Statistica, Probabilità, esame Professoressa Vicard

Calcolo delle probabilità

Eventi elementari: stati possibili con cui si può manifestare un fenomenoEventi: combinazione di eventi elementari

Spazio campionario

S

finito: "lancio delle monete"numero finito di risultatipossibili

numerabile: "numero di lancida effettuare prima cheesca testa”

∞ di punti continuinel semire positivo

S spazio campionario P(s) la probabilità è una funzionedi insieme definita su P(s) tale che

1. 0 < P(A) < 1
2. P(S) = 1
3. A ∈ B con A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4. {A_m} _m=1^∞ tali che A_i ∩ A_j = ∅ ∀ i ≠ j,

Calcolo delle probabilità

Eventi elementari: stati possibili con cui si può manifestare un fenomenoEventi: combinazione di eventi elementariSpazio campionario

• finito: "lancio delle monete"
• numerabile: "numero di lanci da effettuare prima che esca 'testa'"

S spazio campionario P(s) la probabilità è una funzione di insieme definita su P(s) tale che

1. 0 < P(A) < 1
2. P(S) = 1
3. A ∈ B con A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
4. {A_m}_m=1^∞ tali che A_i ∩ A_i = ∅ ∀i ≠ i

(3) {A_m}_m=1^+∞ tali che A_i∩A_j = ∅ ∀i≠j,

P(⋃_m=1^+∞ A_m) = ^+∞∑_m=1 P(A_m)

A∈S

P(Ā) = 1 - P(A)

Dimostrazione

1 = P(S) = P(A∪Ā) = P(A) + P(Ā)

P(A) + P(Ā) = 1

⇒ P(Ā) = 1 - P(A)

S. P(s) = 1

∅̸ = ∅

P(∅) = 1 - P(s) = 1 - 1 = 0

P(∅) = 1 - P(s) = 1 - 1 = 0

Due eventi A e B

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

DIMOSTRAZIONE

A∪B = (A∩B̅)∪(A∩B)∪(Ā∩B)

= A ∪ (Ā∩B)

P(A∪B) = P(A) + P(Ā∩B)

= P(A) + P(B) - P(A∩B)

B = (B∩A)∪(B∩Ā)

incompatibili

P(B) = P(B∩A) + P(B∩Ā)

P(Ā∩B) = P(B) - P(A∩B)

0,37 prob - | - chiede rateizzazione = R

0,5 - sconto = Sc

0,2 - sconto + ratelizz.

P cliente chiede ratelizz. e/o sconto?

P(R) = 0,37

P(Sc) = 0,5

P(R∩Sc) = 0,2

P(R∪Sc) = P(R) + P(Sc) - P(R∩Sc) =

= 0,37 + 0,15 - 0,2 = 0,67

6 Comenti Ec → 2D

                     4U

2 // Stat → 1D

                     1U

A = "sceglie un l. in ec."

B = "scel una donna"

P(A) = ⁶/₈

P(B) = ³/₈

P(A∩B) = ²/₈

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

           = ⁶/₈ + ³/₈ - ²/₈ = ⁷/₈

500 compion di stoffa

|S| = 500

|I| = 30

|O| = 15

|D∩I| = 10

P(P) = ¹⁵/₅₀₀ = 0,03

P(D|I) = ^|D∩I|/_|I| = ¹⁰/₃₀ = 0,3

Statistica

P(D|I) = ^|D∩I|/|S|/_|I|/|S| = ^P(D∩I)/_P(I)

P(D∩I) = ¹⁰/₅₀₀ = 0,02

P(I) = ³⁰/₅₀₀ = 0,06

P(D|I) = ^0,02/_0,06 = 1/3

= 0,3

Presi due eventi A e B tale che la probabilità di B è diversa da zero, allora

P(A|B) = ^P(A∩B)/_P(B)

P(|B)

P(B|B) = 1

P(Ā|B) = 1 - P(A|B)

R:= "chiede le rate"

Sc:= "chiede lo sconto"

P(R) = 0,3

P(Sc) = 0,5

P(R|Sc) = ^P(R∩Sc)/_P(Sc) = ^0,2/_0,5 = 0,4

P(R) = 0,37

P(Sc) = 0,5

P(R∩Sc) = 0,2

P(R | Sc) = P(R∩Sc) / P(Sc) = 0,2 / 0,5 = 0,4

P(Ec) = 6/8

P(D) = 3/8

P(D | Ec) = P(D∩Ec) / P(Ec) = 2/8 / 6/8 = 1/3

P(A∩B) = P(B) P(A | B)

P(B | A) = P(B∩A) / P(A)

P(A∩B) = P(A) P(B | A)

P.S.

1. favori: >estratti: 2, P(c)=?
2. costru

Es.

12 f 8 c

C₁ = "Il primo addetto è c"

C₂ = "Il secondo addetto è c"

P(C₁ ∩ C₂) = P(C₁) P(C₂ | C₁)

P(C₁) = ⁸/₂₀

P(C₂ | C₁) = ⁷/₁₉