Statistica, Probabilità, esame Professoressa Vicard

Calcolo delle probabilità

Eventi elementari: stati possibili con cui si può manifestare un fenomeno

Eventi: combinazione di eventi elementari

Spazio campionario

S spazio campionario, P(s) la probabilità è una funzione di insieme definita su P(s) tale che

1. 0 < P(A) < 1
2. P(S) = 1
3. A e B con A ∩ B = ∅, ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

(3) { A_m }_m=1^+∞ tali che A_i∩A_j = ∅ ∀i ≠ j,

P(∪_m=1^+∞ A_m) = ∑_m=1^+∞ P(A_m)

Kolmogorov

A ∈ S

P(Ā) = 1 - P(A)

Dimostrazione

1 = P(S) = P(A ∪ Ā) = P(A) + P(Ā)

P(A) + P(Ā) = 1

⇒ P(Ā) = 1 - P(A)

S . P(S) = 1

S̅ = ∅

P(∅) = 1 - P(S) = 1 - 1 = 0

P(R) = 0.37

P(Sc) = 0.5

P(R ∩ Sc) = 0.2

P(R | Sc) = P(R ∩ Sc) / P(Sc) = 0.2 / 0.5 = 0.4

P(Ec) = 6/8

P(D) = 3/8

- probabilità donne laureate in rosa?

P(D | Ec) = P(D ∩ Ec) / P(Ec) = 2/8 / 6/8 = 1/3

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B)

P(B | A) = P(B ∩ A) / P(A) => P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)

P(A) ≠ 0

Es.

- favori: > estratti 2, P(c) = ?

- 8 costo m

- "o m .... addetto e' costano"

A

• P(A)

B

• P(B)

• P(Ā)

• P(A|B)

- p di A dato che B è verif.

• P(A|Ā)

A = A ∩ S = A ∩ (B ∪ Ā)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Ā) =

= P(B) P(A|B) + P(Ā) P(A|Ā)

Legge delle prob. totali

Es 65% lettori → lavorano nel settore dell’informatica

CD allegato → prezzo extra

80% → informato acquista anche il CD

Prob che il lettore acquisti il CD

A = “il lettore acquista il CD”

B = “lettore informatico”

P(B) = 0.65

P(A|B) = 0.8

P(x<1)

(x<1) = (x=0) ∨ (x=1)

P(x<1) = P(x=0) + P(x=1)

Funzione di probabilità

P(X=x_i)

= P(e ∈ S : X(e) = x_i)

• x_i
  • 0
  • 1
  • 2
  • 3
• P(X=x_i)
  • 1/8
  • 3/8
  • 3/8
  • 1/8

1

0 ≤ P_i <1

K = 10 x + 50

_σX² = Var(X) = _i=1^KΣ (xi - E(x))² pi

= [E(x²) - E(x)²] = _i=1^KΣ xi² pi - [E(x)]²

_σX² > 0

Sia c una costante => Var(c) = 0

Var(aX + b) = a² Var(X)

X_i = "m° Tim 3 Rona"

E(X) = 1,5

Var(X) = (0 - 1,5)² * 1/8 + (1 - 1,5)² * 3/8 + (2 - 1,5)² * 3/8 + 1/8(3 - 1,5)

= 0,75

X

Y

X₁

X₂

⋮

X_H

Y₁

Y₂

⋮

Y_K

P₁₁

P₁₂

⋯

P_1K

P_1.

P₂₁

P₂₂

⋯

P_2K

P_2.

⋮

⋮

P_H1

P_H2

⋯

P_HK

P_H.

P_.1

P_.2

⋯

P_.K

1

Moltiplica la probabilità condizionata con l'evento

Probabilità che si verifichi Ÿ dato x=0 poi per ottenere la media moltiplica per l'evento osservato.

E(Y|x₁) = 1 · 0,33 + 2 · 0,417 + 3 · 0,250 = 1,917

E(Y|x=x₁) = ∑_j=1^k y_j · P(Y=y_j|X=x_i)

E(X|y=ŷ_j) = ∑_i=1^l x_i · P(X=x_i|Y=y_j)

σ²(Y|x=x₁)= ∑_j=1^k(y_j-E(Y|x=x₁))² · P(Y=y_j|X=x_i)

Variabili aleatori doppie continue

f_xy(x,y) ← FUNT. DI DENSITÀ

∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞f_xy(x,y) dx dy = 1

Se X e Y sono indipendenti ⇒ f_xy(x,y) = f_x(x) f_y(y)

Variabili aleatorie discrete (numero finito di casi), definizione di covarianza

Cov(X,Y) = Γ_xy = ∑_i=1^H∑_j=1^L(x_i - μ_x)(y_j - μ_y) p_ij

= ∑_i=1^H∑_j=1^Lx_iy_i p_ij - μ_x μ_y

COVARIANZA

E((X-E(X))(Y-E(Y)))

= E(XY) - E(X)E(Y)

xy - μ_xμ_y = Cov(X,Y)

x_ip(x_ny_i)y_j

ax̅+by̅+c=ω̅

E(ax+by+c)=aE(X)+bE(Y)+c=aμx+bμy+c

Var(ax+by+c)=a²Var(X)+b²Var(Y)+2abσ_xy

Se X e Y imindipendenti ⇒ Var(ax+by+c)=a²Var(X)+b²Var(Y)

DIMOSTRO

Var(axᵢ+byⱼ+c)=Σ_i=1^HΣ_j=1^K[(axᵢ+byⱼ+c)-E(ax+by+c)]²pᵢⱼ=

=Σ_i=1^HΣ_j=1^K(axᵢ+byⱼ+c-aμx-bμy-c)²Pᵢⱼ=

=Σ_i=1^HΣ_j=1^K(axᵢ-aμx+bⱼ-bμy)²Pᵢⱼ

=Σ_i=1^HΣ_j=1^K[a(xᵢ-μx)+b(yⱼ-μy)]²Pᵢⱼ=

=Σ_i=1^Ha²(xᵢ-μx)²Pᵢⱼ+b²(yⱼ-μy)²Pᵢⱼ+Σ_i=1^HΣ_j=12ab(xᵢ-μx)(yⱼ-μy)Pᵢⱼ