Riassunto esame Statistica, prof. Di Battista

Riassunto statistica: la misura dell'incertezza e la probabilità

Lo strumento di misura che ci consente di valutare l'incidenza con la quale si può verificare un evento è il calcolo della probabilità. L'approccio corretto è quello di descrivere un fenomeno reale, i cui risultati siano incerti, tramite una misura quantitativa chiamata variabile casuale con una specifica distribuzione di probabilità. Tale distribuzione sarà chiamata modello decisionale, ossia può essere utilizzata per assumere decisioni sulla base di una valutazione quantitativa.

Il calcolo delle probabilità

Il calcolo delle probabilità può essere riassunto in 3 elementi:

• L'esperimento casuale: definito prova o gioco, ogni fenomeno reale può essere visto come una partita, ogni gioco precisa regole da rispettare.
• Gli eventi: i risultati sono gli eventi. L'insieme degli eventi è chiamato spazio degli eventi.
• La misura degli eventi: se il risultato è incerto abbiamo bisogno di una misura della sua incertezza.

Lo spazio degli eventi

Ad ogni esperimento casuale è associata una pluralità di possibili risultati che chiameremo eventi. L'insieme di tutti gli eventi è detto spazio degli eventi o spazio fondamentale o spazio campionario. Lo spazio degli eventi può essere costituito da un numero finito di eventi, in tal caso diremo che lo spazio è discreto, o da un'infinità di eventi, in tal caso diremo che lo spazio è infinito. Ogni risultato possibile è detto evento elementare cosicché l'insieme di tutti gli eventi elementari definisce lo spazio degli eventi.

Le operazioni tra gli eventi necessitano di un'algebra le cui operazioni elementari sono le seguenti:

• Definiamo evento complementare dell'evento A l'insieme di punti Ω che non appartiene all'evento A.
• Siano A e B due eventi di Ω, definiamo evento unione e lo indichiamo con C=A∪B, l'insieme dei punti di Ω che appartengono o all'evento A o B, ossia C=(x: x appartenenti a B e x non appartenente ad A).

La probabilità

Una volta definito lo spazio degli eventi aleatori, si rende necessario introdurre una misura dell'incertezza. Indicheremo la probabilità con la lettera P che indicheremo tra parentesi l'evento a cui la probabilità si riferisce. In tal modo P(x)=1 indicherà che l'evento x è sicuro (certo) e P(x)=0 che l'evento x è impossibile.

La concezione classica interpreta la probabilità come un semplice rapporto dove n indica il numero di possibili risultati a priori e m il numero di quelli favorevoli all'evento prefissato. La probabilità che questo evento si verifichi trova il suo significato nel rapporto m/n.

La concezione frequentista interpreta la probabilità sulla base dell'esperienza acquisita con l'osservazione della frequenza relativa osservata. Essa è un concetto applicabile ad esperimenti e osservazioni che possono essere replicati un gran numero di volte in condizioni uniformi.

La concezione soggettivista identifica la probabilità nel grado di fiducia che un individuo ha nel verificarsi di un evento. Ha nel soggetto il punto di riferimento. Le valutazioni devono tenere conto di tutte le circostanze note.

Tutte le possibili impostazioni della probabilità possono essere riassunte in un'unica teoria delle probabilità proposta da Kolmogorov detta impostazione assiomatica dove la teoria delle probabilità viene formulata sulla base di alcuni assiomi.

Assiomi della probabilità

• Assioma 1: Gli eventi dello spazio formano un'algebra di Boole completa.
• Assioma 2: La misura delle probabilità di un evento è unica.
• Assioma 3: Principio della misura: la misura della probabilità di un evento è sempre non negativa P(A)≥0.
• Assioma 4: La probabilità dell'evento certo è uguale a 1.
• Assioma 5: Principio delle probabilità totali per eventi incompatibili: siano A e B due eventi incompatibili nello spazio Ω, nel senso che A∩B=0 allora P(A∪B)=P(A)+P(B).

Il principio delle probabilità totali per eventi incompatibili può essere esteso a più di due eventi.

La probabilità condizionata

Uno dei concetti più importanti del calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata, ossia quando siamo interessati alla probabilità di un evento il cui risultato è influenzato dal verificarsi di un altro evento. Con P(A∩B)=P(A)P(B) indichiamo il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti. Diremo che due eventi A e B entrambi appartenenti allo spazio Ω sono stocasticamente indipendenti se per essi vale il principio delle probabilità composte per eventi indipendenti.

Il teorema di Bayes

Un evento A di Ω si può esprimere come: A = A∩Ω = A∩(U U U U,...,UU)_{1 2 N}. In definitiva la formula di Bayes sarà:

P(U_i|A) = (P(U_i) P(A∨U_i))/(∑_i=1ⁿP(A∨U_i))

Le variabili casuali

Il concetto di variabile casuale è una variabile quantitativa che associa a ogni elemento W dello spazio Ω un numero reale.