Statistica (teoria) 2

Esercizio

Considerate le persone della 1^a fila.

X_i = { 1 se F0 se M

X = { 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0 }

π = ⁵/₈

prob femmine

6x_i = Σ X²/N

μ_x² = ⁵/₈ ( ⁵/₈ )² = ¹⁵/₆₄

In caso di variabile binaria:

1. 6x_i = π ( 1 - π )

2. μ_x = π

3. ^A~/_N = ρ

4. û²_x = S²_x = ρ(1 - ρ) sulla base di I

5. S_x = √^{ρ(1 - ρ)} sulla base di Li

In questi casi userò sempre la formula 3 adattata al contesto, ovvero:

   pˆ ± z_α/2 √^{pˆ(1 - pˆ)}/N  °  Θ − z_α/2 √^{β(1 - β)}/N margine di errore

Siccome X non è distribuita normalmente, la popolazione deve essere > di 30

1.) pˆ = 0,71 so che il 71% ha la variabile che mi interessa ma questo dato è una stima. Desidero dunque conoscere l'intervallo di confidenza.

N = 36 1 - α = 90% α/2 = 5% Z_α/2 = 1,65

0,71 ± 1,65 √^{0,71(1 - 0,71)}/₃₆ = 0,71 ± 0,12

Limite inferiore = 0,59 Limite superiore = 0,83

c. β = 0,12 N = 111 1 - α = 80% Z_α/2 = 1,28

0,12 ± 1,28 √^{0,12(1 - 0,12)}/₁₁₁ = 0,12 ± 0,035

Limite inferiore = 0,085 Limite superiore = 0,155

11.5)_a Si presume _{p = 0.5} se non venisse indicato p̂ = 0.5

e = 0.03 1 - α = 95%

Z_α/2 = 1.96

0,03 = 1,96 √(0,6/N)

1,96 = √(p̂(1-p̂)/θ)

β

1/Z_α/2

N = 1024

11.6)_a N = 100

1 - α = 90%

Z_d/2 = 1.65

ρ = 56/100 0,56

0,56 + 1,65 √(0,56 · 0,44/100)

0,56 + 0,082

(0,178 - 0,612)

Data: 11 Novembre 2019

Verifica di ipotesi usando intervalli di confidenza

11)_a X ∼ N (μ_x, 3)

dove X = "tempo per andare a scuola"

a) N = 30

X̄ = 12 media puntuale

Intervallo di confidenza: X̄ ± Z_α/2 6√N

12 ± 1,96 3/30

12 ± 1,07

Intervallo (10,93 - 13,07)

costruito con una procedura che nel 95% dei casi contiene il parametro ignoto

Cap. 15, es:

μ_x = "livello di polveri sottili in una località in un dato giorno"

N = 36 X̄ 50,8

μ₀ = 50 livello soglia

dato utilizzato da aleatorietà, è una media campionaria

1 - α = 95%

Z_α/2 = 1,96

s = 3,6 (stima del 6_√x, sostituibile perché N ⩾ 30)

A) IC per μ:

50,8 ± 1,96 3,6/√36

= 50,8 ± 1,2

(49,6 - 52)

Conclusioni: dato che il valore di soglia ed alcuni valori inferiori ad esso sono compresi nell'intervallo si può andare avanti senza chiudere il traffico

B) Ipotesi nulla: se è vera, non modifichiamo lo status quo (H₀)

Ipotesi alternativa: il contrario di quella nulla (H₁)

Test unilaterale

H₀: π = π₀

H₁: π > π₀

Test della differenza tra 2 medie:

H₀: μ₁ = μ₂

H₁: μ₁ ≠ μ₂

Esercizio capitolo 16

N₁ = 88

X̄₁ = 22,02

S₁ = 6,23

Licei

N₂ = 95

X̄₂ = 22,85

S₂ = 6,91

Tecnici

(1 - α) = 95%

Z_α/2 = 1,96

D̄

X̄₁ - X̄₂ = 22,02 - 22,85 = -0,83

Accetto H₀.

Data: 19 Novembre 2019

Im. Pa la retta ₍₁₎ da un consumo maggiore dell'altra. Perche? Nella ₍₂₎ considero un reddito medio, per cui è logico che all'aumento del prezzo diminuisca il consumo.

Im. Pb la retta ₍₂₎ da un consumo maggiore dell'altra perchè al calare del prezzo anche le persone con reddito basso possono consumare.

Esercizio

18.1 Si considerano 2 variabili, "Num datori", "laurea" e una costante

1. L'effetto di un datore in piu causa un +1 di 1,62 sul reddito atteso dei lavoratori
2. È il coefficiente della laurea
3. Al 95% accetto l'ipotesi che la laurea aumenti il reddito (∇H₀).
4. Y = 28,7 + 1,6 S + 5 L = 36,7
5. R² = ESS TSS = 8,821,5 15067 = 0,32

S_e = RSS = 10215,66 = 5,871

_N-3 √ 297

Ripasso 2^o esonero

Data: 2 Dicembre 2019

5.1 Y = mesi disoccup X = anni di scuola

N: 1100 ΣX = 6200 ΣX² = 18200 ΣY = 2200000 ΣY² = 813120 ΣXY = 11000

1. Calcola media e varianza di X e Y

Ȳ = ½ ΣY = 33, Var(Y) = ^Ȳ2-Ȳ2 = 2200000 = 113

_N 110

X̄ = ^ΣX = 73, Var(X) = ^ΣX2-X̄2 = 813,20 = 1121,01

_N 110

2. Calcolo covarianza e coefficiente di correlazione
   • Cov (X,Y) = ^{ΣXY - X̄ X̄ Ȳ} = 11000 (13:33) = 1211,71 &var;
   • Corr(X,Y) = ^{cov (X,Y)}, = 121,1, = 0,9 relat; correlazione fortemente negativa