Statistica (teoria) 2

Esercizio

Considerate le persone della 1ª fila.

X = {1 se F0 se M}

X = {1, 1, 0, 1, 1, 0, 0}

π_x = 5/8

µ_x = 5/8

prob. femmine

6σ_x² = ∑^X2/N

µ_x = π = 5/8, (5/8)²

15/64

In caso di variabile binaria: 1

6π_x = π(1 - π)

2

µ_x = π

3

Â̂_x = ∼Â

4

Â̂_x = S_x = Â̂(1 - π̂) sulla base di 1

5

S_x = ∼Â̂(1 - π̂) sulla base di 1

In questi casi userò sempre la formula 3 adattata al contesto, ovvero:

π̂ ± z_α/2 × π̂(1 - π̂) ∕ ;

Θ_z = z_α/2 × π̂(1 - π̂) ∕ N, margine di errore

Siccome X non è distribuita normalmente, la popolazione deve essere > di 30

π̂ = 0,71 so che il 71% ha la variabile che mi interessa ma questo dato è una stima. Desidero dunque conoscere l'intervallo di confidenza.

N = 36            1 - α = 90%            = 5%

α/2 = , Z_α/2 = 1,65

0,71 ± 1,65 0,71(1 - 0,71) ∕ 36 = , 0,71 ± 0,12

Limite inferiore = 0,59            Limite superiore = 0,83

c. π˜ = 0,12

N = 111     1 - α = 80%      Z_α/2 = 1,28

0,12 ± 1,28 0,12(1 - 0,12) ∕ 111 = , 0,12 ± 0,035

Limite inferiore = 0,085            Limite superiore = 0,155

Esercizio

1. Considerate le persone della 1ª fila.

X={₁ se F0 se M}     X={1,1,0,1,1,0,0}

π_X=⁵⁄₈     μ_X=⁵⁄₈

prob. femmine

^6x_i2=ΣX2⁄_N    μ_X²=⁵⁄₈ (⁵⁄₈)²=¹⁵⁄₆₄

In caso di variabile binaria:

1. 6x_i=π (1-π)
2. μ_X=π
3. Â=X=&widehat;π
4. Â=½_X=π (1-π)
5. S_X=&perc12;(1-π) sulla base di L₁

In questi casi userò sempre la formula adattata al contesto, ovvero:

&widehat;π+z_à²×½(&widehat;π(1-&widehat;π)⁄N) =θ–z_à²×½(π(1-π)⁄N)

margine di errore

Siccome X non è distribuita normalmente, la popolazione deve essere ≥ di 30

1. (L.I.) &widehat;π=0,71  so che il 71% ha la variabile che mi interessa ma questo dato è una stima. Desidero dunque conoscere l’intervallo di confidenza.

N=36   1-à=90%   à=5%   Z_à²=1,65

0,71+ 1,65×½(0,71×(1-0,71))⁄36 =0,71+ 0,12

0,71-0,12

Limite inferiore=0,59   Limite superiore=0,83

1. c. π=0,12    N=111    1-à=80%    Z_à²=1,28

0,12+ 1,28×½(0,12(1-0,12)⁄111) = 0,12+ 0,035

Limite inferiore=0,085   Limite superiore=0,155

11.5

a. Si presume: \( \hat{p} = 0,5 \), se non venisse indicato \( \hat{p} = 0,5 \)

\( \Theta = 0.03 \quad 1-\alpha = 95\% \)

\( Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1.96 \)

\( 0,03 = \frac{1.96 \cdot \sqrt{0.6 \cdot (1 - \hat{p})}}{\sqrt{N}} \)

\( 0,03 = \frac{1.96 \cdot \sqrt{0.24}}{\sqrt{N}} \)

\( N = \frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{\Theta^2} \cdot \left( Z_{\frac{\alpha}{2}} \right)^2 \)

\( 2,3 \cdot 10^{-4} = \frac{0,24}{N} \)

\( N = 1024 \)

11.6

a. \( N = 100 \quad 1-\alpha = 90\% \)

\( Z_{\frac{\alpha}{2}} = 1,65 \quad \hat{p} = \frac{56}{100} = 0,56 \)

\( 0,56 + 1,65 \cdot \fra