Statistica. Professori: Luigi Bollani, Andrea Martra

STATISTICA

collettivo statistico → (o popolazione) insieme delle entità mediante le quali è possibile ottenere informazioni sul fenomeno stesso. I suoi elementi sono detti unità statistiche.

carattere → grandezza che, rilevata su ciascuna unità statistica, permette di comprendere il fenomeno collettivo in esame

insieme delle modalità di un carattere → insieme di tutte le espressioni possibili del carattere in esame

ES. COLLETTIVO STATISTICO

• persone residenti nel comune di Torino

CARATTERI

• Colore occhi
• Sesso
• Livello istruzione
• Reddito

CARATTERI

QUALITATIVO

Le sue modalità sono espresse in termini di attributi

QUANTITATIVO

Le sue modalità sono espresse in termini numerici

SCONNESSI

Le modalità non presentano alcuna relazione d'ordine naturale

scala nominale

ORDINALI

Le modalità presentano una relazione d'ordine naturale

scala ordinale

DISCRETI

CONTINUI

MUTABILE e VARIABILE STATISTICA

L'applicazione che associa a ciascun elemento del collettivo statistico uno e uno solo elemento dell'insieme H delle modalità prende il nome di:

MUTABILE STATISTICA → se l'insieme H è formato da attributi

VARIABILE STATISTICA → se l'insieme H è formato da numeri reali

PRINCIPI UNITA’ STATISTICA

• ESCLUSIVITA’ (ogni unità statistica non può appartenere a due sottoinsiemi)
• ESAUSTIVITA’ (ogni unità statistica deve appartenere ad un sottoinsieme)

FREQUENZA

• ASSOLUTA: n_i di u.s che presentano la stessa modalità
• RELATIVA: rapporto tra frequenza assoluta associata alla modalità X_i e numerosità n del collettivo statistico
• CUMULATA

CARATTERI QUALITATIVI (MUTABILI)

• Tabulazione
  • distribuzione di frequenze
• Grafici
  • diagramma a barre
  • diagramma a torta

CLASSI DI INTERVALLO

• devono essere contigue e non sovrapporsi
• il numero di classi deve essere compreso tra 5 e 20
• usare limiti di classi multipli di 2, 5, 10

w = ampiezza classe = ampiezza intervallo (b-a) / n. classi

ESERCIZIO

5

6

8

10

RANGE 10-5=5

DIFF. INTERFASICA

• 5 0,2 2/10-0,2
• 6 0,4 4/10-0,4
• 8 0,6 6/10-0,6

dif interquartile 8-6=2

0,8 3,0

(1+2+3+5+1+2+4+1+3+2)÷10 = 2,4

(1+2+3+5+1+2+4+1+3+2)÷25 = 1,1

SCARTI

scarto semplice medio

∑_i|x_i-M| ÷ n

• M - media = ssm dalla media
• M - media = ssm dalla mediana

5 (6) 8 10

(1,2)+(1,2)+(0,2)+(0,3)+(2,3) = 1,44 ssm media

2+1+0+1+3÷5 = 7 ssm mediana

Sqm - scarto quadratico medio

√(∑_i(x_i-X̄)²/n)

varianza = radicando

∑_i(x_i-X̄)²/n

A ▶️ le due grandezze crescono l'una al crescere dell'altro errore abbastanza marcato rispetto al modello

B ▶️ decresce errore poco marcato rispetto al modello

C ▶️ r sarà più vicino a zero

D ▶️ Vale per modelli lineari!! r ≃ 0

D r è positivo r è negativo (più vicino a -1)

r = ⁿ∑_i=1 (x_i - x̄ )(y_i - ȳ ) √n∑_i=1 (x_i - x̄ )² √n∑_i=1 (y_i - ȳ )²

r = coefficiente di correlazione lineare

R² ➔ RAPPORTO DI DETERMINAZIONE

0 ≤ R² ≤ 1

R² = somma dei quadrati della regressione somma dei quadrati totali

◦ Se coincidono R² = 1 il modello spiega tutta la variazione

❶ ? non ha senso

40'000 30'000 80'000

in verde dove meglio pont

una cosa si viti

❷

1910  1940  2010

1950 1985

P(A∪B)

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

= eventi compatibili

• es. P(R): 0,5
• P(VF): 0,23
• P(I): 26/52=0,615=61,5%

Probabilità di estrarre carta rossa o figura

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

= eventi incompatibili

es. probabilità di pescare picche o quadri

P(P∪Q) = P(P) + P(Q) + ∅

P(A|B)

Probabilità condizionata

P(A/B) Probabilità che diamo ad A sapendo che B si verifica

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

• P(VF): inf(∧VF)/n/2=52/52
• P(V): 0,23

P(V/F) = 8/12 = 0,66

Probabilità di vincere

• Sapendo che è uscita una figura
• ∅/n^2=0,66

Probabilità di vincere

se so che è uscita una figura

P(V|numerica) = 4/40 = 0,10

• 0,23 = Probabilità di vincere
• 0,66 Sapendo che è uscita una carta figura

Qual è la probabilità che ho di vincere sapendo che le mie carte sono 0, 14, 10?

P(V|R) = 2*2+2*0.66 = 0,23 (uguale al primo caso)

Se P(A) = P(A|B) è indipendenza

Indipendenza

• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)
• P(A∩B) = P(A) P(B)

Se si verifica una allora si verificano anche le altre due

P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = P(A) = P(A|B) P(B)

P(A∩B) = P(A|B) P(B) - P(B|A) P(A)

LA DISTRIBUZIONE NORMALE

Z = ^{X - μ}/_σ

ESEMPIO 1

LA DURATA DI UNO PNEUMATICO RADIALE È DISTRIBUITA NORMALMENTE. LA MEDIA È 65450 Km E LA DEVIAZIONE STANDARD (O SCARTO QUADRATICO MEDIO) σ = 5350 Km. QUALE È LA PROBABILITÀ CHE LO PNEUMATICO DURI PIÙ DI 61.800 Km?

Z = ^{61.800 - 65.450}/₅₃₅₀ = -0,68

1 - 0,2483 = ∼ 75%

ESEMPIO 2

μ = 175 cm σ = 3

QUALE PROBABILITÀ HA UNO STUDENTE DI ESSERE ALTO TRA 168 e 184 cm?

Z = ^{X - μ}/_σ

^{168 - 175}/₃ = -2,33

^{184 - 175}/₃ = +3

F(-2,33) = 0,0099 F(3) = 0,9987

Pr = F(3) - F(-2,33) = 0,9888 = 98,8%

5. SPIEGARE:

1. principali concezioni di probabilità
2. proprietà probabilistiche degli eventi indipendenti e incompatibili:

1. • CONCEZIONE CLASSICA

   La probabilità del verificarsi di un evento E può essere valutata come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, supposto che questi siano equipossibili.

2. • CONCEZIONE FREQUENTISTA

   p(E) = lim_n→∞ f_n(E)

   ossia, per numero di prove che tende a ∞, della frequenza relativa.

3. • SOGGETTIVA

   Al soggetto è riconosciuta la possibilità di esprimere una propria personale valutazione sulla probabilità che si verifichi l'evento.

B) IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA DI KOLOMOGOROV

1. non negatività → P(E) ≥ 0
2. additività → la probabilità di un evento è sempre ≥ 0
3. 3. Norma → la probabilità dell’evento certo è 1

EVENTI INCOMPATIBILI

• A∩B = ∅
• ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)

EVENTI INDIPENDENTI

• P(A∩B) = P(A)·P(B)
• ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6. RAPPORTI STATISTICI

Sono indicatori che risultano del rapporto di due dati statistici.

Si distinguono

A) RAPPORTI DI COMPOSIZIONE

Siano date k grandezze a₁,a₂,...,a_k che formano una partizione di A ovvero A = a₁+a₂+...+a_n.

Sono rapporti di composizione percentuali:

• ^a₁/_A·100, ^a₂/_A·100, ... , ^a_k/_A·100

B) RAPPORTI DI COESISTENZA

Siano date k grandezze a₁,a₂,...,a_k che formano una partizione di A, ovvero A=a₁+a₂+...+a_k.

Presi due sottoinsiemi di tali grandezze di chiunque, rapporto di coesistenza percentuale.

Il rapporto tra le somme delle grandezze del primo insieme e il secondo.

(rapporto = max perché ≥ 100)

C) RAPPORTI DI DERIVAZIONE

Sia A un fenomeno di stato e B un fenomeno di movimento e crescita da A.

Siano a₁,a₂,...,a_k e b₁,b₂,...,b_n le manifestazioni di A e B riferito a n situazioni.

Il rapporto di derivazione è pari a:

• ^b₁/_a1·1000, ^b₂/_a2·1000, ..., ^b_n/_an·1000

D) RAPPORTI DI DENSITÀ

Si mette a ... corrisponduto le manifestazioni di un fenomeno con le dimensioni a cui il fenomeno è collegato (superfici, lunghezze, popolazione).

Es. kg x output.

Popolaz. residente.