Riassunto esame Statistica, prof. Laureti

Statisticariepilogo formule suddivise per capitolo con qualche piccola nota

Capitolo I

Caratteri:

• Quantitativi discreti (Definiti su tutto l'asse dei numeri interi)
• Continui (Definiti su tutto l'asse dei numeri reali)
• Trasferibili (Se un carattere può cedere in tutto o una parte del carattere posseduto a un'altra unità statistica. Esempio: Reddito, Numero dipendenti etc.)
• Non trasferibili (Se un carattere non può cedere in tutto o in parte a un'altra unità statistica. Esempio: Peso, età, Titolo di studio etc.)
• Qualitativi sconnessi
• Ordinabili

Capitolo II

Definizione - Distribuzione unitaria semplice

Definiamo distribuzione unitaria semplice di un carattere l'elencazione delle modalità osservate unità per unità del collettivo preso in esame. Si parla di distribuzione unitaria multipla quando tale elencazione si riferisce a più di 1 carattere.

Definizione - Frequenza assoluta

Indichiamo col termine frequenza assoluta di una modalità di un carattere il numero di volte che questa viene osservata nel collettivo.

Definizione - Distribuzione di frequenza semplice

La distribuzione di frequenza semplice associa alle modalità che può assumere un carattere X, qualitativo o quantitativo, le corrispondenti frequenze assolute.

Definizione - Frequenze relative e percentuali

Date n unità statistiche di cui presentano la j-esima modalità, si definisce frequenza relativa il rapporto:

f_j = n_j / n

Si definisce invece frequenza percentuale:

f_j × 100 / n

Definizione - Frequenze cumulate

Dato un carattere X con K modalità ordinate in senso crescente si indica con:

N_j = n₁ + n₂ + ... + n_j La frequenza assoluta cumulata

F_j = f₁ + f₂ + ... + f_j La frequenza relativa cumulata

P_j = p₁ + p₂ + ... + p_j La frequenza percentuale cumulata

Capitolo III

Definizione - Media aritmetica di un insieme di valori

La media aritmetica di un insieme di valori osservati di un carattere quantitativo X è pari alla somma dei valori osservati divisa per il loro numero:

a_n = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

Definizione - Media aritmetica di una distribuzione di frequenze

La media aritmetica di una distribuzione di frequenze è:

a_j = Σ (x_j × n_j) / n

Proprietà delle media aritmetica

• La somma dei valori [x₁ + x₂ +..., +x_n] è uguale al valore medio moltiplicato il numero di unità, in formule: Σx_i = n × a
• La media è maggiore dell'estremo inferiore e minore dell'estremo superiore, in formule: x₁ < a < x_n
• La somma degli scarti dalla media aritmetica è uguale a zero, in formule: Σ(x_i - a) = 0
• La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c, scelta tra il valore minimo e il massimo, è minima quando c è uguale alla media aritmetica, in formule: Σ(x_i - a)² = 0

Definizione – Media aritmetica ponderata

La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati [x₁, x₂, ..., x_n] di un carattere quantitativo X con pesi [p₁, p₂, ..., p_n] è data da:

a_n = (x₁ × p₁ + x₂ × p₂ + ... + x_n × p_n) / (p₁ + p₂ + ... + p_n)

Definizione - Media geometrica

La media geometrica di un insieme n di valori positivi [x₁, x₂, ..., x_n] di un carattere quantitativo X è pari alla radice n-esima del prodotto dei singoli valori:

g = √(x₁ × x₂ × ... × x_n)

Capitolo III-2

Definizione - Mediana

La Mediana (M) di un insieme di unità ordinate (secondo un carattere ordinabile) è la modalità presentata dall'unità centrale, dove per unità centrale si intende l'unità che divide il collettivo in due parti di uguale numerosità: una parte formata dalle unità che presentano una modalità precedente o uguale a quella dell'unità centrale e una parte formata dalle unità che presentano una modalità successiva o uguale a quella dell'unità centrale.

La prima cosa da fare per calcolare la Mediana è ordinare in senso crescente le modalità del carattere, perché la mediana è quella modalità che occupa il posto centrale e suddivide la distribuzione in due parti uguali.

Come individuare la posizione centrale o rango della mediana

• Insieme di n valori vanno prima di tutto ordinati in senso non decrescente
• Se n è dispari → abbiamo una sola modalità della posizione centrale che è data da: (n + 1) / 2
• Se n è pari, abbiamo 2 modalità in corrispondenza delle posizioni centrali che sono date da: n/2 e n/2 + 1
• Di solito: Me = (x_n/2 + x_n/2+1) / 2

Nota di Vezio: Nel caso di una distribuzione di frequenze in classi, per il calcolo della Mediana, una volta calcolato il valore centrale della classe, è necessario trasformare le Frequenze assolute in Frequenze relative cumulate. La Mediana corrisponde alla classe con la prima frequenza relativa cumulata immediatamente superiore a ≥ 0,50. La Mediana allora si calcola con la seguente relazione:

Me = I + [(0,5 – F_m-1) / (F_m - F_m-1)] × Δ_m

con:

• I_m = Estremo inferiore della classe
• F_m = Frequenza cumulata > 0,5 (maggiore o la prima frequenza immediatamente superiore a 0,5)
• F_m-1 = Frequenza cumulata < 0,5 (minore o la prima frequenza immediatamente inferiore a 0,5)
• Δ_m = L'ampiezza della classe corrispondente alla frequenza F_m

Proprietà della mediana

Per un carattere quantitativo X, la somma degli scarti in valore assoluto dei valori delle modalità x_i, da una costante c è minima quando c è uguale alla mediana cioè:

Σ |x_i - c| è minima per c = M_e

Attenzione: Le frequenze relative sono riferite alle unità statistiche.

Capitolo III-3

Definizione - Moda

La moda è la modalità della distribuzione che si presenta con la massima frequenza, assoluta, relativa o percentuale.

• È la modalità più frequente, con la frequenza più diffusa e vale sia per i caratteri quantitativi che qualitativi
• In un insieme di valori: è quel termine, quella modalità, che si ripete più volte
• In una distribuzione di frequenza: quella modalità che ha la frequenza più alta
• In una distribuzione di frequenza con classi di valori: ogni valore della classe con la più alta densità di frequenza (calcolata come il valore del carattere associato alla classe diviso l'intervallo della classe)
• Può non esistere
• Può non essere unica
• Può essere una modalità “poco rappresentativa” del fenomeno

Capitolo IV

Definizione di variabilità

La variabilità di una distribuzione di frequenza esprime la tendenza delle unità statistiche di un collettivo ad assumere diverse modalità del carattere.

Definizione generica di indice variabilità

Un indice di variabilità deve assumere il suo valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale modalità del carattere. Un indice di variabilità deve aumentare all'aumentare della "diversità" tra le modalità del carattere assunte dalle varie unità statistiche.

Definizione di varianza

La varianza σ² di un insieme di n valori osservati [x₁, x₂, ..., x_n] di una variabile X con media aritmetica è:

σ² = Σ(x_i - ̄x)² / n

Definizione di devianza

Il numeratore della varianza è detto devianza:

Σ(x_i - ̄x)²

Definizione di varianza di una trasformazione lineare

La varianza di un carattere Y, ottenuto attraverso la trasformazione lineare: Y = α × X + β di un carattere X di media e varianza è pari a:

Var(Y) = α² × σ²

Definizione di deviazione standard

La deviazione standard è data dalla radice quadrata della varianza:

σ = √σ²

Definizione di coefficiente di variazione

Il coefficiente di variazione CV della distribuzione di un carattere X di media e deviazione standard è dato dal rapporto tra la deviazione standard e la media moltiplicato per 100:

CV = (σ / ̄x) × 100

Definizione di scostamento medio dalla media aritmetica

Si definisce scostamento semplice medio dalla media aritmetica la quantità:

S = Σ|x_i - ̄x| / n

Definizione di scostamento medio dalla mediana

Si definisce scostamento semplice medio dalla mediana la quantità:

S_Me = Σ|x_i - M_e| / n

Capitolo IV-2

Definizione del teorema di Chebychev

Data una distribuzione di valori dei quali si conoscono la media e la deviazione standard e dato un valore reale positivo k, possiamo affermare che:

1 - f(x) (|x - ̄x| > kσ) ≤ 1/k²