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Alcune proprietà.

c

( )

c c c c c

= Þ = Æ Æ = = Æ =

1. A A U ; U ; A A ; A A U

U

2. leggi di De Morgan: c c

c c c c

( ) ( )

∩ ∩

= =

A B A B ; A B A B

U U

3. proprietà di idempotenza: ∩ = =

A A A

; A A A

U

Ricoprimento e partizione.

In certi casi si presenta la necessità di considerare più insiemi appartenenti allo stesso

U

universo . In tal caso si parla di famiglia di insiemi e si indica con

{ }

F = Î Í

A : i I , A U

i i

F

A Î

i I

dove è un elemento generico di ; è un insieme di numeri (o indici).

i

U

A A

Con indichiamo l’unione di tutti gli cioè

i i

Î

i I ( )

( )

( )

( )

U =

A A A A A .....

U U U U

i 1 2 3 4

Î

i I

Si noti che tale operazione si può effettuare semplicemente “applicando” la

definizione di unione tra due insiemi in modo ricorsivo.

Allo stesso modo per l’intersezione si ha

( )

( )

∩ ( )

( )

∩ ∩ ∩ ∩

=

A A A A A .....

i 1 2 3 4

Î

i I { }

F = Î Í

A : i I , A U

Def.7 Una famiglia di insiemi si dice ricoprimento di un

i i

U

Í

B A

B

insieme se .

i

Î

i I { }

F = Î Í

A : i I , A U

Def.8 Una famiglia di insiemi non vuoti si dice partizione

i i

di un insieme se

B ∩

U

= = Æ " Î ¹

B A e A A i , j I , i j .

i i j

Î

i I

Es.4: Ricoprimento:

{ }

=

U delle parole italiane ;

{ }

=

I 1, 2,..., 25, 26 ;

{ }

= -

A delle parole che iniziano con la i esima lettera ;

i { }

=

B delle parole che iniziano con " a " o con " b " ;

{ }

{ }

F = Î Í

A : i 1,..., m , A U

" ³

m 2

allora segue che la famiglia è un

i i

ricoprimento di B.

F

Cioè è composta dall’insieme di tutte le parole italiane che iniziano con una delle

m ³

m 2

prime lettere dell’alfabeto e se la famiglia conterrà sicuramente tutte le

parole che iniziano con la “a” o con la “b”.

Es.4: Partizione: { }

{ }

{ } { } { } { } F = Î =

A : i I 1,2,3

= = = =

B a , b , c , d A a ; A b , c ; A d ;

; allora è una

1 2 3 i

partizione di . Infatti risulta che:

B ∩ ∩ ∩

= = Æ = Æ = Æ

B A A A ; A A ; A A ; A A

U U .

1 2 3 1 2 1 3 2 3

Nota 1: Ogni partizione è un ricoprimento. Il contrario non è vero.

Es.4: Ricoprimento che non è partizione:

{ } { } { }

= = =

U lettere dell ' alfabeto B a , b , c , d I 1,2,3, 4 ;

; ;

{ }

=

A delle prime i lettere dell ' alfabeto ;

i { }

F = Î Í

A : i I , A U

allora è un ricoprimento di infatti risulta che

B

i i

{ } { } { } { } { } { }

U

= Í = =

B a , b , c , d A a a , b a , b , c a , b , c , d a , b , c , d

U U U

i

Î

i I ∩

{ }

F ¹ Æ " ¹

A A i j .

= Î Í

A : i I , A U

tuttavia non è una partizione poiché i j

i i

2. Insiemi numerici { } { }

¥ ¥ ¥

= =

1,2,3,... 0 U

Indichiamo l’insieme dei numeri naturali con , mentre .

0

Alla base dell’aritmetica si trovano, oltre alla definizione di numero naturale, le

definizioni delle operazioni basilari che si possono effettuare sui propri elementi

nonché la conoscenza delle proprietà delle stesse.

Addizione + = +

a b b a commutativa

( )

+ + = + + = + +

a b c a (

b c ) a b c associativa

Sottrazione ( ) ( )

- = ± - ±

a b a c b c invariantiva

Moltiplicazione × = ×

a b b a commutativa

( ) ( )

× × = × × = × ×

a b c a b c a b c associativa

( )

+ × = × + ×

b c a a b a c distributiva rispetto alla somma

Divisione ( ) ( ) ( ) ( )

= = × ×

a : b a : c : b : c a c : b c invariantiva

( )

+ = +

a b : c a : c b : c distributiva rispetto alla somma

¥

Problema della divisione nell’insieme .

¥

Î ³

a , b , a b , a b

Presi si definisce divisione con resto di con il procedimento che

¥

Î < = × +

q , r r b : a q b r dove

individua due numeri con

a si dice dividendo; q = quoziente; b = divisore; r = resto.

Def. 9 Si dicono primi i numeri naturali maggiori di 1 che ammettono come divisori

solo se stessi e l’unità.

Teo. 1: (Teorema di unica fattorizzazione)

Ogni intero n può essere scritto in modo unico come prodotto di numeri primi

e e e

= ± × × ×

n p p ... p

1 2 m

1 2 m

{ } { }

¥

e Î " Î " Î

i 1, 2,..., m ; p numeri primi j 1, 2,..., m .

dove i j

Il metodo che si utilizza per individuare la fattorizzazione unica è quello delle

divisioni successive che illustriamo di seguito con un esempio:

Es.5: Scomporre in fattori primi il numero 462 e il numero 400.

462 231 77 11 1 400 200 100 50 25 5 1

7 5 5

2 3 11 2 2 2 2 4 2

= × × × = × × × × × = ×

462 2 3 7 11 400 2 2 2 2 5 5 2 5

Def. 10 Si dice Massimo Comune Divisore (MCD) fra due o più interi il più grande

intero che divide senza resto i numeri considerati.

Def. 11 Si dice minimo comune multiplo (mcm) fra due o più interi il più piccolo

intero multiplo dei numeri considerati.

Esercizio 1:

Determinare MCD e del mcm dei numeri 15; 45; 105

Soluzione:

Usando il metodo delle divisioni successive calcoliamoci il MCM ed il mcm:

= × ×

105 21 7 1 ; 105 3 5 7;

5 3 7 2

= ×

45 15 5 1 ; 45 3 5;

3 3 5 = ×

15 5 1 ; 15 3 5;

3 5

Quindi il MCD sarà dato dal prodotto dei fattori comuni presi con l’esponente

{ } = × =

MCD 15,45,105 3 5 15

minore: .

Il mcm sarà dato dal prodotto dei fattori comuni e non considerati con l’esponente

{ } 2

= × × =

mcm 15,45,105 3 5 7 315.

maggiore: { }

¢

¢ = ± ± ±

0, 1, 2, 3,...

Con indichiamo l’insieme dei numeri interi relativi . In

¥ ¢ ¢

Ì

particolare osserviamo che . In sono sempre possibili le operazioni di

somma, differenza e prodotto mentre non è detto che il quoziente,con divisore

diverso da zero, sia sempre possibile.

¢ ¢

- = - Î - Ï

8 : ( 2) 4 ; ( 2) : 8 .

Es.6:

¢

In possiamo introdurre un ordinamento come segue:

- < - - < < < < - <

a ( a 1) ..... 0 .... a 1 a

΢

a

dato si ha .

¢

Î

a , b

Due numeri si dicono uguali se hanno stesso valore assoluto e stesso segno.

¢ .

Es.7: Operazioni in - + - = - - + + = -

( 2) ( 3) 5; ( 4) ( 2) 2;

- × - = +

( ) ( )

- × + = -

( ) ( )

- × - = +

( 2) ( 3) 6; + × - = -

( ) ( )

+ × + = +

( ) ( )

¤

Con indichiamo l’insieme dei numeri razionali. Esso è composto da quei numeri

che si possono indicare come frazioni di interi.

a

ì ü

¤ ¢

= Î ¹

: a , b , b 0

í ý

b

î þ

a

¥ ¢ ¤ a

Ì Ì

Si noti che infatti si identifica con .

1

¤

In sono sempre possibili tutte le quattro operazioni.

a p

, × = ×

q a p b

Dati due numeri razionali diciamo che sono uguali se risulta .

b q

¤

Operazioni in :

× + × ×

a c a d b c a c a c

+ = × =

; ;

× ×

b d b d b d b d

×

a c a d

= ¹

: ; b , c , d 0;

×

b d b c

a

×

a c a

c

= = ¹

; b , c 0.

b

×

b c b

c ¤

Ordinamento di :

¤

L’insieme è ordinato per mezzo della relazione “<” così definita:

a c

< Û × < ×

a d b c

b d

7 4

< × < ×

perchè 7 5 9 4.

Es.8: 9 5

Rappresentazione decimale dei razionali:

Per definizione ogni numero razionale può essere espresso come una frazione

1 2

æ ö

; ;.... . Esso può essere espresso anche mediante rappresentazione decimale.

ç ÷

4 3

è ø

Per avere la rappresentazione decimale di un razionale basta effettuare la divisione

fra numeratore e denominatore.

7 1 32

= = = = =

1,4; 0,333...... 0,3; 4,5714257142..... 4,57142

Es.8: 5 3 7

Def. 13 Le frazioni che hanno per denominatore una potenza di 10 si dicono frazioni

decimali.

141 141

=

Es.8: .

2

100 10

Dagli esempi notiamo che il processo di costruzione delle cifre decimali a volte non

termina però si conosce quale cifra o gruppo di cifre si ripete.

Tale gruppo di cifre si dice periodo.

Chiamiamo parte intera di un numero il numero intero che precede la virgola nella

sua rappresentazione decimale.

Chiamiamo antiperiodo il gruppo di cifre compreso tra la virgola e il periodo.

= = =

Es.8: 1,306; 1 parte intera; 30 antiperiodo; 6 periodo.

Ora vediamo come ottenere dalla rappresentazione decimale quella frazionaria.

Distinguiamo i seguenti due casi:

I° Caso: numero decimale limitato.

Basta aggiungere alla parte intera del numero una frazione che ha per denominatore 1

seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali mentre al numeratore mettiamo la

parte decimale del numero dato. +

15 15 167 3000 167 3167

= + = = + = =

0,15 0 ; 3,167 3 .

Es.9: 100 100 1000 1000 1000

II° Caso: numero decimale illimitato periodico.

Si aggiunge alla parte intera del numero una frazione che ha al denominatore tante

cifre 9 quante sono quelle del periodo e tante cifre 0 quante sono quelle

dell’antiperiodo mentre al numeratore mettiamo la differenza tra il numero le cui

cifre sono quelle della parte decimale e il numero rappresentato dall’antiperiodo.

Es.10: -

3 0 1

= + =

0,3 0 ;

9 3

-

45 0 45

= + =

0,45 0 ;

99 99

-

76 7 69

= + =

0,76 0 ;

90 90

- × +

1415 14 9900 3 1401 31101

= + = =

3,1415 3 ;

9900 9900 9900

Esistono dei numeri il cui sviluppo decimale è illimitato e non periodico, tali numeri

si dicono irrazionali. Esempi di numeri irrazionali sono i seguenti:

p

2; 3; ; log 3; e

;

I numeri irrazionali concorrono con i razionali a determinare l’insieme dei numeri

.

reali ¡

Un numero reale positivo è rappresentato, nella notazione decimale, con la scrittura

=

x c , x x x .... x ....

1 2 3 n x x

Dove c è un naturale detto parte intera di mentre con indichiamo la i-esima cifra

i

x

decimale di .

c x

Se davanti a c’è il segno meno allora il numero reale è negativo.

Domanda: sono di più i numeri interi o i numeri razionali?

Poiché gli interi sono un sottoinsieme proprio dei razionali sembrerebbe che dal

punto di vista dell’inclusione siano di più i razionali.

C’è un altro criterio per confrontare gli insiemi che è basato sul concetto di potenza:

Def. 14: Se due insiemi possono essere messi in corrispondenza biunivoca si dice

che sono equipotenti o che hanno la stessa cardinalità o anche che hanno lo stesso

numero cardinale di elementi.

Per gli insiemi finiti: stessa cardinalità equivale a stesso numero di elementi.

Per insiemi infiniti: si pensi agli interi e ai numeri pari. Nonostante i numeri pari sono

un sottoinsieme dei naturali i due insiemi hanno stessa potenza poiché ad ogni

naturale n si associa il numero pari 2n e viceversa il numero pari 2n corrisponde al

naturale n.

Quindi i due insiemi sono equipotenti.

Def. 15: Gli insiemi equipotenti con i naturali si dicono numerabili o che

posseggono un’infinità numerabile di elementi.

Risulta che anche l’insieme dei razionali è numerabile.

L’insieme dei reali non è numerabile e anche dal punto di vista della cardinalità ha

più elementi di Q.

Poiché i numeri reali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di

una retta (che è continua, non ha buchi!!!) si dice che i reali hanno potenza del

continuo.

Anche un intervallo reale qualsiasi ha potenza del continuo.

Potenze di numeri reali

¥

Î Î

x ed n n

¡

Sia la potenza è definita come segue:

x

× × × ¹

x x ... x se n 0

ì 1

424

3

ï

n =í

x n termini

ï = ¹

1 se n 0, x 0

î


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AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Statistica- Teoria Degli Insiemi. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: Insieme complementare, Operazioni con gli insiemi, Alcune proprietà, partizione, Insiemi numerici, Teorema di unica fattorizzazione, Rappresentazione decimale dei razionali, ecc.


DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in chimica e tecnologia farmaceutiche
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Gabriele D'Annunzio - Unich o del prof D'Amico Guglielmo.

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