Statistica

M,

MER

: =

-

Hi Merc #8

= Xiu

S Ser 61

0

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1

n SCAL

- 38

3

= .

POOLED

VARIANZA

D 1)S

1)65

65 (42

(4y -

+

= - 2

Ma

Ny + -

65 (10

1) 1) 582

(10 612

0 3

+

.

- .

-

= . 5 64

. = .

2

10

18 + UBERTA

- VERTICAL-2 18 DI

GRADI

HO AL

UNA TAUDENT

VAR CON

E TEST DISTRIB

SOTTO COME

STATISTICA L =

. .

.

1

0

fx = . RIFIUTO

REGIONE

NELLA

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TOSS

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tra testn

, 11-

,

Ta

X1

T 63

88 7 8 43

23

- .

= -

. =

- ,

↳ 642 64h

5 5

. .

+

18 18 Ho

VISTO CHEt 73 RIFIUTO

-1 -

=

.

18 35

. 0 . 6

Esercizio per casa

Un economista vuole valutare se il reddito (misurato in dollari alla settimana), dipende,

in media, dal fatto di abitare in un comune che presenta almeno una Università pubblica.

Pertanto, 3010 soggetti vengono estratti e se ne registra il reddito, ottenendo le seguenti

sintesi campionarie:

x = 550.3; x = 611.5; s = 235.0; s = 291.1;

1 2 1 2

1683

1

GRUPPO dove il gruppo 2 è quello composto dai soggetti che abitano in comuni in cui è situata

= 1327

GRUPPO 2 almeno una Università pubblica. Ipotizzando che il reddito si distribuisca normalmente

= e che i due campioni siano tra loro indipendenti, si risponda ai seguenti quesiti:

a. Qual è il sistema di ipotesi alla base di tale test?

X

b Qual è la stima della varianza pooled ?

*

c. Qual è la distribuzione della statistica test sotto l’ipotesi nulla?

d. Considerando un livello di significatività ↵ = 0.05, è possibile rifiutare l’ipotesi

nulla formulata al punto a.?

P MEDIA

IN DAL

/ANTARE DIPENDE FATTO DI ABITARE

REDDITO IN

SE UN COMUNE

IL CON U S

.

: .

S

X1 558

=

* 5

611

2 = .

21 235

=

S2 291 1

= . SOGGETTI

1683

GRUPPO 1 = 1327 Il

GRUPPO 2 = REDDITO

DISTRIB NORM DEL

. .

CAMPIONI INDIP

HoMs-

S

A Mc o

: =

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M2

. - (1326)

S2(nz-1) 12

(5 23541652)

55 (4s 1) 293

B +

+

-

= . 68244 25

- = ,

3008

Na

Hy 2

+ - UBERTA

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3008

CON 1)

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DX 0 85

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1550 Gu

toss 3 6

6 38 4

- . a

.

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.

=

6824468244

t

16831327

tass HO

6 PER RIFIUTARE CADERE

4 DEVE FUORI

6 4 REGIONE

DALLA DI ACCETTAZIONE

= . .

,

trans Espos

toss

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4 11. Nal

, ,

Ho

96

1

I RIFIUTO

. = 8

Corso di Statistica 2022-2023:

Esercizi su altri problemi di verifica di ipotesi

1

Esercizio 1

Il Ministero dell’Università in collaborazione col Ministero del Lavoro e delle Politiche

sociali, vogliono confrontare la proporzione di NEET (Neither in Employment nor in

Education or Training), ossia i giovani che non lavorano e non studiano, in due diverse

Regioni (A e B). Per questo motivo si decide di estrarre casualmente 1000 giovani (dai

15 ai 29 anni) dalla Regione A e 1200 giovani dalla Regione B (sempre nella fascia d’età

15-29 anni). Il numero di NEET nel campione della Regione A risulta pari a 139, mentre

nella regione B è pari a 180. Considerando i due campioni come indipendenti, si risponda

ai seguenti quesiti:

a. Quali sono i valori delle proporzioni campionarie p e p ?

& A B

b. Qual è il valore di p, ossia la media pesata delle proporzioni campionarie?

&

c. Si può rifiutare l’ipotesi nulla che la proporzione di NEET sia la stessa nelle due

& Regioni, considerando un al livello di significatività pari ad ↵ = 0.05?

&

d. Qual è la distribuzione della statistica test sotto l’ipotesi nulla H 0

&

e. Qual è il valore del p-value associato alla statistica test calcolata al punto c?

1200

Us

1000

Ra =

= 180

NEETcB

139

NEFTiA =

=

A 13

0

==

PA .

PB-0 1

.

Rapc 133

Hyp1 145

180 0

Bp + +

= =

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2200

12

41 +

0 05

2 X = . TB

Ta

Ho

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Ja

Ho +

: 158

0

159

-

0 729

PP 0

I

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.

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.

145)

145(1-0

(1 145)

.

8 145 0 0 .

- . .

1200

1000 tiss"

20 96 E

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E 1

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025

. ret Ho

Za

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=> 1)

(0 GRANDI

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Per CAMPION

Distribuisce

si

Test

Statistica Come

l

Sotto

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,

,

Zoss 2940 73

.

0

E = . H

=3) Rifiuto

05 101

0

5(-0 x

4654

0

AWE

2327

0

vame =

p- =

-p -

=

= .

= -

= .

=

. .

2 2

Esercizio 2

Un Comune di grandi dimensioni vuole confutare l’ipotesi nulla secondo cui la proporzione

di lavoratori che usufruiscono del lavoro agile (LA) sia minore (o uguale) nelle imprese

private (IP) rispetto alla pubblica amministrazione (PA). Pertanto, e↵ettua un campi-

onamento di n = 800 lavoratori e i risultati sono sintetizzati nella seguente tabella

PA IP

Ne so

Lavoratori 500 300

Lavoratori in LA 55 81 156

555 381

Supponendo che ci sia indipendenza tra le tipologie di impiego (pubblico o privato),

si risponda ai seguenti quesiti:

a. Qual è il sistema di ipotesi alla base di tale test?

&

&

b. Quali sono i valori delle proporzioni campionarie di lavoratori in LA per le due

tipologie (IP e PA)?

c. Qual è il valore di p, ossia la media pesata delle proporzioni campionarie?

&

d. Qual è la distribuzione della statistica test sotto l’ipotesi nulla H ?

& 0

e. Si può rifiutare l’ipotesi nulla descritta nel testo, considerando un al livello di

A significatività pari a ↵ = 0.01?

800

H =

:

A 55

B PB =

Pa O

0 27

= = .

300 T

17/RIGUARDA

21 M

0

27

0

35

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- .

.

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. .

=

500 300

+

D 5 83

Pa

P1

z

E - -

=

= .

DIT

PIA) ,

Ea 2001 36

2

= 2x

.

= Ho

Foss Ea RIFIUTO

= 4

Esercizio 3

L’Agenzia Regionale che si occupa della gestione dei rifiuti vuole indagare se i costi di

gestione delle discariche della Regione abbiano subito variazioni significative, in media,

tra il 2016 e il 2017. Per tale motivo, estrae casualmente 10 discariche, chiedendo la

rendicontazione dei costi in migliaia di euro. Si ipotizza che i costi di gestione seguano

una distribuzione gaussiana. I costi osservati sono sintetizzati nella seguente Tabella.

e

Discarica 2016 2017 !

1 76.2 41.3 - 56

2 187.2 181.6 - &

134 U

3 371.1 505.5 - . 2

M1

4 294.5 183.3 + .

M5 2

5 117.4 232.6 - . 7

80

6 132.8 213.5 - . 1

8

+

7 34.7 34.6 .

34 3

8 247.3 281.6 - .

27 5

+

9 285.7 258.2 .

g

10 85.5 85.5

Trattandosi di rilevazioni riptetute nel tempo e considerando quindi i due campioni

come non indipendenti, si risponda ai seguenti quesiti:

a. Quali sono le di↵erenze (D) dei costi tra il 2016 e il 2017?

↳

N

b. Qual è la media campionaria di tali di↵erenze?

c. Qual è la distribuzione della statistica test sotto l’ipotesi nulla?

*

D

d. Considerando un livello di significatività del 5%, è possibile rifiutare l’ipotesi nulla

di media delle di↵erenze pari a zero, ossia H : µ = 0, contro l’ipotesi alternativa

0 D

6

H : µ = 0?

1 D

Ö -18 53

B = . Tag

Ho

Gouisian--catto

distrib

se i costi seguon una

· .

X 85

0

D = .

M

- Sotto

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+ 26

t 2

26

6

= = .

. 6

Esercizio Per casa

A seguito di un cambiamento normativo avvenuto nel 2018, un centro di ricerca ha ideato

un indice per misurare la qualità dei documenti di programmazione dei Comuni tra il

2017 e il 2018. Più è elevato l’indice di qualità, più la qualità del documento è elevata, ed

è inoltre noto che l’indice si distribuisce come una variabile aleatoria gaussiana. Si vuole

testare se il cambiamento normativo abbia portato una modifica significativa (in meglio

o in peggio) della qualità dei piani. Pertanto, in una data Regione vengono campionati

10 Comuni e i risultati dell’indice di qualità sono i seguenti: D

Comune Qualità 2017 Qualità 2018 25

1 36.9 62.5 6

- .

8

16

2 34.4 51.2 - .

7 5

3 58.1 65.6 - .

19 4

-

4 26.2 45.6 .

8 7

5 23.8 32.5 - .

6 38.1 57.5 4

19

- .

7 30.0 58.1 28. 1

-

8 46.2 76.2 30

- 13

9 48.8 61.9 1

- .

30 1

10 31.2 61.3 - .

Considerando che le due rilevazioni non sono indipendenti, si risponda ai seguenti

quesiti:

a. Quali sono le di↵erenze (D) dei costi tra il 2016 e il 2017?

A

X

b. Qual è la media campionaria dei tali di↵erenze?

c. Qual è la distribuzione della statistica test sotto l’ipotesi nulla?

d. Considerando un livello di significatività del 10%, è possibile rifiutare l’ipotesi nulla

di media delle di↵erenze pari a zero, ossia H : µ = 0, contro l’ipotesi alternativa

0 D

6

H : µ = 0?

1 D

87

9

B = . +g

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. 0 009 .

. 87

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toss = . -

/558 8

Analisi di Regressione lineare semplice 1

Esercizio 1

Si vuole stimare la relazione tra i prezzi di vendita Y (espressi in migliaia di euro) e la dimensione X

(superficie espressa in mq) degli appartamenti di una certa area. Ricorrendo ad un modello di regressione

lineare semplice si vuole prevedere il prezzo di vendita in funzione della superficie. I dati, riferiti a un

campione casuale di 10 case, sono i seguenti:

X 140 160 170 187.5 110 155 235 245 142.5 170

Y 245 312 279 308 199 219 405 324 319 255

a. Tracciare il diagramma di dispersione

b. Specificare il modello

c.