Statistica - probabilità e insiemi

PROBABILITÀ

Usa la matematica come linguaggio; le impostazioni di pensiero creano le varie scuole.

A chi posso attribuire probabilità? A ciascun insieme di eventi o fatti che, dal momento in cui l'interlocutore lo esprime, non sa se è vero o falso. Comunque deve essere potenzialmente riconoscibile e verificabile, altrimenti non è un evento.

• La valutazione non è indipendente dal soggetto che la valuta.
• La probabilità non è soggettiva.
• No proprietà intrinseca (Popper).

Algebra degli eventi

1. Negazione

   Sia A un evento; A̅ è vero se A è falso.

   • (es. A = "domani piove", A̅ = "domani non piove")

2. Intersezione

   Siano A e B due eventi; C = A ∩ B è vero solo se A è vero e B è vero.

   • (es. A = "domani piove", B = "sono ricoverato", se A e B, allora C = falso)

3. Unione

   Siano A e B due eventi; C = A ∪ B è vero solo se almeno uno dei due è vero.

   • es. A = "maglia rossa", B = "pantaloni blu"
   • { _A ∪ _B }
   • { ^A ∩ _B }
   • { ^A ∪ ^B } evento C vero

Due eventi speciali:

1. ( ^Ω ) = evento certo: modo più semplice; unisce l'evento e il suo complemento (es. domani piove e non piove)
2. ( _Ω ) = evento impossibile: modo più semplice; intersezione di eventi con complemento (es. sono ricoverato e non ricoverato)

Ω (evento certo)

A∩B

È vera una oppure l'altra, ma non entrambe X-OR

Incompatibili

Se A e B sono t.c. A∩B = ∅

A e B sono detti "incompatibili"

Es.

Lancio un dado - A "esce una faccia con n^o 2" B "esce 6"

Necessario (contenuto)

Se A ⊃ B ; B rispetto ad A è una condizione sufficiente ma non necessaria (se supponiamo che B è V, supponiamo che A è V, ma...)

Es.

A "domani piove" B "cadono a terra più di 30 mm d'acqua"

L'evento B può succedere solo se succede l'evento A, ma se domani piove, non è detto che cadono 30 mm d'acqua

A è necessario per B

quindi

F

V 0,01

0,04

Probabilità condizionata

P(V | F) = 0,01 / 0,05

0,2

di quelli che hanno la febbre il 20% hanno contratto il virus

80% non ha il virus

0,001

0,04

0,05

Deposizione

F

V 0,0005

0,0495

diventa 0,0008

V

V 0,0498

0,05

P(V | F) = 0,0005 / 0,05

0,01

P(✓ | F) = 0,0495 / 0,05

0,99

Probabilità condizionata

Def. - dati due eventi A e B, si definisce P(A) dato B

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

N.B.

P(A | B) ≠ P(B | A)

(solitamente)

Osservazione

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)

= P(A ∩ B) = P(B / A) · P(A)

= P(A | B) · P(B)

regola del prodotto