Statistica - probabilità e insiemi

PROBABILITÀ

Usa la matematica come linguaggio; le informazioni di per sénon hanno le varie scuole

A chi posso attribuire probabilità? A ogni EVENTI = fattiche, nel momento in cui l'interlocutore lo esprime, non sa seè vero o falso. Comunque deve essere potenzialmente riconoscibile,verificabile; altrimenti non è un evento.

La valutazione non è indipendente dal soggetto che la valuta

• - LA PROBABILITÀ NON È SOGGETTIVA
• No proprietà intrinseca (Popper)

ALGEBRA DEGLI EVENTI

1. NEGAZIONE

   Sia A un evento; Ā è vero se A è falso.

   (es. A = "domani piove", Ā = "domani non piove")

2. INTERSEZIONE

   Siano A e B due eventi; C = A ∧ B è vero solo seA è vero e B è vero.

   (es. A = "domani piove", B = "sono vivo vero" - se A e B, alloraC è falso)

3. UNIONE

   Siano A e B due eventi; C = A ∪ B è vero solo se almenouno dei due è vero.

   es. A = "maglia nera"B = "pantaloni blu"

   {A ∋ BA ∈ B>evento C veroĀ ∉ BĀ ∈ B}

Due EVENTI SPECIALI:

1. (A)(Ω) = EVENTO CERTO = modo più semplice; unire l'evento al suocomplemento (es. "domani piove e non piove")
2. (A) = EVENTO IMPOSSIBILE = modo più semplice; intersezione in evento con

PROBABILITÀ

Usa la matematica come linguaggio, le impressioni di pensiero umano le varie scuole

A chi posso attribuire probabilità? Si applica agli eventi = fatti che, al momento in cui l'interlocutore lo esprime, non sa se è vero o falso, comunque deve essere potenzialmente riconoscibile, verificabile, altrimenti non è un evento.

La valutazione non è indipendente dal soggetto che la valuta.

• La probabilità non è soggettiva
• No proprietà intrinseca (Popper)

ALGERBA DEGLI EVENTI

1. NEGAZIONE

   Sia A un evento; Ā è vero se A è falso.

   (es. A = "domani piove", Ā = "domani non piove")

2. INTERSEZIONE

   Siano A e B due eventi; C = A ∧ B è vero solo se A è vero e B è vero.

   (es. A = "domani piove", B = "sono riva vero" → se A e B , allora C è falso)

3. UNIONE

   Siano A e B due eventi; C = A ∪ B è vero solo se almeno uno dei due è vero.

   es. A = "maglia nera" B = "pantalon blu"

   { A e B }{ A ̅ e B }{ A e B ̅ }evento C vero

Due eventi speciali:

1. (A ∪ Ā) = EVENTO CERTO = modo più semplice, unire l'evento al suo complementare el.: "domani piove e non piove"
2. (A ∧ B ̅) = EVENTO IMPOSSIBILE = modo più semplice, intersezione in eventi con due complementari el.

INCOMPATIBILI

Se A e B sono t.c. A ∩ B = ∅

A e B sono detti "incompatibili"

es.

• Lancio un dado - A = "esce una faccia con n° ≤ 2"
• B = "esce 6"

NECESSARIO (contenuto)

Se A ⊃ B ; B rispetto ad A è una condizione sufficiente ma non necessaria (e supponiamo che B è V, supponiamo che A è V, ma ... )

es.

• A = "domani piove"
• B = "cadono a terra più di 30 mm di acqua"

L'evento B può succedere solo se succede l'evento A, ma se domani piove, ma è detto che cadono 30 mm d'acqua

A è NECESSARIO per B

2^a moneta

T=Testa

C=Croce

∅, { {TT}, {TC}, {CT}, {CC} }, { {TT}∪{TC} }, ⋯ , Ω

La probabilità è una funzione che trasforma ogni evento dell'algebra in un numero compreso tra 0 e 1

P: A→[0,1]

Theoria

• Assiomi

1. A ∈ Ω P(A) > 0 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(Ω) = 1 → la probabilità dell'evento certo vale 1

3. Additività ∀A,B ∈ Ω A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

• Teoremi

∀A ∈ Ω

P(A^-) = 1 - P(A)

Dimostrazione:

Esempio:

A = "domani piove"P(A) = 0,67 → dato

P(A^-) = 1-0,67 = 0,33La probabilità "che non piova" è del 33%

P(∅) = 0

Ω = ∅

P(Ω) = 1 - P(Ω)

P(∅) = 1 - 1 = 0

Proprietà della somma

∀ A, B ∈ Ω → P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Dimostrazione:

N.B. se A ∩ B = ∅

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(∅)

Definizione classica di probabilità

La probabilità è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli ed il numero di casi possibili

P(A) = ^{n₀ casi favorevoli}/_{m0 casi possibili}

Questa definizione assume che tutti i casi siano equiprobabili (mo' in cacca)

Approccio frequentista

Postulato empirico del caso: In un gruppo di prove ripetute nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili compare con frequenza approssimativamente uguale alla probabilità. L'approssimazione migliora quando il n_o delle prove cresce.

P(A) = ^{n₀ A}/_ntot = lim_n→∞

Esercizio

n=100000

lancio 60000 volte testa

60 000 volte croce

A= "esce testa"

P(A)=0,6

Esercizio

Supponiamo che nella popolazione di riferimento V= "avere contratto il virus" e F= "avere la febbree supponiamo che la probabilità P(V)=0,01a che P(F)=0,05P(V̄)=0,99P(F̄)=0,95

Michele ha la febbre, cosa posso dire rispetto al virus?NON POSSO DIRE NIENTE CONSIDERANDO SOLO QUESTI DATI, PERCHE'UNO POTREBBE AVERE LA FEBBRE MA NON AVERE IL VIRUS

F=(V∧F)∪(V̄∧F)

P(F)=P(V∧F)∪P(V̄∧F)=0,05

Questa è impossibile,perché Michele hala febbre

Le distribuzioni marginali sono uguali:

i margini sono =, ma hannole stesse somme di righe e colonne

quindi

conta e

vene manare

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

0,8 di quelli che hanno la febbre il 80% non ha il virus

0,2 di quelli che hanno la febbre il 20% hanno contratto il virus

dopo cito

diverso impossitere, quindi

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

Def. . . DATI DUE EVENTI A e B, Si DEFINISCE P(A) dato B

N.B.

P(A/B) ≠ P(B/A) (solitamente)

osservazione

regola del prodotto

DEFINIZIONE DI INDEPENDENZA

Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Osservazione

Se A e B sono indipendenti

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = P(A) · P(B) / P(B) = P(A)

allo stesso modo

P(B|A) = P(A∩B) / P(A) = P(A) · P(B) / P(A) = P(B)

N.B. B.

Se A e B sono incompatibili → A ∩ B = Ø

→ P(A ∩ B) = 0

ESERCIZIO

Sergio fa puove omnia in ritrocolo con probabilità P(L|R) 0,7; se non puove omnia in ritrocolo con probabilità P(L|R̅) 0,1. Le previsioni hanno dato probabilità di pioggia P(R) = 0,4.

Quale è probabilità che Sergio omnia in ritrocolo?

R = "piove"

L = "ritrocolo"

P(R) = 0,4

P(L|R) = 0,7

P(L|R̅) = 0,1

P(L) = P(L∩R) ∪ P(L∩R̅)

= P(L∩R) + P(L∩R̅)

= P(L|R) · P(R) + P(L|R̅) · P(R̅)

= 0,7 · 0,4 + 0,1 · (1-0,4) = 0,34

34% omniare in ritrocolo

ESERCIZIO

Abbiamo un'urna con 3 palline: 2B e 1N. 2 estrazioni con reintroduzione

A^* = "estraggo una B e poi una N"

B^* = "estraggo una B e una N indipendentemente dall'ordine"

b₁

• BB
• BB
• NB
• NB
• NN

H_tot = 9

eventi favorevoli P(A) = ²/₉

eventi favorevoli P(B) = ⁴/₉

Questo metodo va bene se abbiamo poche palline, se ce ne sono molte si può pensare in un altro modo:

• 2B , 1N

2 estrazioni con reintroduzione: A = "prima B poi N"

B = "B e N"

E_i = "bianca al^l'estrazione i" i = 1, 2

A = E₁ ∩ E₂ (tutte bianche all^'estratto 1 e nero alla 2)

P(A) = P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) . P(E₂)

= ¹/₃ . ²/₃ = ²/₉

B = (E₁ ∩ E₂) ∪ (E₁ ∩ E₂)

P(B) = P(E₁ ∩ E₂) + P(E₁ ∩ E₂) = togliamo caso indifferente

= 1 - P(E₁) . P(E₂) - P(E₁) . P(E₂)

= ²/₃ + ¹/₃ . ²/₃ = ⁴/₉

Se le estrazioni fossero senza reintroduzione (c'è un legame di dipendenza tra i dati)

A = E₁ ∩ E₂

P(A) = P(E₁ ∩ E₂)

= P(E₁) . P(E₂/E₁)

= ¹/₂ . ²/₆ = ¹/₃

P(Ȳ) = P[(E₁∩Ȳ₂) ∪ (Ȳ₁∩E₂)]

= P(E₁∩Ȳ₂) + P(Ȳ₁∩E₂)

= P(E₁)·P(Ȳ₂/E₁) + P(Ȳ₁)·P(E₂/Ȳ₁)

= 2/3 ·1/3 + 1/3 ·1 = 2/3

ESEMPIO

Un treno è composto da 8 carrozze; la probabilità che nel tragitto si rompa il sistema frenante di una carrozza è lo 0,005. Qual è la probabilità che il treno arrivi a destinazione senza nessun guasto ai freni?

A = "arrivare a destinazione senza alcun guasto"

E_i = "non si guasta la carrozza"

P(E_i) = 0,995 A = E₁∩E₂∩...∩E₈

P(A)= P(E₁∩E₂∩...∩E₈) = P(E₁) P(E₂) ...·P(E₈)

= 0,995, 0,995,...,0,995 = (0,995)⁸ = 0,961

In 5 viaggi, la probabilità che si ottiene almeno un guasto?

P(almeno guasto in 5 viaggi) = 0,961⁵

P(almeno un guasto) = 1 - 0,961⁵

RICAPITOLANDO:

LA PROBABILITÀ È UNA GENERICA FUNZIONE T.C. P(a) = p

P(Ȳ) = 1 - P(l)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P (A∩B)

P(A|B) = P(A∩B) / P(B) , P(B|A) = P(A∩B)/P(A)

REGOLA DEL PRODOTTO

• P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)