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CAPITOLO III°-2

Definizione 5-Mediana

La Mediana ( M ) di un insieme di unità ordinate ( secondo un carartere ordinabile ) è la modalità presentata dall'unità

e

centrale , dove per unità centrale si intende l'unità che divide il collettivo in due parti di uguale numerosità : un aparte formata

dalle unità che presentano una modalità precedente o uguale a quella dell'unità centrale , e una parte formata dalle unità che

presentano una modalità successiva o uguale a quella dell'unità centrale .

La prima cosa da fare per calcolare la Mediana è quello di ordinare in senso crescente le modalità del carattere, perchè la

mediana è quella modalità che occupa il posto centrale e suddivide la distribuzione in due parti uguali.

Come individuare la posizione centrale o rango della mediana

• Insieme di n valori vanno prima di tutto ordinati in senso non decrescente

• se n è dispari → abbiamo una sola modalità della posizione centrale che è data da:

( n +1) / 2 questo è il rango o posizione della mediana

Me = x ( n+1) /2

• se n è pari abbiamo 2 modalità in corrispondenza delle posizioni centrali che sono date da :

n/2 e n/2 + 1 questo è il rango o posizione della mediana

x ≤ Me ≤ x

n/2 n/2 +1

x

x

di solito : + +1

n/2

n/2

Me = 2

Nota di Vezio

Nel caso di una distribuzione di frequenze in classi , per il calcolo della Mediana , una volta calcolato il valore centrale

della classe ,è necessario trasformare le Frequenze assolute in Frequenze realtive cumulate .

La Mediana corrisponde alla classe con la prima frequenza relativa cumulata immediatamente superiore a ≥ 0,50 .

La Mediana allora si calcola con la seguente relazione :

-Me = I + [ ( 0,5 – F ) / ( F -F )] ∙ Δ

m m-1 m m-1 m

con : -Im = Estremo inferiore della classe Fm

-F = Frequenza cumulata > 0,5 ( maggiore o la prima frequenza immediatamente superiore a 0,5)

m

-F =Frequenza cumulata < 0,5 ( minore o la prima frequenza immediatamente inferiore a 0,5)

m-1

-Δ = L'ampiezza della classe corrispondente alla frequenza F

m m

Proprietàdella mediana

Per un carattere quantitativo X , la somma degli scarti in valore assoluto dei valori delle modalità x , da una costante c è

• i

minima quando c è uguale alla mediana cioè :

∑ | x -c | è minima per c = M e

i

Attenzione :

Le frequenze relative sono riferite alle unità statistiche 5

CAPITOLO III°-3

Definizione -Moda

La moda è la modalità della distribuzione che si presenta con la massima frequenza, assoluta, relativa o percentuale.

• È la modalità più frequente , con la frequenza più diffusa e vale sia per i caratteri quantitativi che qualitativi

• In un insieme di valori: è quel termine ,quella modalità ,che si ripete più volte

• In una distribuzione di frequenza: quella modalità che ha la frequenza più alta

• In una distribuzione di frequenza con classi di valori: ogni valore della classe con la più alta densità di

frequenza ( calcolata come il valore del carattere associato alla classe diviso l'intervallo della classe )

• Può non esistere

• Può non essere unica

• Può essere una modalità “poco rappresentativa” del fenomeno

6

CAPITOLO IV°-1

Definizione di variabilità

La variabilità di una distribuzione di frequenza esprime la tendenza delle unità statistiche di un collettivo ad assumere

diverse modalità del carattere .

Definizione generica di indice variabilità

Un indice di variabilità deve assumere il suo valore minimo se e solo se tutte le unità della distribuzione presentano uguale

modalità del cararttere.

Un indice di variabilità deve aumentare all'aumentare della " diversità " tra le modalità del carattere assunte dalle varie

unità statistiche.

Definizione di varianza x

x ,x ,....x ̄

2

La varianza σ di un insieme di n valori osservati [ ] di una variabile X con media aritmetia è

1 2 n

1

2 2

∙ x

σ = (x − ) É un indice di variabilità all'interno di un carattere per i = 1....n

̄

i

n

Definizione di devianza

Il numeratore della varianza è detto devianza:

∑ 2

x x

( − )

̄

i

Definizione di varianza di una trasformazione lineare

La varianza di un carattere Y ,ottenuto attraverso la trasformazione lineare :

Y = α ∙X + β 2

x σ

di un carattere X di media e varianza è paria a :

̄ 2 2

α σ

Var ( Y) = ∙

Definizione di deviazione standard

σ

La deviazione standard è data dalla radice quadrata della varianza

√ 2

σ= σ

Definizione di coefficente di variazione x σ

̄

Il coefficiente di variazione CV della distribuzione di un carattere X di media e deviazione standard è dato dal

rapporto tra la deviazione standard e la media moltiplicato per 100

σ

CV ∙100

= x

̄

Definizione di scostamento medio dalla media aritmetica :

Si definisce scostamento semplice medio dalla media aritmetica la quantità

1 ∑

S x

= ∣x −̄ ∣ i = 1....n

x i

n

̄

Definizione di scostamento medio dalla mediana :

Si definisce scostamento semplice medio dalla media aritmetica la quantità

1 ∑

S = ∣x −M ∣ i = 1....n

Me i e

n 7

CAPITOLO IV°-2

Definizione del teorema di Chebychev x

x σ

Data una distribuzione di valori dei quali si conoscono la media e la deviazione standard e dato un valore reale

̄

i

k

positivo possiamo affermare che :

1

f x

(∣x −̄

∣≥k σ)≤

i 2

k

f(.)

con si intende la frequenza relativa dei valori ( delle modalità ) del carattere X ,che soddisfano la diseguaglianza

all'interno della parentesi .

Con la precende relazione calcolo la frequenza relativa delle unita che presentano valori esterni all'intervallo simmetrico

rispetto alla media :

Mentre con questa relazione equivalente

1

f x

(∣x − ∣≤k σ)≥1−

̄

i 2

k

Calcolo la frequenza relativa delle unita che presentano valori interni all'intervallo simmetrico rispetto alla

media.

Definizione di valori standardizzati x

y ,y ,.......y x ,x ,....x

Per definizione i valori standardizzati di un insieme di n osservazioni , con media e

̄

1 2 n 1 2 n

σ

deviazione standard sono definiti come :

x x

( −̄ )

i

y =

p per i = 1,2 ,3 ....n

σ

i y σ

la distribuzione risultante ha media nulla ( =0 ) e deviazione standard unitaria ( = 1 )

̄ y

Definizione di Campo di variazione x ,x ,....x

Dato un insieme di n valori osservati [ ] ordinati in senso crescente , definiamo campo di variazione , la

1 2 n

differenza tra il più grande ed il più piccolo di tali valori :

x -x

R = n 1

Definizione di differenza interquartile

x ,x .... x

Dato un insieme di n valori osservati [ ] definiamo differenza interquartile la differenza trail primo ed il terzo

1 2 n

quartile : W = Q -Q

3 1

Definizione Box Plot

Il box plot di una distribuzione è un grafico caratterizzato da tre elementi principali:

-Una linea o un punto che indicano la posizione della media del distribuzione,

-Un rettangolo,( detto appunto box ) la cui altezza indica la variabilità dei valori prossimi alla media;

-Due segmenti che partono dal rettangolo e i cui estremi sono determinati in base ai valori estremi della distribuzione,

x x

e

min max

Un box plot molto utilizzato è quello che ha come :

-Media la mediana;

-Altezza del rettangolo la distanza interequartile ;

-Estremi dei segmenti il valore minimo e il valore massimo della distribuzione.

8

CAPITOLO IV°-3

Definizione cararttere quantitativo trasferibile "Equidistribuito"

x x x

, ,....

Un carattere quantitativo trasferibile X , con n valori osservati [ ] si dice equidistribuito se ognuna delle n

1 2 n

1

unità possiede 1/n dell'ammontare complessivo ( A ) del carattere :

n

n A

∑ x x

x = =

A = ossia per ogni i abbiamo ̄

i

1 n

i=1

Se non si verifica l'equidistribuzione ,sussiste un certo grado di concentrazione del carattere che può essere misurato tramite

opportuni indici.

Definizione crattere qunatitativo trasferibile massima concentrazione " Concentrato "

La situazione di massima concentrazione sia quando l'intero ammontare del carattere A è posseduto da una sola unità del

collettivo e cioè: x x .... x 0 x =A

= = = =

1 2 n-1 n

Frequenze relative cumulate ( relative alle unità statistiche considerate )

La concentrazione si misura a partire da due grandezze :

i

F = : Frequenze relative cumulate i = 1,2,3...,n

i n

Intensità relative cumulate ( relative al carattere preso in esame )

: A

i

Q = Intensità relative cumulate i = 1,2,3...,n :

:

i A n

Q ed F hanno una stretta relazionen evidenziata dalle due seguenti proprietà :

i i F =Q per i=n

i i

F ≥Q per ogni i

i i

Come misura del grado di concentrazione consideriamo una funzione delle differenze per esempio la somma, delle loro

differenze ossia : n−1

C= F

( −Q )

i i

i=1

In particolare : n−1

C= F

Equidistribuzione ( −Q )=0

i i

i=1

n−1 n−1

∑ ∑

C= F F

Massima concentrazione ( −Q )=

i i I

i i=n

=1 9

CAPITOLO IV°-4

Definizione- Rapporto di concentrazione di Gini per una distribuzione di un carattere quantitativo trasferibile

F Q

Date le distribuzioni delle e delle relative alla distribuzione di un carattere quantitativo trasferibile X osservato su n

i i x

x x x

, ,.... ≤x

unità, con valori ordinati [ ] ( si definisce rapporto di concentrazione di Gini :

1 2 n 1 (i+1)

n−1

∑ Q i

i =1

R=1− n−1

∑ F i

i =1

Definizione- Rapporto di concentrazione di Gini per una distribuzione in classi

K −1

R=1− F

( −F )∙(Q +Q )

j j j+1) j

( +1) (

j=0

con la condizione che :

F =0

0

Q =0

0

R=0 se c’è equidistribuzione

R=1 se c’è massima concentrazione

Eterogeneità _Definizione di Vezio

Data una distribuzione di frequenze assolute di un carattere quantitativo continuo o discreto di un collettivo statistico

siamo in presenza di minima eterogeneità ( E =0) se la frequenza è concentrata tutta su una ( 1 ) modalità del cararattere

1

Data una distribuzione di frequenze assolute di un carattere quantitativo continuo o discreto di un collettivo statistico

siamo in presenza di massima eterogeneità ( E =1 )se la frequenze ( ≠ 0 ) sono distribuite su tutte le modalità del

1

cararattere .

Un indice di omogeneità molto semplice è il seguente :

k k

1

∑ ∑

2 2

O f n

= =

1 j j

2

n

j j=1

=1

quando O = 1 minima eterogeneità ( max omogeneità )

1

quando O = 1 / k massima eterogeneità (minima omogeneità )

1

Definizione di indice di eterogeneità di Gini

E =1−O

1 1

Definizione di frequenze simmetriche

Una distribuzione di frequenze si dice simmetrica se :

n = n La prima frequenza è = all'ultima

1 k;

n = n La seconda frequenza è= alla penultima

2 k-1;

n = n

3 k-2; e cosi via

............

n = n

j k-j+1 10

CAPITOLO IV°-4

Definizio Indice di simmetria di Fisher

n]

[

1 ∑ 3

x x

( ( −̄ ) )

1

n [i =1 ]

β= 3

σ media = mediana = moda

se β = 0 media > mediana > moda

se β >1

se β <1 media < mediana < moda

11

CAPITOLO V-1

Definizione-Serie storica y ,y ,...y

Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni [ ] di un fenome Y osservato al tempo T

1 2 n

Definizione – Numero indice

Si definisce numero indice il rapporto :

y (t+1)

y t

Definizione-Tasso di variazione percentuale

Si definisce Tasso di variazione percentuale il rapporto : y / y

Tasso di variazione percentuale = ( ∙ 100

t+1 t )

Definizione-Tasso di variazione percentuale di un anno rispetto ad uno base

Si definisce invece variazione percentuale di un anno ripetto ad un altro

y - y / y

Variazione percentuale = ( ) ∙ 100

t+1 t t

Definizione - Passaggio di base

Passaggio da base mobile a base fissa

Per costruire la serie dei numeri indice a base fissa, a partire dalla corrispondente serie dei numeri indici a

base mobile, si può utilizzare la seguente relazione: -1

I = [ i /100 ∙ i /100 ∙ …..i /100 ] ∙ 100 se t < b

t / b t +1 t + 2 b

I =[ i /100 ∙ i /100 ∙ …..i /100 ]∙100 se t > b

t / b b +1 b +2 t

quindi nel nostro caso ,se prendiamo come base fissa il 1993 , avremo :

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Base mobile 1,06 1,12 1,2 1,28 1,34 1,45 1,55

Base fissa 0,55 0,58 0,65 0,78 1 1,34 1,94 3,01

con la seguente attenzione dal 1990 al 1993 incluso da t+1 fino a b anno base

-1 -1

I = [ 1,06∙1,12∙ 1,20∙1,28] = [ 1,823] = 0,5483 = 0,55

1989 / 1993 -1 -1

I = [ 1,12∙ 1,20∙1,28] = [ 1,720 ] = 0,58

1990 / 1993 -1 -1

I = [ 1,20∙1,28] = [ 1,536 ] = 0,65

1991 / 1993 -1 -1

I = [ 1,28] = [ 1,28 ] = 0,78

1992 / 1993

I = 1

1993 / 1993

Per gli anni successivi al 1993 e cioè a partire dal 1994 il calcolo si fa partendo sempre dall'anno successivo all'anno base

cioè il 1993.

Quindi attenzione si parte da b+1 fino a t

I = [ 1,34] = 1,34 questo è semplicemente 1994/1993

1994 / 1993

I = [ 1,34∙ 1,45] = 1,94 attenzione si parte da b+1 fino a t

1995 / 1993

I = [ 1,34∙ 1,45∙1,55] = 3,01

1995 / 1993 12

CAPITOLO V-2

Definizione passaggio da base fissa a base mobile

Dividendo ogni numero indice a base fissa per quello precedente e moltiplicando il risultato per 100 si ottiene la

corrispondente serie delle variazioni percentuale dei numeri indici a base mobile

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Base 1,06 1,12 1,2 1,28 1,34 1,45 1,55

mobile

Base fissa 0,55 0,58 0,65 0,78 1,00 1,34 1,94 3,01

0,58/0,55 =1,06 0,65/0,58=1,12 0,78/0,65=1,20 1/0,78=1,28 1,34/1=1,34 1,94/1,34=1,45 3,01/1,94=1,55

Definizione -indice di Laspeyres

Si calcola considerando al numeratore I prezzi al tempo t P per le quantità al tempo base Q ed al denomitore i prezzi al

t b

tempo base per le quantità al tempo base in formule :

P ∙ Q

( )

t b

I =

L ∙Q

(P )

b b

Definizione -indice di Laspeyres

Si calcola considerando al numeratore I prezzi al tempo t P per le quantità al tempo t Q ed al denomitore i prezzi al tempo t

t t

per le quantità al tempo base in formule :

P ∙ Q

( )

t t

I =

L ∙ Q

(P )

t b

Definizione -Definizione Tasso medio composto

Tasso medio composto tra due periodi annuali

t = il periodo finale p.es. 2014

b= il periodo base p.es. 2007

t-b = 2014 – 2007 = 7

x = 135 É l'indice finale rispetto al quale si vuole calcolare il tasso medio composto

t

x = 112 É l'indice base rispetto al quale si vuole calcolare il tasso medio composto

b √

t-b x t

( )−1

i x

t/b = b

√ ˙

i i i

(b+1) (b+2) (bt )

(( ) ( )+.....( ))−1

i 100 100 100

t/b =

Definizione Indice di Fisher

Il numero indice dei prezzi complesso trovato con la formula ideale di Fisher è :

F  L P

I = I ⋅I 

T t t 13


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cilli92

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DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea in economia aziendale
SSD:
Università: Tuscia - Unitus
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cilli92 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Tuscia - Unitus o del prof Laureti Tiziana.

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