Statistica. Riassunti teorici per i corsi di economia

EVENTO.

Un evento E è un qualsiasi sottoinsieme di eventi elementari di uno spazio campionario.

Un evento si verifica quando il risultato dell'esperimento casuale è uno degli eventi elementari che

lo costituiscono.

L' evento impossibile rappresenta l'assenza di eventi elementari.

L'evento certo è rappresentato da tutti gli eventi elementari ed è lo stesso S.

MUTUAMENTE ESCLUSIVI.

È possibile che l'intersezione di due eventi non presenti eventi elementari comuni e pertanto

l'evento sia impossibile.

Se gli eventi A e B non hanno in comune alcun evento elementare, sono detti mutuamente esclusivi

(o incompatibili) e la loro intersezione è un evento impossibile.

COLLETTIVAMENTE ESAUSTIVI.

Se l'unione di più eventi copre l'intero spazio campionario S, si dice che gli eventi sono

collettivamente esaustivi.

PROBABILITA'

indica la possibilità che un evento incerto si manifesti.

La probabilità è misurata in un intervallo da 0 a 1 :

un valore pari a zero significa che l'evento non si verificherà (EVENTO IMPOSSIBILE);

un valore pari ad uno significa che l evento si verificherà sicuramente (EVENTO CERTO).

Esistono tre diversi approcci alla probabilità:

1. CLASSICO

2. FREQUENTISTA

3. SOGGETTIVO

4. ASSIOMATICO

Definizione classica:

LA PROBABILITA' DI UN EVENTO E' LA PROPORZIONE DI VOLTE CHE L'EVENTO SI

VERIFICA.

Impostazione frequentista:

secondo l'interpretazione frequentista, la probabilità è il limite della proporzione di volte in cui l

evento A si verifica in un numero molto elevato, n, di ripetizioni di un esperimento.

Interpretazione soggettiva.

La probabilità esprime il livello di fiducia del verificarsi si un certo evento. Le probab. Soggettive

sono molto personali. Non si richiede che persone diverse giungano alle stesse probabilità per lo

stesso evento.

Impostazione assiomatica.

Basata sugli assiomi:

1. la probabilità dev'essere compresa tra 0 e 1

2. la probabilità dello spazio campionario è uguale a 1.

…

3. PROBABILITA' CONDIZIONATA

quando la probabilità del verificarsi di un evento dipende dal fatto che altri eventi si siano o meno

verificati.

Se si ha indipendenza statistica, la probabilità di A dato B è uguale alla probabilità non condizionata

di A cioè P(A|B)=P(A).

Due eventi sono statisticamente indipendenti se e solo se la probabilità dell'intersezione di A con B

è uguale alla probabilità di A moltiplicata per la probabilità di B.

DISTINZIONE TRA EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI E INDIPENDENTI.

Due eventi sono mutuamente esclusivi se non possono verificarsi assieme, cioè la probabilità della

loro intersezione è zero.

Per gli eventi indipendenti la probabilità della loro intersezione è il prodotto delle singole

probabilità, quindi tale probabilità non è zero.

Se due eventi sono mutuamente esclusivi quando uno si verifica l altro non può verificarsi e quindi

gli eventi non sono indipendenti. PROBABILITA' BIVARIATE

due insieme di eventi, considerati congiuntamente, sono chiamati bivariati e le relative probabilità

sono dette probabilità bivariate. PROBABILITA' MARGINALE.

Probabilità per i singoli eventi. Si trovano ai margini della tabella e sono calcolate sommando le

probabilità congiunte della corrispondente riga o colonna.

ODDS.

Sono usati per comunicare informazioni sulla probabilità in determinate situazioni. Ad esempio, gli

Odds in favore della vittoria della squadra A sulla squadra B sono 2 a 1.

Gli odds possono essere convertiti direttamente in probabilità, e viceversa.

Gli odds in favore di un particolare evento sono dati dal rapporto tra la probabilità dell'evento e la

probabilità dell'evento complementare.

OVERINVOLVEMENT RATIO.

È il rapporto tra le probabilità condizionate di un evento, ad esempio vendere una pubblicità, che si

verifica sotto due condizioni mutuamente esclusive e complementari, come ad esempio l'acquisto o

meno di un prodotto.

Se il rapporto delle probabilità condizionate non è uguale ad 1, allora l'evento influenza le due

condizioni subordinanti..

Questi rapporti trovano applicazione in molte situazioni aziendali, dal marketing, alla produzione,

alla contabilità; è un buon esempio di come si possono applicare gli strumenti matematici alle

probabilità, per ottenere risultati che sono utili anche nelle decisioni aziendali.

TEOREMA DI BAYES.

Fornisce un modo per aggiornare le probabilità condizionate usando le informazioni disponibili.

Fornisce anche un metodo per modificare i giudizi probabilistici in presenza di nuove informazioni.

Il teorema venne sviluppato dal reverendo Thomas Bayes e pubblicato originariamente nel 1763.

poiché i giochi di sorte e quindi le probabilità erano considerati opera del demonio, dopo la prima

pubblicazione i risultati non furono adeguatamente pubblicizzati, cosa che venne fatta dalla seconda

guerra mondiale in poi.

Un classico esempio riguarda l'attribuzione di una malattia quando un test di laboratorio risulta

positivo.

Un interessante interpretazione del teorema di bayes è stata sviluppata nell'ambito della probabilità

soggettiva.

Supponiamo che un individuo sia interessato all'evento B e si formi una certa opinione dulla

probabilità che B si verifichi: in questo contesto la probabilità P(B) è chiamata probabilità a

PRIORI.

Se l'individuo in seguito ottiene ulteriori informazioni, ad esempio il fatto che si è verificato l

evento A questo può modificare il giudizio iniziale sulla verificabilità di B.

poiché si sa che A si è verificato, la probabilità relativa a B diventa adesso una probabilità

CONDIZIONATA, di B dato A e viene definita probabilità a posteriori.

Visto in questo modo, il Teorema di Bayes può essere pensato come un meccanismo per aggiornare

la probabilità a priori e trasformarla nella probabilità a posteriori quando diventa disponibile

l'informazione sul verificarsi dell'evento A.

VARIABILE ALEATORIA o casuale

Ci si riferisce a processi che generano risultati incerti.

Una variabile aleatoria è una variabile che assume valori numerici in corrispondenza ai risultato di

un esperimento aleatorio.

VARIABILE DETERMINATA

Si fa riferimento a risultati senza margine d’errore

VARIABILE ALEATORIA DISCRETA.

È una variabile che può assumere un insieme numerabile di valori.

Ogni variabile aleatoria che può assumere solo un numero finito di valori è discreta.

È aleatoria anche se il numero di possibili risultati è infinito, ma numerabile. (es: il numero di lanci

di una moneta necessari per osservare “testa” per la prima volta).

Altri esempi:

1. il numero di clienti che arriva in un ora nella cassa di un supermercato

2. il numero di errori rilevati nei conti di una società

VARIABILE ALEATORIA CONTINUA.

È una variabile che può assumere qualunque valore in un intervallo.

Es:

1. la probabilità che oggi la temperatura massima sia compresa tra i 15 e i 20 gradi

2. il reddito annuo di una famiglia

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA DELLE V.A.DISCRETE

La distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria è la rappresentazione delle probabilità di

tutti i possibili valori che può assumere la variabile.

La rappresentazione può essere algebrica, grafica (diagramma ad aste), tabellare.

La FUNZIONE DI PROBABILITA' esprime la probabilità che X assuma il valore x.

P(X)=P(X=x)

La somma delle probabilità deve dare 1.

La FUNZIONE DI RIPARTIZIONE F(xo) esprime la probabilità che X non superi il valore xo .

F(xo)=P(X<xo) VALORE ATTESO DI UNA V.A.DISCRETA

Il VALORE ATTESO è la corrispondente misura di tendenza centrale per una variabile aleatoria.

Se ipotizzassimo di utilizzare la media semplice come valore centrale si tratterebbe di una tendenza

centrale errata perchè non terremmo conto che per esempio l'81% di pagine contiene 0 errori .

Perciò, per ottenere un adeguata misura di tendenza centrale, i diversi risultati possibili devono

essere pesati tramite le probabilità del loro verificarsi.

Il valore atteso di una variabile aleatoria è anche chiamato media.

VARIANZA DI UNA V.A.DISCRETA

mentre la varianza campionaria è la media degli scarti al quadrato delle osservazioni dalla loro

media; la varianza di una variabile aleatoria è la MEDIA PONDERATA DEI QUADRATI DI

– μ)²

TUTTI I SUOI POSSIBILI SCARTI DALLA MEDIA (x

Il concetto di varianza può essere utile per confrontare la variabilità si distribuzioni di probabilità

diverse.

Se si considera una v.c. che rappresenta il rendimento annuo di un investimento, una varianza

maggiore può essere associata al concetto di RISCHIO DELL INVESTIMENTO: più è alta la

varianza, più è alto il rischio.

Le variabili casuali discrete di distinguono in:

1. Bernoulli

2. Binomiale

3. Ipergeometrica

4. Poisson LA V.C. DI BERNOULLI

Considera solo due risultati mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi: successo o

insuccesso.

P = probabilità di successo

–

1 P = probabilità di insuccesso

x=0 se insuccesso; x=1 se successo.

Si può determinare la probabilità nel caso in cui un esperimento, con due soli risultati possibili, è

ripetuto più volte e le prove sono tra loro indipendenti.

DISTRIBUZIONE BINOMIALE.

Supponiamo che un esperimento casuale possa presentare due soli risultati, mutuamente esclusivi e

collettivamente esaustivi che definiremo come successo e insuccesso. Se si ripete l'esperimento n

volte,in modo indipendente, la distribuzione del numero di successi, X, è chiamata distribuzione

binomiale.

La distribuzione binomiale è molto usata nelle applicazioni economico aziendali che coinvolgono le

variabili discrete.

Caratteristiche:

– un numero fissato di sottoprove (es 15 lanci di una moneta)

– la probabilità del risultato di una prova rimane costante in ogni ripetizione.

– La probabilità del risultato di una prova non influisce sul risultato delle altre prove

A meno che il numero delle prove n sia molto piccolo, il calcolo delle probabilità risulta molto

lungo: perciò si ricorre ai pacchetti applicativi.

DISTRIBUZIONE IPERGEOMETRICA.

Si tratta di un CAMPIONAMENTO SENZA REINTRODUZIONE: le probabilità cambiano ad

ogni estrazione.

Se la