Statistica I

Definizione di mediana quando è dispari:

Me = x_(N+1)/2

Definizione di mediana quando è pari:

Me = (x_N/2 + x_(N/2)+1)/2

Individuazione della mediana in distribuzione di frequenza (condizioni→per individuare la modalità o le modalità che occupano la posizione centrale).

- Modalità in posizione centrale: è la modalità del carattere in corrispondenza delle quali osservo contemporaneamente soddisfatte le due condizioni:

1. Si calcolano le frequenze cumulate relative e le frequenze retrocumulate relative e si individua la modalità, o le modalità del carattere in corrispondenza delle quali sono soddisfatte le condizioni scritte precedentemente.
2. Se dalle condizioni (scritte precedentemente) viene individuata una sola modalità m, allora Me = m.
3. Se dalle condizioni (scritte precedentemente) vengono individuate due modalità m1, m2, allora Me = (m1 + m2)/2.

- Se X è qualitativo, allora è indeterminata e mi limito a commentare m e m opportunamente.

corrispondenza di “m” risulta maggiore ouguale a 0,5 P→2. La frequenza retrocumulata relativa in corrispondenza di m risulta maggiore ouguale a 0,5 1 - P→Generalizziamo→ Quantile a livello p (definizione che esclude i casi particolari): il quantile Q ao livello di una distribuzione di frequenza di un carattere X rilevato sup(0< p<1)scala almeno ordinale è quella modalità m, se esiste unica, tale che:mLa frequenza cumulata relativa in corrispondenza di è maggiore o› uguale di P mLa frequenza retrocumulata relativa in corrispondenza di è maggiore o› uguale di 1 – PInterpretazione del quantile a livello P→ Almeno il delle unità statistiche esprime una modalità del carattere(100 × P)%o “m”.al più pari (=minore o uguale) aAlmeno il delle unità statistiche esprime una modalità del(100 ×(1−P))%o “m”.carattere almeno pari (= maggiore o uguale) aI QUARTILI,

I DECILI ED I CENTILI (definizioni e spiegazioni dall'ibro) +1Nc=La mediana, essendo quel valore che occupa la posizione centrale, divide 2N Ngli valori ordinati in due gruppi di eguale numerosità. Ciò significa che metà deglivalori sono inferiori o uguali alla mediana e l’altra metà sono maggiori o uguali allamediana.

Se si vogliono dividere gli N valori ordinati in quattro gruppi ciascuno di numerositàN Q , Q ,Q .approssimativamente pari a bisogna determinare tre quartili: Il1 2 34Q Qsecondo quartile coincide con la mediana. Il primo quartile divide la prima2 1+1N Q ,Nmetà degli valori ordinati in due parti. Essendo la posizione di sembra22+1NQ Q+1ragionevole porre la posizione di pari a . Il terzo quartile divide2 N1 3=2 4la seconda metà degli N valori ordinati in due parti e la sua posizione è pari a quella+1Ndella mediana più .4

In conclusione:

Le posizioni dei tre quartili sono: +1N)=Pos(Q j× , j=1, 2,3j 4I tre quartili sono pari a:

1. ( )+N 1=xQ j × , j=1, 2,3j 4DI decili sono nove e dividono gli N valori ordinati in dieci gruppi aventi lajstessa "numerosità". Le posizioni dei decili sono fornite da+1N)=Pos( D j× , j=1, 2, … , 9j 10Inoltre,( )+N 1=xD j ×j 10 CSe N è molto elevato, in alcuni contesti può essere utile ricavare i centili , chejsono dati da:( )+1N=xC j× , j=1, 2, … , 99j 100AD ESEMPIO: N=7Se noi abbiamo i seguenti valori:=5 =3; =7 =7 =2 =10 =4.x ; x x ; x ; x ; x e x1 2 3 4 5 6 7Q , Q ,Q ,Se bisogna ricavare è necessario innanzitutto ricavare i valori ordinati. Si1 2 3ha così:=2; =3 =4 =5 =7 =7 =10.x x ; x ; x ; x ; x e x1 2 3 4 5 6 7Le posizioni dei tre quartili risultano:+1N 7+1)=1× =1 =2Pos(Q ×1 4 4+N 1)=2× =2×Pos(Q 2=42 2 +1N)=3 =6Pos(Q ×3 4=x =3 =x =5 =x =7Q ; Q ;QQuindi: .1 2 2 4 3 6PROCEDIMENTO PER L'INDIVIDUAZIONE DEL GENERICO QUANTILE DI ORDINEP 1) Distribuzioni di unitàOrdino

in senso crescente le modalità osservate

Associo a ciascuna osservazione una frequenza di “comodo” pari a 1

F FCalcolo delle frequenze cumulate relative e retro cumulate relative ,

j jcon il trattino sopra, partendo dalle frequenze assolute di “comodo”

Individuo le modalità in corrispondenza delle quali osservo:

m m.Se viene individuata una sola modalità allora Q = <m , m m m

Se vengono individuate due modalità (con ) allora:1 2 1 2=m =mm Q=m

Se , allorao 1 2 1 2m ≠ m

Se ed il carattere X è qualitativo, il quantile Q è indeterminato (mio 1 2 m e mlimito a commentare il valore )1 2m ≠ m

Se ed il carattere X è quantitativo, il quantile può essere definitoo 1 2da:

2) Distribuzioni di frequenzaF e FCalcolo , con il trattino, ed individuo le modalità in corrispondenza alle

j jquali risultano soddisfatte le condizioni:

Se dalle condizioni scritte precedentemente viene individuata un’unica›

mmodalità alloram.Q =Se dalle condizioni scritte precedentemente vengono individuate due› <m , m m mmodalità (con ), allora:1 2 1 2Se X è qualitativo allora Q è indeterminato e mi limito a commentare im , mvalori di 1 2Se X è un carattere quantitativo allora:3) Distribuzione di frequenza con modalità in classi nel caso di un carattereQUANTITATIVO DISCRETOF e FCalcolo , con il trattino, ed individuo le classi di modalità in j jcorrispondenza alle quali:Se dalle condizioni scritte precedentemente vengono individuate le 2› classi distintealloraSe dalle condizioni scritte precedentemente viene individuata una sola› classe di modalità:allora il quantile Q appartiene certamente alla classe j-esima.esplodo: la j-esima classe di modalità e individuo Q seguendo il procedimento→introdotto per le distribuzioni di frequenza senza modalità in classi.4) Distribuzione di frequenza con modalità in classi di un caratterequantitativo

1. CONTINUOF e FCalcolo i valori di , con il trattino, ed individuo le classi di modalità che
2. j jsoddisfano le condizioni:

Se dalle condizioni scritte precedentemente vengono individuate 2 classi› di modalità:

allora

Se dalle condizioni scritte precedentemente viene individuata una sola› classe di modalità:

allora applico la formula:

QUANTILI NOTEVOLI

Quantili:

1. 1=¿Q p=- ( )1 41=Me( )Q p=- 2 23=( )Q p=- 3 4

Decili:

1. i i=¿ ( )D p=- quantili a livelloi 10 10=MeD

Nb: 5

Centili:

1. i i=¿ ( )C p=- quantile a livelloi 10 10

LE MEDIE ANALITICHE

Le medie analitiche coinvolgono operazioni come somma/prodotto di modalità e di conseguenza sono definite solo per caratteri quantitativi. Le medie analitiche che vedremo sono:

Media aritmetica› Media geometrica› Media quadratica› Media armonica›

LA MEDIA ARITMETICA

La media aritmetica si può determinare solo per i caratteri quantitativi e viene indicata con 1La media aritmetica dei valori