Statistica

Probabilità condizionata e indipendenza degli eventi

P P =(A|B) * (B) (A ∩ B)P

Quindi: = P P(A|B) * (B)(A ∩ B) P(e viceversa per )(B ∩A )

Esempio: rosso nero totale

P :(rosso|asso) rosso nero totale

Perché rossa sul totale delle carte è uguale a 0,5(rosso|asso) rossa

Ovvero evento carta Rossa e evento carta Asso sono indipendenti.

Due eventi sono indipendenti se vale: PP =(A|B) (A )

E ci sta nel ragionamento mento logico, perché se sono indipendenti vuol dire il fatto che siaverificato l’altro non influenza minimamente l’evento che stiamo considerando.

Come conseguenza si può scrivere: P = P P(A) * (B)(A ∩ B)

Gli eventi sono indipendenti se non si condizionano l’un l’altro.

Considerazioni: probabilità che esca testa lanciando una moneta:

P =0,5(T)

Se la lancio la moneta una

seconda volta la probabilità che esca testa è:P -> la moneta non si ricorda che prima è già uscito testa, quindi è evidente che può di nuovo(T,T)uscire con la stessa probabilità di prime, noi irrazionalmente se ci dicono di puntare su una delledue facce chiediamo qual è uscito prima (anche se non influenza minimamente). Ogni evento è unevento casuale indipendente da quello che è successo prima.

PP = = P P = 0,5*0,5=0,25(T,T) (T) * (T)(T ∩ T)Terzo lancio SecondolancioTesta Croce Su tutte le variacombinazioni, dueTesta Testa volte testa è ¼=0,25Croce TestaCroce Croce

Esempio:escludendo 0:la probabilità che P =0,5(pari)la probabilità che P =0,5(dispari)6 estrazioni consecutive:

1. D D D D D D 6(0,5)Probabilità 0,5 (50%) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. P P P P P P 6(0,5)Probabilità 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3. P D D P P D 6(0,5)Probabilità 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

6P(A ∩ A ∩

A … )= P(A ) P(A ) P(A )…= (0,5)1 2 3 1 2 3

Qual è la sequenza con la probabilità più alta di uscire? La maggior parte delle persone dice la 3, anche se in realtà tutte hanno la stessa probabilità.

Perché la stragrande maggioranza delle persone risponde che la sequenza più probabile è la 3?

Perché parrebbe strano che, se c’è una probabilità del 50 % (0,5), venga fuori 6 volte di fila pari o 6 volte di fila dispari. Ma anche nella terza sequenza in tutte le estrazioni c’è il 50% di probabilità che esca pari o che esca dispari.

Ma allora perché la maggioranza delle persone risponde che la sequenza più probabile è la 3?

Perché riferendoci alla statistica a volte confondiamo delle cose con delle altre, solitamente confondiamo le probabilità con le tipicità. Quindi si sceglie la terza sequenza perché è tuttosommato simile a una

sequenza così: PPDPDD, che è simile a DPDPPD. Cioè noi nel nostro cervello quando ci presentano queste sequenze con la terza non identifichiamo quella sequenza ma tutte le sequenze possibili di pari e di dispari. Allora se noi consideriamo TUTTE le combinazioni di pari e dispari è vero che è più probabile una sequenza di soli pari o soli dispari. Campiamo meglio nel momento in cui ci fanno capire che questa è una sequenza PARTICOLARE, il primo è pari il secondo è dispari ecc. allora capiamo che questa è una sequenza unica e particolare come una sequenza di soli pari o solo dispari.

Non è assolutamente razionale dire che la terza sequenza è più probabile. Non è assolutamente razionale dire che testa-testa è un evento più raro di croce-croce. È invece razionale dire che un evento testa-testa è un evento più raro di un evento discorde: T T 1C T *C C 1T C *

Di testa-testa, ne ho

1. Di croce croce ne ho 1 su 4
2. Di eventi discordi ne ho 2
3. Nota bene -> la tipicità non la probabilità! Gli eventi discordi sono caratterizzati da una loro tipicità che è quella di essere discordi.
4. Ma invece la probabilità che venga la prima volta croce e la seconda volta testa è la stessa.
5. Esempio: L M Me G V S D
6. Assicurazione terremoto casa = 7000$/anno -> 1000$ all’anno per giorno alla settimana
7. Assicurazione che copre L Me V = 1000$/anno -> per essere eguagliata all’altra dovrebbe essere 3.000$. quindi la seconda assicurazione è molto più vantaggiosa economicamente rispetto alla probabilità che il terremoto avvenga in un giorno non coperto.
8. Esempio: Anna:
• - 25 anni
• - Indipendente
• - Esperienze all’estero
• - Studi elevati
• - Genitori attenti alle libertà individuali
9. Allora posso dire:
1. a) Anna è una manager affermata
2. b) Vive a Dubai
3. c) Anna è una manager affermata e vive a Dubai
10. Probabilità

Esperimento deterministico: il suo risultato è regolato da leggi (fisiche e chimiche) note ed il suo esito non cambia se ripetuto sotto condizioni sperimentali immutate. Es: ebollizione dell'acqua a 100°C

Esperimento casuale: può essere ripetuto indefinitamente sotto condizioni sostanzialmente identiche; è possibile descrivere, in modo esaustivo prima di eseguirlo, i suoi possibili esiti, ma non è possibile conoscere con certezza quale di essi si verificherà. Es: lancio di un dado o moneta non truccati

Evento certo -> somma di tutti gli eventi possibili

Evento impossibile -> non può succedere

Molto importante:

Ragioniamo insieme:

Uso diagramma ad albero: Modo più semplice per vedere il caso della probabilità condizionata (in questo caso una volta la condizione è che l'auto abbia l'AC e nell'altro caso che...

Considerando il teorema di Bayes:

Sapendo che una persona ha il test positivo, qual è la probabilità che abbia il covid?

Non tutte le persone che hanno il test positivo sono malate, esistono anche i falsi positivi. Bayes ci aiuta a capire quanto è affidabile il test.

60% di 0,4 dettagliato: 0,24

60% di 0,4: 0,16

40% negativo/trivellazione dettagliato: 0,12

20% di 0,6: 0,48

80% negativo

Dato da somma di 0,4 e 0,6, perché sono 1

Sarebbero i falsi positivi collettivamente esaustivi. Cioè per il 12% del totale ho avuto un test positivo anche quando non c'era bisogno.

Tutti i casi in cui ho test positivo: 0,24 + 0,12 = 0,36

Probabilità che il pozzo sia di successo, ovvero che trovo petrolio:

Qual è il ramo del petrolio? Il primo

Qual è il ramo di riferimento, ovvero dove trovo petrolio? Il primo

Qual è il valore di riferimento? 0,24

Quindi la probabilità di successo sarà: 0,24 / (0,24 + 0,12) = 0,67

Calcolata sul totale dei casi in cui il pozzo è

La probabilità che una donna di quaranta anni abbia un cancro al seno è pari all'1%.

Se è malata, la probabilità che una mammografia dia esito positivo è del 90%, altrimenti se non è malata la probabilità che l'esito dell'esame sia comunque positivo è del 9%.

Quale probabilità ha una donna con mammogramma positivo di avere davvero il cancro al seno?

0,08919%

0,99%

0,900991%

trivellazione 0,00990%

0,01%

0,001010%

Totale test positivi: 0,009+0,0891=0,0981

Probabilità che una donna con test positivo sia effettivamente malata il pozzo sia di successo: 0,009 = 0,092

0,009+0,0891

STATISTICA

Capitolo 5

Variabile aleatoria è un possibile valore numerico ottenuto da un esperimento aleatorio (es. valore faccia di un dado)

Distribuzione di probabilità: vuol dire andare a individuare tutti i possibili valori che la variabile aleatoria può assumere e associare ad essi una loro probabilità

Se noi facciamo due