Statistica: teoria ed esercizi

STATISTICA III PARTE: Variabili Casuali, Capitoli 2, 3, 4

• Variabile casuale

• Immagine supporto: "insieme dei valori che la variabile casuale può assumere e la funzione di ripartizione"

• Funzione di ripartizione

_FX(t) = P(X ≤ t) = P(A_t)

_FX(t): ℝ → [0, 1]

• _{lim t→ -∞} F_X(t) = 0

• _{lim t→ +∞} F_X(t) = 1

Continua da dx

F_X(x₀) = P(X ≤ x₀) = _{lim t → x0⁺} F_X(t)

_{< /sub> discreta: v.c. assume numero finito di valori /sub> continua: v.c. assume valori di un intervallo ⊆ ℝ}

Distribuzioni di variabili aleatorie

• Caso discreto:

p_i(x) = P(X = x_i)

• Caso continuo:

P(a < X ≤ b) = ∫_a^b f_X(x) dx

• Valore atteso

E(X) = ∫_-∞^+∞ (1 - F_X(t)) dt = ∫_-∞^+∞ f_X(t) dt

Caso discreto: E(X) = Σ x_i P(X = x_i)

Caso continuo: E(X) = ∫_-∞^+∞ x f_X(x) dx

• Valore atteso di una funzione di una variabile casuale

E(g(X)) = Σ g(x_i) P(X = x_i)

E(g(X)) = ∫_-∞^+∞ g(x) f_X(x) dx

Varianza

• Se E(X) = m, Var(X) = E((X - m₁)²)

• Moda: valore per cui la densità è massima

• Quantile: dato α ∈ (0,1) si dice quantile di ordine α il più piccolo numero X_α tale che P(X ≤ X_α) = α si ≤ P(X ≤ X_α)

• Mediana: X_0.50

• Scarto quadratico medio: σ = √(V(X)) (deviazione standard)

Momenti

μ_k = E(X^k) = Σ_i x_i^k p_X(x_i)

μ_k = E(X^k) = ∫_-∞^+∞ x^k f_X(x) dx

Variabili casuali notevoli

• Normale/gaussiana

X ~ N(μ, σ²)

f_X(x) = 1/√(2π σ²) e^{-(x-μ)2 / 2σ2}

Bernoulli

X ~ Ber (p) 1: successo, 0: altremati

• P(X=1) = p
• P(X=0) = q
• E(X) = p
• V(X) = pq

Binomiale

X ~ Bin (n, p)

P(X=k) = (n k) p^k q^n-k , k ∈ {0, 1, ..., n}

E(X) = np

Ψ(X) = npq

Geometrica

X ~ Geo(p)

P(X=k) = q^k-1 p

E(X) = 1/p

V(X) = q/p²

Ipergeometrica

X ~ iper(N, K, n)

P(X=k) = (K k)(N-K n-k) / (N n)

E(X) = n K / N

V(X) = n K / N (N-K/N)(N-n/N-1)

Poisson

X ~ poi (μ)

P(X=k) = e^-μ μ^k / k!

E(X) = μ

Var(X) = μ

Funzione di ripartizione:

F_X = P (X ≤ x) = ∑_{t ≤ x} P(t)

1. 0   x < -5
2. 1/36   -5 ≤ x < -4
3. 3/36   -4 ≤ x < -3
4. 6/36   -3 ≤ x < -2
5. 10/36   -2 ≤ x < -1
6. 15/36   -1 ≤ x < 0
7. 21/36   0 ≤ x < 1
8. 26/36   1 ≤ x < 2
9. 30/36   2 ≤ x < 3
10. 33/36   3 ≤ x < 4
11. 35/36   4 ≤ x < 5
12. 1   x > 5

Funzione di probabilità

Funzione di ripartizione

b) P(- 2 < x < 0) = P(X = -1) + P(X = 0) = 11/36

c) E(x) = ∑_x=-5 x P(x) = -5 . 1/36 - 4 . 2/36 + ... + 5 . 1/36 = 0

V(x) = E(X²) - [E(X)]² = ∑_x=-5⁵ x² P(x) = 25 . 1/36 + 16 . 2/36 + ... + 25 . 1/36 - 35/6

d) Z = X²

S_zx = {0, 1, 4, 9, 15, 25}

P(Z = 0) = P(X = 0) = 6/36

P(Z_zx = z_j) = P({x = -i} ∪ {x = i}) = P(x = -i) + P(x = i)   i = 1, ..., 5

Variabili Casuali

9

P_X(x) = ^{exp(-5) 5x}/_x!     x = 0, 1, 2, 3, ...

1. Y ~ Po(5)

   P(y = 0) = ^{e-5 50}/_0! = 0,00673

2. X ~ Bi(25, p)     p = P(y = 0) = 0,00673

   P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)] =

   = 1 - [0,844 + 0,1432 + 0,0116] = 0,0012

10

X ~ N(1, 0,009²)

1. P(X < 0,980)

   P(X < 0,980) = P (X - 1)/0,009 < (0,980 - 1)/0,009

   = Φ(-2,22) = 1 - Φ(2,22) = 1 - 0,9868 = 0,0132

   Φ(2,22) = P(Z ≤ 2,22) = trova nelle tavole

2. Y = v.c. che conta le scatole che pesano meno di 980 g su 10

   Y ~ Bin(10, 0,0132)

   P(Y ≥ 2) = 1 - P(Y ≤ 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1) =

   = 1 - ⁽¹⁰⁾/₀ 0,013⁰ 0,9868¹⁰ - ⁽¹⁰⁾/₁ 0,0132¹ 0,9868⁹ = 0,031

3. Y₁ ~ Bin(200, 0,0132)

   P(Y₁ = 3) = ⁽²⁰⁰⁾/₃ 0,0132³ 0,9868¹⁹⁷ = 0,2204

c) Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 11 - ( ⁸/₃ ⋅ 4) = ¹/₃

E(XY) = 2⋅3⋅¹/₃ + 2⋅4⋅0 + 2⋅5⋅0 + 3⋅2⋅0 + 3⋅4⋅¹/₃ + 3⋅5⋅¹/₃ = 11

E(X) = 2⋅¹/₃ + 3⋅²/₃ = ⁸/₃

E(Y) = 3⋅¹/₃ + 4⋅¹/₃ + 5⋅¹/₃ = 4

V(XY)/(V(X)V(Y)) = ¹/₃ / √²/₃ ⋅ √²/₃ = √³/₂ ≈ 0,866

V(X) = E(X²) - E(X)² = ²²/₃ - ⁶⁴/₉ = ²/₉

V(Y) = E(Y²) - E(Y)² = ⁵⁰/₃ - 16 = ²/₃

d) Due variabili sono indipendenti se Cov(X,Y) = 0. In questo caso non è così (Cov(XY)=¹/₃)

e) Z = 2X + 3Y

E(Z) = E(2X + 3Y) = 2E(X) + 3E(Y) = 2⋅⁸/₃ + 3⋅4 = ⁵²/₃

V(Z) = 2²V(X) + 3²V(Y) + 2⋅3⋅2⋅Cov(X,Y) = = 2²⋅²/₉ + 3²⋅²/₃ + 12⋅¹/₃ = ⁹⁸/₉

14

X = {numero di croci ottenute}Y = {numero di variazioni nei lanci}

a)

X012 y 00¹/₄0¹/₂ 10¹/₂0 ¹/₄1

b) Cov(X,Y) = E(X,Y) - E(X)E(Y) = 0 → variabili incorrelate

E(XY) = 0⋅¹/₄ + 0⋅¹/₂ + 1⋅0⋅¹/₄ + 1⋅1⋅¹/₂ + 2⋅0⋅¹/₄ = ¹/₂

E(X) = 0⋅¹/₄ + 1⋅¹/₂ + 2⋅¹/₄ = 1

E(Y) = 0⋅¹/₂ + 1⋅¹/₂ = ¹/₂