Inferenza Statistica

Distribuzione campionaria della media

Per qualsiasi popolazione generatrice abbiamo:

_E(X) = μ_x̄ = μ   Var(X) = σ²_x̄ = σ²/m

Nel caso di una popolazione generatrice normale, la funzione di densità è data da

f(X) = (1/√(2π(σ/√m))) e^{-(x̄-μ)2 / 2σ2/m}

Possiamo standardizzare la media campionaria

Possiamo standardizzare la media campionaria

Teorema del limite centrale:

(serve per una pop. generatrice non normale) nel caso dei grandi campioni cioè con n sufficientemente grande la media campionaria può essere approssimata con una normale con parametri relativi alla stessa distribuzione campionaria della media

M GRANDE ⇒ distr. di _X̄ ≈ N(μ,σ²_m)

Una volta approssimata si passerà sempre per la standardizzazione Distribuzione della media con varianza non nota (popolazione generatrice normale) T di Student

Come nel caso della distribuzione della media la media e la varianza della distribuzione campionaria della varianza sono

E(S²) = σ²

Var(S²) = (σ⁴)/n (β₂ + 2(n/(n-1)))

Nel caso in cui la popolazione generatrice è normale allora la funzione di densità della varianza è data da

V = ((n-1)S²)/σ²

Una chi-quadro con (n-1) gradi di libertà

Stima dei parametri

Possiamo prendere in considerazione una statistica campionaria per stimare un parametro oggetto di studio, cioè possiamo prendere per esempio la media campionaria che assumerà le vesti di stimatore di un certo parametro (Teta) proveniente dalla popolazione oggetto di studio. Chiameremo stima invece la singola determinazione dello stimatore

La varianza campionaria è uno stimatore non distorto del parametro varianza della popolazione, essendo:

MSE (S2 - σ2) = σs22 =

σ⁴/m (β₂^m/m-1)

Dimostrazione:

E(S²)-E [m/(m-1) Σ(x_i - x̄)² ] "

= 1/m-1 ΣE(x_i)² - m/m-1 E(x̄²)

E(x_i)² = σ²+μ² E(x̄²) = σ²/m + μ²

m /(m-1) (σ²+μ²) - m/(m-1) (σ²/m + μ²)

m /(m-1) (σ²)/(σ²)

1. Deviazione standard nota e media incognita

z_α/2 : P(-z_α/2 < Z < z_α/2) = 1-α

z = (X̄ - M) / (σ/√n) ∼ N(0,1)

l₁ = X̄ - z_α/2 (σ/√n)

l₂ = X̄ + z_α/2 (σ/√n)

2. Deviazione standard (scarto quadratico medio) ignota, e media ignota

t = (X̄ - M) / (S/√n) ∼ t.m.

t_α/2 : P(-t_α/2 < t < t_α/2) = 1-α

l₁ = X̄ - t_α/2 (S/√n)

l₂ = X̄ + t_α/2 (S/√n)

Bilaterale

H₀: μ = μ₀ H₁: μ ≠ μ₀

R = { z : -z_α/2 < z < z_α/2 }

α = misura z_α/2: P(z > z_α/2) = α/2

z_oss = (x̄ - μ₀) / (σ/√n) ∼ Ν(0,1)

P-value 1 - Φ(z_oss)

Verifica di ipotesi nel caso della v.c. Differenza tra medie campionarie:

H₀ = μ₁ = μ₂ H₁ = μ₁ ≠ μ₂

H₀ = μ₁ ≥ μ₂ H₁ = μ₁ < μ₂

H₀ = μ₁ ≤ μ₂ H₁ = μ₁ > μ₂

Caso in cui non conosciamo le due varianze: Se il campione è piccolo: Si procede con l'assunzione della uguall varianza tra le due popolazioni

E( x̄₁ - x̄₂ ) = μ₁ - μ₂

Var( x̄₁ - x̄₂ ) = Var( x̄₁ ) + Var( x̄₂ ) = σ²/m₁ + σ²/m₂

Σ = σ² (1/m₁ + 1/m₂)

Confronto tra due variabili nel caso di una sola popolazione di riferimento

Possiamo fare una verifica di ipotesi e constatare se esse siano dipendenti o indipendenti, considerando l'ipotesi semplice come indipendenza, e quindi avremo:

H₀: A ┴ B ⇔ a set (i,j): p_ij = p_i · p_j

H₁: ∃ a ≠ j: p_ij ≠ p_i · p_j

A questo punto possiamo introdurre le frequenze teoriche sotto H0 cioè quelle frequenze ottenute dalla supposizione che A e B siano indipendenti:

M'_ij =        M_i. · M_.j                  m · m

La nuova statistica test sarà una chi-quadrato

χ² = ∑_i=1^H ∑_j=1^K (M_ij - M'_ij)²

CARATTERISTICHE =