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STATISTICA

TEORIA

  • PROBABILITÁ - CONDIZIONAMENTO E INDIPENDENZA
  • DISTRIBUZIONI - FAMIGLIE DI DISTRIBUZIONE DISCRETE E CONTINUE
  • VARIABILI CASUALI + TRASFORMAZIONI DI VARIABILI CASUALI
  • PROCESSI DI POISSON
  • STIMA PUNTUALE
  • INTERVALLI DI FIDUCIA
  • TEST D'IPOTESI
  • ANOVA
  • REGRESSIONE LINEARE
  • DISTRIBUZIONE DEL MASSIMO E DEL MINIMO

30/09/2015 - Teoremi

Si definisce evento impossibile Ø l'insieme vuoto, cioè l'insieme che non contiene nessuna descrizione, Ø ∈ A → P(E) = 0

Spazio dei campioni S = {T1es, T2croce, S} dicitomia

  • Lancio moneta:
    • E = {Tes, Ccroce} eventi elementari (cioè gli eventi costruiti da una sola descrizione)

#S = numerosità o cardinalità #S = N → 2N

Lancio di un dado: E = {n pari} = {2,4,6} Ei = {n.j} {j} cos'è j = 1,2,3,...6 eventi elementari

#S = N = 6 → 26 eventi

  • Lancio di due monete:

Spazio dei campioni costituito da 4 coppie → S = {(T,M), (C,C), (T,C), (C,T)} 24 = 16

  • Esperimento: registrazione del numero di incidenti stradali che avvengano in una data regione italiana in un anno.

E = {esattamente j incidenti} = {j} E = {meno di 20 incidenti} = {0,...199} [...]

  • Esperimento: registrazione della durata di un componente elettronico F = {la durata del componente è superiore a 2000h} = {t:t > 2000} F = {la durata del componente è superiore a t ore ma inferiore a m ore}

{t: k < t < m} opp. {t: t.k < t < m}

  • Eventi E e F mutuamente escludentesi se gli insiemi sono disgiunti

Diagramma di Venn.

Nella loro totalità gli eventi formano lo spazio degli eventi A

Convenzione:

P[Ak] = #Ak/#S = Mm = (mk)(kMk)(m-kMm-k) = (mk)(kMk)(1-kMm)m-k

n.b. (mk) indica i modi (k) eventi di prelievo oggetto k nel campione

S.R.

{z1, z2, …, zk, zk+1, …, zn} k … k (K-1) … x (zk+1)(zk+2)(z…)(zn)(nM-1z1) =p

P[Ak] = (k) (M-k)(k) = → probabilità che nel mio campione passino esattamente k elementi oggetto;

Poiché P [Ak] diviene la somma e trova la probabilità di accettazione dell'utenza lotto.

Esempio

Mazzo di 52 carte M = 52 (lotto) Carte di cuori k = 13 (oggetto) m = 13 (campione) k = 6

Errore Campione

P(B1|A) = 0.394

n.b. la P(B3|A) è data da (1 - P(B3 | A))

P(B2|A) = 0.303

Formula di Bayes

P(Bk|A) = [P(A|Bk)P(Bk)] / ∑ P(A|Bi)P(Bi)

Esempio:

  • Sensitività = probabilità che test sia positivo (caso delle malattie)
  • Specificità = probabilità che test sia negativo

ma diagnosi corretta solo nel 95% dei casi:

  • B (affetto dalla malattia) 0.005 A (test dà es positivo) 0.95
  • 0.005A (test dà es positivo) 0.05
  • Bc (non affetto) A (test dà es positivo)

P(B|A) = 0.95 x 0.005 / 0.95 x 0.005 + 0.05 x 0.995 = 0.087 = 8.7%

prob. che persona sia affetta dalla malattia condizionatamente al test positivo

Esempio: Urna riempita con palline. Composizione è di solo palline bianche o metà bianche e metà nere.

  • Estrazione pallina bianca (A). Che prob. c'è che siano tutte bianche?

P(B1) = 1/2

P(B2) = 1/2

÷ prima dell'estrazione

Dopo estrazione A = P(B1|A) = P(A|B1) x P(B1) / P(A) = P(A|B1) x P(B1) / P(A|B1) x P(B1) + P(A|B2) x P(B2) = 1/2 x 1/2 / 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/2 = 2/3

* Rimesso (reimesso pallina bianca)

Estrazione di nuovo di una pallina bianca

Stessa formula di prima ma P(B1) = 2/3

P(B2) = 1/3

Funzione densità discreta

  1. P[X = xj] se x = xj; con j = 1, 2, ..., m, ...
  2. 0 se x ≠ xj

Vorrei associare a questa variabile casuale la probabilità con cui appare il risultato.

S = {testa, croce}

P[T] = p

P[C] = 1-p

Spazi campione

  • discreti (m. finito di p. purché numerabili)
  • continui (es. durata in tempi, km etc.)

La funzione variabile discreta attribuisce.

Esempio: lancio dado. Variabile casuale indica il numero della faccia superiore

S = {, , }

fX(x)

xj = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ciascun punto campione ha la stessa prob. degli altri di verificarsi.

Il numero 1/6 significa che dove sono puntini vale 1/6. Vale 0 altrove.

Esempio

fX(x) = {0,} E = {0,1}

P[E] = p

P[C] = 1-p

n.b. lancio contemporaneo di due dadi è uguale al lancio successivo di uno stesso dado

Esempio2: lancio dadi

X = variabile casuale che assume punteggio

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

fX(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

n.b. somma = 1 ok

P[X = 3] = P[E = {(1,2), (2,1)}] = P[{(1,2)} ∪ {(2,1)}]

x(i,j) = 3

n.b. Grafico simmetrico (media, moda e mediana uguali)

Distribuzione esponenziale

Fx(x) = (1-exp(-λx) se x ≥ 0

0 se x < 0

λ > 0

λ = 0.45

Fx(x) = ∫0∞ fx(u) du , dFx(x)/dx = fx(x)

  1. Ae-λx , x ≥ 0
  2. 0
  3. ∫0∞ fx(x) dx = ∫0∞ 0 dx + ∫0∞ e-λx dx = 1

Esempio. Qual è la probabilità che quel componente duri tra i 10 e i 20 anni?

P(10 ≤ x ≤ 20) =

Dimostrazione Teorema:

var[x]def = E[(X - μx)2] = E[X2 - 2μxX + μx2] =

= E[X2] - E[2μxX] + E[μx2] = E[X2] - 2μxE(X) + μx2 =

= E[x2] - (E[X])2

+∞∫-∞ x2fx(x) dx

- opp.

∑xi xj2 fxi(xj)

- E[x2] = var[x] + (E(x))2

Esempio:

fx(x) = { λ e-λx per x > 0

0 altrove

var(xexp) = E[xexp2] - (E(xexp))2

g(x)

= ∫-∞+∞ x2 fx(x) dx = ∫0+∞ x2 λ e-λx dx =

1/λ2 ∫0+∞ x2 λ e-dxx

= ∫0+∞ -x2 e-λx |0+∞

+ ∫0+∞ 2x e-λx dx = [ ] x2 |0+∞

= 2/λ3 ∫0+∞ xλ e-λx dx =

1/λ + 1/λ2 1/λ2 =

1/λ2 = var[xexp]

= 1/λ

E(xexp2) = λ

∫0+∞ x2 e-λx dx = 1/λ ∫0+∞ x2 λ e-λx dx

- -

E[x2] - var[x] + (E(x))2

Dettagli
Publisher
andreina.i
A.A. 2015-2016
142 pagine
8 download
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-S/01 Statistica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher andreina.i di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Torino o del prof Vicario Grazia.