Statistica - Teoria Degli Insiemi

Testo formattato con tag html

Es.9: 100 100 1000 1000 1000II° Caso: numero decimale illimitato periodico.Si aggiunge alla parte intera del numero una frazione che ha al denominatore tante cifre 9 quante sono quelle del periodo e tante cifre 0 quante sono quelle dell’antiperiodo mentre al numeratore mettiamo la differenza tra il numero le cui cifre sono quelle della parte decimale e il numero rappresentato dall’antiperiodo.

Es.10: -3 0 1= + =0,3 0 ;9 3-45 0 45= + =0,45 0 ;99 99-76 7 69= + =0,76 0 ;90 90- × +1415 14 9900 3 1401 31101= + = =3,1415 3 ;9900 9900 9900

Esistono dei numeri il cui sviluppo decimale è illimitato e non periodico, tali numeri si dicono irrazionali. Esempi di numeri irrazionali sono i seguenti: p2; 3; ; log 3; e;

I numeri irrazionali concorrono con i razionali a determinare l’insieme dei numeri reali ¡Un numero reale positivo è rappresentato, nella notazione decimale, con la scrittura=x c , x x x .... x ....1 2 3 n x xDove c è un naturale detto

parte intera di mentre con indichiamo la i-esima cifra decimale di . Se davanti a c'è il segno meno allora il numero reale è negativo. Domanda: sono di più i numeri interi o i numeri razionali? Poiché gli interi sono un sottoinsieme proprio dei razionali sembrerebbe che dal punto di vista dell'inclusione siano di più i razionali. C'è un altro criterio per confrontare gli insiemi che è basato sul concetto di potenza: Def. 14: Se due insiemi possono essere messi in corrispondenza biunivoca si dice che sono equipotenti o che hanno la stessa cardinalità o anche che hanno lo stesso numero cardinale di elementi. Per gli insiemi finiti: stessa cardinalità equivale a stesso numero di elementi. Per insiemi infiniti: si pensi agli interi e ai numeri pari. Nonostante i numeri pari sono un sottoinsieme dei naturali i due insiemi hanno stessa potenza poiché ad ogni naturale n si associa il numero pari 2n e viceversa ilnumero pari 2n corrisponde al naturale n. Quindi i due insiemi sono equipotenti. Def. 15: Gli insiemi equipotenti con i naturali si dicono numerabili o che possiedono un'infinità numerabile di elementi. Risulta che anche l'insieme dei razionali è numerabile. L'insieme dei reali non è numerabile e anche dal punto di vista della cardinalità ha più elementi di Q. Poiché i numeri reali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta (che è continua, non ha buchi!!!) si dice che i reali hanno potenza del continuo. Anche un intervallo reale qualsiasi ha potenza del continuo. Potenze di numeri reali ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ Sia la potenza definita come segue: x^n = x * x * ... * x (n termini) x^0 = 1 se n = 0, x ≠ 0 Per le potenze di numeri reali valgono le seguenti proprietà fondamentali: 0^0 = 1, x^0 = 1, x ≠ 0

non ha senso01- =x x n- =1 1 +n m n m- × = × × × × × × × = × × × =x x x x ... x x x ... x x x ... x x14243 14243 14243+n fattori m fattori n m fattorin n n- × = × × × × × × × = × × × × × × = ×x y x x ... x y y ... y ( x y ) ( x y ) ... ( x y ) ( x y )14243 14243 14444244443n fattori n fattori n fattori ×n m n m- = × × × × × × × × × × × =( x ) x x ... x x x ... x ...... x x ... x x14243 14243 14243n fattori n fattori n fattori144444424444443m fattori

I Radicali x Î¥nnIl simbolo si dice radicale, è il radicando; è l’indice della radice.xDef. 13 n ³x 0Il radicale aritmetico , è il numero reale non negativo la cuixxpotenza n-esima è uguale a .2 2= = ±Es.11: 4 2 non 4 2 .Attenzione a non confondere la radice

aritmetica con la radice algebrica: ³y 0³x 0la radice aritmetica è definita solo per numeri ed è l’unico numero- 2 = = = =tale che y x ( 9 3, y 3, x 9).Îx Îla radice algebrica di un numero è l’insieme dei numeri tali che¡ z ¡- 2 <x 0. La radice algebrica è quindi un insieme, vuoto per , con un=z x =x 0 > = ±x 0 ( 9 3).elemento se , con due elementi seProprietà dei radicali aritmetici:mNota che allora posso usare le proprietà delle potenze.n m n=x xPERICOLI!!! 31 16 3 3 6 6 2= = = =x ( x ) x x x OK1) 1 2 12 24 4 4 2= = = =x ( x ) x x x NO !!! 2La prima sequenza di uguaglianze è corretta, la seconda no . Il problema è che ³x 0³x 0non ci assicura che e come conseguenza potrebbe non essere definita.x3 ³x 0Nel primo caso invece automaticamente ci assicura che .³x 0 24L’uguaglianza corretta nel secondo caso è .=x | x |2n n n=se n dispari A B A

Bnì2) > ³A B se A 0, B 0ïn n n= =se n pari A B | A | Bí n- < ³A B se A 0, B 0ïî2 2 2Quindi .+ = + = +ax bx x ( a b ) | x | a bRazionalizzazione di frazioniRazionalizzare una frazione vuol dire eliminare del denominatore espressioni di tipoirrazionale.1 1 x x= × =Es.12: .xx x xLa retta numerica.E’ possibile mettere in corrispondenza biunivoca i numeri reali con i punti di unaretta. Presa una retta orizzontale (asse delle ascisse) fissiamo un punto 0 detto origineallora ad ogni numero reale corrisponde un punto sulla retta e viceversa.figura 4Intervalli di :¡ <a bPresi due reali denotiamo con: { }= Î £ £[ a , b ] x : a x b¡{ }= Î < <( a , b ) x : a x b¡{ }= Î < £( a , b ] x : a x b¡{ }= Î £ <[ a , b ) x : a x b¡∩ ∩= = =[2,5] [1,4] [2, 4]; [ a , b ] (b , c ] [ a , c ]; [1, 4) (2,6] (2, 4);UEs.13: .5. Teoria delle funzioniDef.1 Dati

Due insiemi A e B si dice prodotto cartesiano fra A e B e lo si indica con C = A × B, l'insieme C è così formato:

C = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

Es.1: Se A = {1,2,3} e B = {a,b}, allora il prodotto cartesiano è dato da:

C = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}.

Con il prodotto cartesiano si prendono in considerazione tutte le coppie che si possono formare con gli elementi di A e di B.

Def.2: Si chiama relazione binaria tra due insiemi A e B una legge che individua una parte non vuota di A × B, indicata con R.

A R B se (a, b) ∈ A × B.

Es.2: Se A = {2,3,5,7,9} e B = {19,20,21,22}, la relazione "a divide b" può essere rappresentata come segue:

R = {(2,20), (2,22), (3,21), (5,20), (7,21)}.

A questo punto possiamo introdurre il concetto di funzione. Una funzione è

Un tipo particolare di relazione binaria

Il moderno concetto di funzione si basa su riflessioni e dispute tra gli scienziati più noti dei secoli XVII e XVIII, quali Eulero, Newton, D'Alembert, Bernoulli, Leibniz. Per esempio Eulero fonda per la prima volta, in modo chiaro, il concetto di funzione sulla dipendenza di una quantità da un'altra, variabile, e l'accento è sull'espressione analitica (LEGGE) cioè sul modo col quale le due quantità sono connesse.

Def.3 Una relazione binaria da è detta funzione (applicazione) da "Î $ ÎA in B a A ! b B : afbse .A, B

Gli insiemi vengono detti rispettivamente dominio e codominio dell'affunzione. Si dice campo di esistenza CE di una data funzione il più grande dei domini possibili per la funzione stessa.

La funzione viene indicata di solito così: ®f : A B

Intuitivamente si ha: figura 1

Ci sono diversi tipi di funzioni a seconda di quello che

“succede” nel condominio.®f : A B Îb BDef.4 Una funzione si dice iniettiva se ogni è al massimoÎa A.immagine di un solo In simboli" Î ¹ Þ ¹x , y A allora x y f ( x ) f ( y )se .Cioè ad elementi diversi di A corrispondono elementi diversi in B.®f : A B Îb BDef.5 Una funzione si dice suriettiva se ogni è immagine diÎa A.almeno un elemento In simboli" Î $ Î =b B a A : f ( a ) b.se ®f : A BDef.6 Una funzione si dice biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Insimboli" Î $ Î =b B ! a A : f ( a ) b.seUna biiezione è anche detta corrispondenza biunivoca.Funzione inversa.® Îf : X Y y YÎx XSia una biiezione. Allora ad ogni corrisponde un solo(perché funzione) e viceversa (perché biiezione).$ ® = Þ =g : Y X : se y f ( x ) x g ( y ).Quindi - 1fLa funzione g prende il nome di funzione inversa di f e si indica con

La f si dice pertanto invertibile.

ATTENZIONE!!! 1-1 ¹ =f ( x ) funzione reciproca di f.f ( x ) -1f

Condizione necessaria e sufficiente affinché f ammetta inversa è che f sia unabiiezione.

=y f ( x )

Data per trovare la sua inversa dobbiamo esplicitare la x in funzionedella y.

Es.4: y -