Statistica, Probabilità, esame Professoressa Vicard

Calcolo delle probabilità

Eventi elementari: stati possibili con cui si può manifestare un fenomeno.

Eventi: combinazione di eventi elementari.

Spazio campionario.

• Finito: "lancio delle monete", numero finito di risultati possibili.
• Numerabile: "numero di lanci da effettuare prima che esca testa".
• ∞ di punti continui nel semire positivo.

S spazio campionario P(s) la probabilità è una funzione di insieme definita su P(s) tale che:

1. 0 < P(A) < 1.
2. P(S) = 1.
3. A ∈ B con A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4. {A_m}_m=1^∞ tali che A_i ∩ A_j = ∅ ∀ i ≠ j.

Calcolo delle probabilità

Eventi elementari: stati possibili con cui si può manifestare un fenomeno.

Eventi: combinazione di eventi elementari.

Spazio campionario.

• Finito: "lancio delle monete".
• Numerabile: "numero di lanci da effettuare prima che esca 'testa'".

S spazio campionario P(s) la probabilità è una funzione di insieme definita su P(s) tale che:

1. 0 < P(A) < 1.
2. P(S) = 1.
3. A ∈ B con A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4. {A_m}_m=1^∞ tali che A_i ∩ A_i = ∅ ∀ i ≠ i.

(3) {A_m}_m=1^+∞ tali che A_i ∩ A_j = ∅ ∀ i ≠ j, P(⋃_m=1^+∞ A_m) = ^+∞∑_m=1 P(A_m).

Evento complementare

A ∈ S

P(Ā) = 1 - P(A)

Dimostrazione

1 = P(S) = P(A ∪ Ā) = P(A) + P(Ā)

P(A) + P(Ā) = 1 ⇒ P(Ā) = 1 - P(A)

S. P(s) = 1

∅̸ = ∅

P(∅) = 1 - P(s) = 1 - 1 = 0

P(∅) = 1 - P(s) = 1 - 1 = 0

Due eventi A e B

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Dimostrazione

A ∪ B = (A ∩ B̅) ∪ (A ∩ B) ∪ (Ā ∩ B) = A ∪ (Ā ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(Ā ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

B = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ā)

Incompatibili.

P(B) = P(B ∩ A) + P(B ∩ Ā)

P(Ā ∩ B) = P(B) - P(A ∩ B)

Rateizzazione e sconto

0,37 prob - | - chiede rateizzazione = R

0,5 - sconto = Sc

0,2 - sconto + rateizzazione.

P cliente chiede rateizzazione e/o sconto?

P(R) = 0,37

P(Sc) = 0,5

P(R ∩ Sc) = 0,2

P(R ∪ Sc) = P(R) + P(Sc) - P(R ∩ Sc) == 0,37 + 0,15 - 0,2 = 0,676

Commenti

Ec → 2D                     4U2 // Stat → 1D                     1U

A = "sceglie un l. in ec."

B = "scel una donna"

P(A) = ⁶/₈

P(B) = ³/₈

P(A ∩ B) = ²/₈

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)           = ⁶/₈ + ³/₈ - ²/₈ = ⁷/₈

Campioni di stoffa

500 campioni di stoffa.

|S| = 500

|I| = 30

|O| = 15

|D ∩ I| = 10

P(P) = ¹⁵/₅₀₀ = 0,03

P(D|I) = ^{|D ∩ I|}/_|I| = ¹⁰/₃₀ = 0,3

Statistica

P(D|I) = ^{|D ∩ I|/|S|}/_|I|/|S| = ^{P(D ∩ I)}/_P(I)

P(D ∩ I) = ¹⁰/₅₀₀ = 0,02

P(I) = ³⁰/₅₀₀ = 0,06

P(D|I) = ^0,02/_0,06 = 1/3 = 0,3

Probabilità condizionata

Presi due eventi A e B tale che la probabilità di B è diversa da zero, allora:

P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}/_P(B)

P(|B)

P(B|B) = 1

P(Ā|B) = 1 - P(A|B)

R := "chiede le rate"

Sc := "chiede lo sconto"

P(R) = 0,3

P(Sc) = 0,5

P(R|Sc) = ^{P(R ∩ Sc)}/_P(Sc) = ^0,2/_0,5 = 0,4

P(R) = 0,37

P(Sc) = 0,5

P(R ∩ Sc) = 0,2

P(R | Sc) = P(R ∩ Sc) / P(Sc) = 0,2 / 0,5 = 0,4

P(Ec) = 6/8

P(D) = 3/8

P(D | Ec) = P(D ∩ Ec) / P(Ec) = 2/8 / 6/8 = 1/3

P(A ∩ B) = P(B) P(A | B)

P(B | A) = P(B ∩ A) / P(A)

P(A ∩ B) = P(A) P(B | A)

P.S.

1. Favori: > estratti: 2, P(c)=? costru.

Es. 12

f 8 c

C₁ = "Il primo addetto è c"

C₂ = "Il secondo addetto è c"

P(C₁ ∩ C₂) = P(C₁) P(C₂ | C₁)

P(C₁) = ⁸/₂₀

P(C₂ | C₁) = ⁷/₁₉