Statistica - Teoria Degli Insiemi

Teoria degli insiemi

Definizioni e proposizioni

Def.1 Si dice proposizione logica o enunciato ogni espressione per la quale esista un criterio con cui possa esserle attribuito il valore VERO o il valore FALSO. Questo è detto valore di verità della proposizione.

Es.1:

• Il sole è un pianeta.
• Il doppio di 5 è 12.
• Come ti chiami?

Se il soggetto di una proposizione è indeterminato allora la proposizione si dice APERTA.

Es.2: xP(x) : x è nato a Pescara. L’elemento va scelto tra quelli di un insieme UNIVERSO che contiene la totalità dei possibili soggetti della proposizione.

Insiemi e operazioni

Def.2 Fissato un universo e una proposizione aperta, gli oggetti che rendono vera P(x) costituiscono un insieme.

Es.3: P(x) : x ∈ U = le lettere dell’alfabeto. Data la proposizione aperta "x è una vocale", individua l’insieme delle vocali.

Insieme complementare

Def.3 Dato un insieme A, si dice insieme complementare di A e lo si denota con A^c = {x ∈ U : x ∉ A}. Con riferimento all’esempio n° 3 si ha che l’insieme complementare delle vocali sono le consonanti.

Def.4 Il complementare dell’insieme universo si dice insieme vuoto e rappresenta un insieme privo di elementi: ∅ = U^c.

Operazioni con gli insiemi

Def.5 Si chiama intersezione di due insiemi A e B, e si indica con A ∩ B, l’insieme che contiene gli elementi comuni ad A e B.

Def.6 Si chiama unione di due insiemi A e B, e si indica con A ∪ B, l’insieme costituito da tutti gli elementi di A e da tutti gli elementi di B.

Alcune proprietà

• Complementari: A ∩ A^c = ∅; A ∪ A^c = U
• Leggi di De Morgan: (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c; (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
• Idempotenza: A ∩ A = A; A ∪ A = A

Ricoprimento e partizione

In certi casi si presenta la necessità di considerare più insiemi appartenenti allo stesso universo U. In tal caso si parla di famiglia di insiemi e si indica con F = {A_i : i ∈ I, A_i ⊆ U} dove i è un elemento generico di F; I è un insieme di numeri (o indici).

Con A_i indichiamo l’unione di tutti gli A_i, cioè:

(⋃_i∈I A_i) = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ ∪ ...

Si noti che tale operazione si può effettuare semplicemente applicando la definizione di unione tra due insiemi in modo ricorsivo. Allo stesso modo per l’intersezione si ha:

(⋂_i∈I A_i) = A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ ...

Def.7 Una famiglia di insiemi si dice ricoprimento di un insieme B se ⋃_i∈I A_i ⊇ B.

Def.8 Una famiglia di insiemi non vuoti si dice partizione di un insieme B se:

• ⋃_i∈I A_i = B
• A_i ∩ A_j = ∅ per ogni i, j ∈ I, i ≠ j

Es.4: Ricoprimento:

• U = delle parole italiane
• I = {1, 2, ..., 25, 26}
• A_i = delle parole che iniziano con la i-esima lettera

B = delle parole che iniziano con "a" o con "b". Allora segue che la famiglia F è un ricoprimento di B. Cioè, è composta dall’insieme di tutte le parole italiane che iniziano con una delle m prime lettere dell’alfabeto e se m ≥ 2 la famiglia conterrà sicuramente tutte le parole che iniziano con la "a" o con la "b".

Es.4: Partizione:

• F = {A_i : i ∈ I = {1, 2, 3}} = {B = {a, b, c, d}, A₁ = {a}, A₂ = {b, c}, A₃ = {d}}

Allora è una partizione di B. Infatti risulta che:

• B = A₁ ∪ A₂ ∪ A₃
• A₁ ∩ A₂ = A₁ ∩ A₃ = A₂ ∩ A₃ = ∅

Nota 1: Ogni partizione è un ricoprimento. Il contrario non è vero.

Es.4: Ricoprimento che non è partizione:

• U = lettere dell'alfabeto
• B = {a, b, c, d}
• I = {1, 2, 3, 4}
• A_i = delle prime i lettere dell'alfabeto

Allora F = {A_i : i ∈ I, A_i ⊆ U} è un ricoprimento di B, infatti risulta che:

• U = B ∪ {a, b} ∪ {a, b, c} ∪ {a, b, c, d}

Tuttavia non è una partizione poiché esistono A_i ∩ A_j ≠ ∅.

Insiemi numerici

L’insieme dei numeri naturali è indicato con {ℕ = {1, 2, 3, ...}} mentre {0} è incluso in ℕ⁰. Alla base dell’aritmetica si trovano, oltre alla definizione di numero naturale, le definizioni delle operazioni basilari che si possono effettuare sui propri elementi nonché la conoscenza delle proprietà delle stesse.

Addizione

• a + b = b + a (commutativa)
• (a + b) + c = a + (b + c) (associativa)

Sottrazione

• (a - b) - c = a - (b + c) (invariantiva)

Moltiplicazione

• a × b = b × a (commutativa)
• (a × b) × c = a × (b × c) (associativa)
• a × (b + c) = a × b + a × c (distributiva rispetto alla somma)

Divisione

• Invariantiva: (a : b) : c = a : (b × c)
• Distributiva rispetto alla somma: (a + b) : c = a : c + b : c

Problema della divisione nell’insieme ℕ

Presi a, b ∈ ℕ, a ≥ b, si definisce divisione con resto di a per b il procedimento che individua due numeri q, r ∈ ℕ con r < b: a = q × b + r. Dove:

• a si dice dividendo
• q = quoziente
• b = divisore
• r = resto

Def. 9 Si dicono primi i numeri naturali maggiori di 1 che...