soddisfa la condizione X: Ω → X(ω) ∈ F(A_t)

• Funzione di distribuzione: F_x(t) = P(X ≤ t) = P(A_t)

• Proprietà:

  • F_x: ℝ → [0,1]
  • lim_t→∞F_x(t) = 1
  • lim_t→-∞F_x(t) = 0

• P(X = X_o) = lim_t→xo⁺F_x(t) - lim_t→xo^-F_x(t)

• Continua da dx: F_x(x_o) = P(X ≤ x_o) = lim_t→xo^-F_x(t)

• Discreta: v.c. assume numero finito di valori

• Continua: v.c. assume valori di un intervallo I ⊆ ℝ → F_x continua

• Definizioni di variabili aleatorie:

  • Caso discreto: p_x(x) = P(X=x) = {P(X=X_i) x=x_i

  • Caso continuo: P(a < X ≤ b) = ∫_a^bf_x(x)dx

• Valore atteso:

  • Caso discreto: E(X) = ∑_ix_iP(X=x_i)

  • Caso continuo: E(X) = ∫_-∞^∞x