Inferenza Statistica

Distribuzione campionaria della media

Per qualsiasi popolazione generatrice abbiamo:

Nel caso di una popolazione generatrice normale, la funzione di densità è data da

Possiamo standardizzare la media campionaria

Distribuzione campionaria della media

Per qualsiasi popolazione generatrice abbiamo:

Nel caso di una popolazione generatrice normale, la funzione di densità è data da

Possiamo standardizzare la media campionaria

Possiamo standardizzare la media campionaria

Teorema del limite centrale: (serve per una pop. generatrice non normale) nel caso dei grandi campioni cioè con n sufficientemente grande la media campionaria può essere approssimata con una normale con parametri relativi alla stessa distribuzione campionaria della media

n GRANDE → distr. di X̅ → N(μ, σ²/n)

Una volta approssimata si passerà sempre per la standardizzazione Distribuzione della media con varianza non nota (popolazione generatrice normale) T di Student

T = (X̅ - μ) / (s/√n)

Distribuzione della media con varianza non nota (popolazione generatrice normale) T di Student

Qualunque sia la popolazione generatrice tende alla standardizzata con n che va a più infinito:

Tende a una normale standardizzata, all’aumentare dell’ampiezza del campione e vale anche per la Bernoulliana

La funzione di densità è

f(t) = b ( 1 + t² / r )^-(r+1)/2

-∞ < t < +∞

r = m - 1 gradi di libertà

Distribuzione campionaria della varianza

S² = (1 / m-1) Σ_i=1^m ( X_i - X̄ )²

Distribuzione campionaria della varianza

Dimostrazione formula operativa:

S² = 1 / (n-1) E(X_i - X̄)² = 1 / (n-1) [Σ X_i² - n / (n-1) X̄²]

S² = 1 / (n-1) E(X_i² - 2X̄X_i + X̄²)

= 1 / (n-1) Σ X_i² - X̄ Σ X_i + n / (n-1) X̄²

= 1 / (n-1) Σ X_i² - n / (n-1) X̄²

Come nel caso della distribuzione della media la media e la varianza della distribuzione campionaria della varianza sono

Come nel caso della distribuzione della media la media e la varianza della distribuzione campionaria della varianza sono

E(s²) = σ²

Var(s²) = ^σ4/_m (β₂ + 2 ^m/_m-1)

Nel caso in cui la popolazione generatrice è normale allora la funzione di densità della varianza è data da

V = ^{(m-1) S2}/_σ²

Una chi-quadro con (n-1) gradi di libertà

Stima dei parametri

Possiamo prendere in considerazione una statistica campionaria per stimare un parametro oggetto di studio, cioè possiamo prendere per esempio la media campionaria che assumerà le vesti di stimatore di un certo parametro (Teta) proveniente dalla popolazione oggetto di studio. Chiameremo stima invece la singola determinazione dello stimatore

Stima puntuale

Cerchiamo di capire qual è lo stimatore più conveniente per attribuire un valore al parametro

Errore di stima

È la differenze tra lo stimatore e il parametro

T - Θ

Consideriamo due valori di sintesi

• media degli errori

E(T - Θ)

È bene che sia nulla Media dei quadrati degli errori oggetto di stima

Media dei quadrati degli errori oggetto di stima

MSE(T) = E(T - ϑ)²

È bene che sia molto piccola

Possiamo inoltre aggiungere che uno stimatore di un parametro teta è non distorto se sussiste la relazione

E(T - ϑ) = 0

E(T) = ϑ ∀ ϑ

L'eventuale differenza costituisce la distorsione

distorsione

D(T) = E(T) - ϑ

L'errore quadratico medio può essere riscritto come

MSE = E(T - )² + [D(T)]²

Dimostrazione dell'errore quadratico medio

E(T - )² = VAR(T) - D²(T)

E[(T - E(T)) - (E(T) - )]² =

E(T - E