Esercizi di Statistica

Esercitazione Statistica

1. Vero o Falso?
   • A) Lo scarto quadratico medio può essere positivo o negativo F
   • B) La varianza di un insieme di numeri tutti negativi è sempre positiva o nulla V
   • C) La varianza di un insieme di numeri tutti negativi non è calcolabile F

• Scarto Quadratico Medio

• Varianza

2. Qualitativi o quantitativi?
   • A) Numero esami sostenuti => Quantitativo (discreto)
   • B) Inquadramento d'azienda (es. impiegato) => Qualitativo
   • C) Millimetri di pioggia e caduti oggi => Quantitativo (continuo)

3. R e' positivo, quasi nullo, negativo
   • Positivo
   • Negativo
   • Quasi nullo

4. Nell'istogramma:
   • A) Le altezze sono proporzionali ai valori dei centri classe F
   • B) Le larghezze sono proporzionali alle frequenze cumulate F
   • C) Le aree dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze di classe V

5. Mediana

50-esimo percentile = 0,50

La mediana e 2 (il valore della variabile)

6. Probabilità

P(A) = 0,2 P(B) = 0,3 P(ANB) = 0,1 P(AUB) = ? P(AUB) = 0,4

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A n B)

7. Distribuzione normale

Una variabile X ha distribuzione normale con media μ = 10 e σ = 2.

• A. Il valore standard di X = 12 è un numero positivo ✅
• B. La probabilità che X > 12 è un numero superiore a 0,5 ❌
• C. La probabilità X < 8 è un numero inferiore a 0,5 ✅

8. Vero o Falso?

Se r = -1, l'interdipendenza è molto bassa ❌

7. Soluzione

• A) Il valore standard è z

  z = (x - μ) / σ = (12 - 10) / 2 = 1

• B) Se tutta la gaussiana vale 1, metà vale 0,5 quindi X > 12 non può essere > 0,5
• C) Stesso ragionamento

8. Tchebechev

La diseguaglianza di Tchebechev fornisce: Una previsione sulla percentuale minima di osservazioni contenute all'interno di un certo intervallo indipendente dalla forma della distribuzione.

9. Medie campionarie

La distribuzione delle medie campionarie

• è sempre distribuita normalmente
• mai distribuita normalmente
• dipende dai singoli valori

Distribuita normalmente (indipendentemente dai singoli se la numerosità è elevata).

Se estraggo una popolazione di perni con diametro 5,4mm e 8,9m, σ = 0,5 mm, la serie di campionamenti di media questi tendono a distribuirsi normale. μ = 5,4mm = μx̄, δx̄ = δ/√n, n > 50

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

P_χ(x) = ^n!_χ!(n-x)! π^x (1-π)^n-x

• π→ probabilità di successo nella singola prova
• x→ numero di successi nelle n prove
• n→ numero complessivo di prove

ESEMPIO 1

Il 30% dei candidati di un concorso è femmina. Calcolare la probabilità che presi 16 candidati 4 siano femmine.

P_(x) = ^16!_4!(12)! 0,3⁴ (1-0,3)^16-4 = 0,204

ESEMPIO 2

Il 38% dei motori è difettoso. In un campione di 18 motori qual è la probabilità che al massimo 4 siano difettosi?

1. P(ℓ) P₍₁₎ + P₍₂₎ + P₍₃₎ + P₍₄₎

al massimo 4

1. π=0,38 x→0 n→18

P_χ(x) = ^18!_0!(18)! 0,38⁰ (1-0,38)¹⁸ = 0,00018

π=0,38 x→1 n→18

P_χ(x) = ^18!_1!(17)! 0,38¹ (1-0,38)¹⁷ = 0,00202

π=0,38 x→2 n→18

P_χ(x) = 0,0105

π=0,38 x→3 n→18

P_χ(x) = 0,0344

π=0,38 x→4 n→18

P_χ(x) = 0,0794

➔ P_χTOT: 0,00018 + 0,00202 + 0,0105 + 0,0344 + 0,0794 ➔ 0,126 = 12,6%

2. La probabilità che al massimo 17 siano difettosi?

P(ℓ) P₍₁₎ + P₍₂₎ + ... + P₍₁₇₎ + P₍₁₈₎ = 1 - P₍₁₈₎

➔ P_χ(x) = ^18!₁ 0,38¹⁸ (6,038)₀ = 2,7 x 10^-8

ES 1:

s: difettoso (controllo 2 pezzi)

X: numero pezzi difettosi

• p(x)
• 0 0.05
• 1 0.25
• 2 0.05

media = 0.15

VAR[X]= n(1-p) - 0.1275

ES 2:

X

• 0 0.05
• 1 0.14
• 2 0.28
• 3 0.32
• 4 0.13
• 5 0.08

MEDIA = Σ xi*p(xi) = 2.58

σx = √∑ (xi-ux)².p(xi) = 1.2504

(0 - 2.58)² x 0.05 + (1 - 2.58)² x 0.14 + (2 - 2.58)² x 0.28 + (3 - 2.58)² x 0.32 + (4 - 2.58)² x 0.13 + (5 - 2.58)² x 0.08

√1.5636 = 1.2504

EX 3:

X: num. guasti

• p(x): probabilita n.guasti

X

• 0 0.08
• 1 0.28
• 2 0.35
• 3 0.20
• 4 0.09

media guasti: Σ xi.p(xi) = 1.94

σx =

√(0 - 1.94)² x 0.08 + (4 - 1.94)² x 0.28 + (2 - 1.94)² x 0.35 + (3 - 1.94)² x 0.20 + (4 - 1.94)² x 0.08

σx = √1.564 = 1.07536

costi

X

• 0 0.08
• 1200 0.28
• 2400 0.35
• 3600 0.20
• 4800 0.09

media costi: Σ xi.p(xi) = 2328

σx =

√(0 - 2328)² x 0.08 + (1200 - 2328)² x 0.28 + (2400 - 2328)² x 0.35 + (3600 - 2328)² x 0.20 + (4800 - 2328)² x 0.09

√166 5216 = 4290