Riassunto esame Statistica, prof. Laureti

C= F

( −Q )

i i

i=1

In particolare : n−1

∑

C= F

Equidistribuzione ( −Q )=0

i i

i=1

n−1 n−1

∑ ∑

C= F F

Massima concentrazione ( −Q )=

i i I

i i=n

=1 9

CAPITOLO IV°-4

Definizione- Rapporto di concentrazione di Gini per una distribuzione di un carattere quantitativo trasferibile

F Q

Date le distribuzioni delle e delle relative alla distribuzione di un carattere quantitativo trasferibile X osservato su n

i i x

x x x

, ,.... ≤x

unità, con valori ordinati [ ] ( si definisce rapporto di concentrazione di Gini :

1 2 n 1 (i+1)

n−1

∑ Q i

i =1

R=1− n−1

∑ F i

i =1

Definizione- Rapporto di concentrazione di Gini per una distribuzione in classi

K −1

∑

R=1− F

( −F )∙(Q +Q )

j j j+1) j

( +1) (

j=0

con la condizione che :

F =0

0

Q =0

0

R=0 se c’è equidistribuzione

R=1 se c’è massima concentrazione

Eterogeneità _Definizione di Vezio

Data una distribuzione di frequenze assolute di un carattere quantitativo continuo o discreto di un collettivo statistico

siamo in presenza di minima eterogeneità ( E =0) se la frequenza è concentrata tutta su una ( 1 ) modalità del cararattere

1

Data una distribuzione di frequenze assolute di un carattere quantitativo continuo o discreto di un collettivo statistico

siamo in presenza di massima eterogeneità ( E =1 )se la frequenze ( ≠ 0 ) sono distribuite su tutte le modalità del

1

cararattere .

Un indice di omogeneità molto semplice è il seguente :

k k

1

∑ ∑

2 2

O f n

= =

1 j j

2

n

j j=1

=1

quando O = 1 minima eterogeneità ( max omogeneità )

1

quando O = 1 / k massima eterogeneità (minima omogeneità )

1

Definizione di indice di eterogeneità di Gini

E =1−O

1 1

Definizione di frequenze simmetriche

Una distribuzione di frequenze si dice simmetrica se :

n = n La prima frequenza è = all'ultima

1 k;

n = n La seconda frequenza è= alla penultima

2 k-1;

n = n

3 k-2; e cosi via

............

n = n

j k-j+1 10

CAPITOLO IV°-4

Definizio Indice di simmetria di Fisher

n]

[

1 ∑ 3

x x

( ( −̄ ) )

1

n [i =1 ]

β= 3

σ media = mediana = moda

se β = 0 media > mediana > moda

se β >1

se β <1 media < mediana < moda

11

CAPITOLO V-1

Definizione-Serie storica y ,y ,...y

Si definisce serie storica una sequenza di osservazioni [ ] di un fenome Y osservato al tempo T

1 2 n

Definizione – Numero indice

Si definisce numero indice il rapporto :

y (t+1)

y t

Definizione-Tasso di variazione percentuale

Si definisce Tasso di variazione percentuale il rapporto : y / y

Tasso di variazione percentuale = ( ∙ 100

t+1 t )

Definizione-Tasso di variazione percentuale di un anno rispetto ad uno base

Si definisce invece variazione percentuale di un anno ripetto ad un altro

y - y / y

Variazione percentuale = ( ) ∙ 100

t+1 t t

Definizione - Passaggio di base

Passaggio da base mobile a base fissa

Per costruire la serie dei numeri indice a base fissa, a partire dalla corrispondente serie dei numeri indici a

base mobile, si può utilizzare la seguente relazione: -1

I = [ i /100 ∙ i /100 ∙ …..i /100 ] ∙ 100 se t < b

t / b t +1 t + 2 b

I =[ i /100 ∙ i /100 ∙ …..i /100 ]∙100 se t > b

t / b b +1 b +2 t

quindi nel nostro caso ,se prendiamo come base fissa il 1993 , avremo :

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Base mobile 1,06 1,12 1,2 1,28 1,34 1,45 1,55

Base fissa 0,55 0,58 0,65 0,78 1 1,34 1,94 3,01

con la seguente attenzione dal 1990 al 1993 incluso da t+1 fino a b anno base

-1 -1

I = [ 1,06∙1,12∙ 1,20∙1,28] = [ 1,823] = 0,5483 = 0,55

1989 / 1993 -1 -1

I = [ 1,12∙ 1,20∙1,28] = [ 1,720 ] = 0,58

1990 / 1993 -1 -1

I = [ 1,20∙1,28] = [ 1,536 ] = 0,65

1991 / 1993 -1 -1

I = [ 1,28] = [ 1,28 ] = 0,78

1992 / 1993

I = 1

1993 / 1993

Per gli anni successivi al 1993 e cioè a partire dal 1994 il calcolo si fa partendo sempre dall'anno successivo all'anno base

cioè il 1993.

Quindi attenzione si parte da b+1 fino a t

I = [ 1,34] = 1,34 questo è semplicemente 1994/1993

1994 / 1993

I = [ 1,34∙ 1,45] = 1,94 attenzione si parte da b+1 fino a t

1995 / 1993

I = [ 1,34∙ 1,45∙1,55] = 3,01

1995 / 1993 12

CAPITOLO V-2

Definizione passaggio da base fissa a base mobile

Dividendo ogni numero indice a base fissa per quello precedente e moltiplicando il risultato per 100 si ottiene la

corrispondente serie delle variazioni percentuale dei numeri indici a base mobile

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

Base 1,06 1,12 1,2 1,28 1,34 1,45 1,55

mobile

Base fissa 0,55 0,58 0,65 0,78 1,00 1,34 1,94 3,01

0,58/0,55 =1,06 0,65/0,58=1,12 0,78/0,65=1,20 1/0,78=1,28 1,34/1=1,34 1,94/1,34=1,45 3,01/1,94=1,55

Definizione -indice di Laspeyres

Si calcola considerando al numeratore I prezzi al tempo t P per le quantità al tempo base Q ed al denomitore i prezzi al

t b

tempo base per le quantità al tempo base in formule :

P ∙ Q

( )

t b

I =

L ∙Q

(P )

b b

Definizione -indice di Laspeyres

Si calcola considerando al numeratore I prezzi al tempo t P per le quantità al tempo t Q ed al denomitore i prezzi al tempo t

t t

per le quantità al tempo base in formule :

P ∙ Q

( )

t t

I =

L ∙ Q

(P )

t b

Definizione -Definizione Tasso medio composto

Tasso medio composto tra due periodi annuali

t = il periodo finale p.es. 2014

b= il periodo base p.es. 2007

t-b = 2014 – 2007 = 7

x = 135 É l'indice finale rispetto al quale si vuole calcolare il tasso medio composto

t

x = 112 É l'indice base rispetto al quale si vuole calcolare il tasso medio composto

b √

t-b x t

( )−1

i x

t/b = b

√ ˙

i i i

(b+1) (b+2) (bt )

(( ) ( )+.....( ))−1

i 100 100 100

t/b =

Definizione Indice di Fisher

Il numero indice dei prezzi complesso trovato con la formula ideale di Fisher è :

F  L P

I = I ⋅I 

T t t 13

CAPITOLO VI-1

Definizione -Distribuzioni doppie di frequenze

Dati 2 caratteri , definiamo tabelle di frequenze a doppia entrata o distribuzione doppia di frequenze l'insieme delle

n

frequenze congiunte ovvero le frequenze assolute delle unità che presentano congiuntamente la modalità i-esima del

ij

primo e la modalità j-esima del secondo carattere .

Definizione distribuzioni relative condizionate

Le distribuzioni relative condizionate della X e della Y si ottengono , rispettivamente ,vrapportando le distribuzione assolute

di ciscuna riga o di ciascuna colonna ai corrispondenti totali di riga o di colonna

Definizione di indipendenza tra due caratteri

Se X è indipendente da Y allora anche Y è indipendente da X

Definizione di indipendenza in una tabella a dopppia entrata

Due caratteri X e Y si diranno indipendenti se le distribuzioni relative condizionate di un carattere rispetto alle modalità

dell'altro sono tra loro uguali.

Definizione della proprietà di indipendenza in una tabella a doppia entrata

Se due caratteri sono indipendenti, la generica frequenza assoluta corrispondente alla i-esima riga della modalità di X ed

alla j-esima colonna della modalità di Y deve essere uguale a :

n ∙ n j)

( i. .

n ' = [6.5.2]

ij n

Le frequenze assolute di una tabella doppia ottenute nell'ipotesi di indipendenza tramite la relazione precedente saranno dette

frequenze teoriche di indipendenza e per distinguerle dalle altre le indicheremo con :

n' [ F requenze teoriche di indipendenza ]

ij

Definizione di contingenza

La differenza tra le frequenze osservate nella tabella a doppia entrata e le corrispondenti frequenze teoriche calcolata si

chiama contingenza :

c = n -n'

ij ij

ij 2

χ

Su tale approccio si basa l'indice di associazione Chi-Quadrato o indice di K. Pearson

2

H K c

∑ ∑ ij

2 ∙

χ = c = n -n'

ij ij

ij

'

n

i=1 j =1 ij 2

( c =0) χ

Se i due caratteri sono perfettamente indipendenti le contingenze devono essere nulle e quindi = 0 .

ij

Cosa succede :

2

se χ = 0 → Indipendenza statistica ( o dipendenza nulla ) , queste contingenze si annullano perché

c'è perfetta coincidenza tra frequenze teoriche e frequenze osservate, quindi vuol dire

che siamo in una situazione di indipendenza o dipendenza nulla

2

se χ > 0 → Interdipendenza statistica, cioè le due variabili si influenzano . Non possiamo sapere

quale delle due influenza l'altra, perché questo è un indice che non misura la direzione del

legame, ma misura solamente l'entità. L'indice statistico di per sé misura solo

l'interdipendenza. 14

CAPITOLO VI-2

Definizione -Indice di Cramer

L'ndice V di Cramer èdefinito come :

√ 2

χ

( )

n

V di Cramer = ( )

min(H−1), min

( (k−1))

con : H sono il numero di righe

K il numero di colonne

min. Vuol dire che il numero che va a denominatore è il numero minimo tra le righe e le colonne

[

2 2

L'indice di contingenza quadratica media Φ = χ /n ]

Definizione

Proprietà dell'indice di Kramer

0 ≤ V ≤ 1

V=0 se i caratteri qualitativi sconnesii sono indipendenti

V=1 se vie è interdipendenza o dipendenza perfetta tra i caratteri qualitatiti sconnesi

Misure dell'inter-dipendenza tra due caratteri quantitativi

Un caso di grande rilevanza nelle applicazioni riguarda l'analisi della associazione ( dell'interdipendenza ) tra due caratteri

x y

( o meglio tra le modalità , e , dei due caratteri ) quantitativi X e Y (continui e/ o discreti ).

i i

Una volta calcolate le medie aritmetiche dei due caratteri ( x ed y ) si definisce :

a a

Definizione di covarianza

La covarianza tra due caratteri quantitativi è definita come la media dei prodotti degli scostamenti delle variabili X e Y dalle

rispettive medie : n

1 ∑

σ = x x y y

( − )( − )

̄ ̄

xy 1 i

n i =1

La somma dei prodotti degli scarti, chiamata codevianza tra x e y, sintetizza la distribuzione dei punti nei 4 quadranti:

n

∑ x x y y

( &mi