Statistica, probabilità e inferenza - Formulario

H K

0 ln( )

Entropia relativa H H

= =

H REL max( H ) ln( K )

≤ ≤

0 H 1

REL +

A A

[ ] −

k k 1

⇒

=

Valore centrale: Se classe A , A

−

k 1 k 2

n

1 ∑

=

x x

Media aritmetica: i

n =

i 1

K

1 ∑

Media ponderata con =

x x n

frequenze assolute: k k

n =

k 1

K

∑

=

Media ponderata con x x f

k k

frequenze relative: =

k 1

n ( )

∑ − =

x x 0

Somma degli scarti dalla media: i

=

i 1

n n

( ) ( ) ( )

∑ ∑

Seconda proprietà della media: − = − + −

2 2 2

x a x x n x a

i i

= =

i 1 i 1 1

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

n

1 ( )

∑

σ = − 2

2 x x

i

n

Varianza (metodo base e =

i 1

metodo semplificato):  

n

1 ∑

σ = −

2 2 2

x x

 

i

 

n =

i 1

K K

1 ( ) ( )

∑ ∑

σ = − = −

2 2

2 x x n x x f

k k k k

n

Varianza con frequenze = =

k 1 k 1

(assolute e relative):    

K K

1 ∑ ∑

σ = − = −

2 2 2 2 2

x n x x f x

   

k k k k

   

n = =

k 1 k 1

Trasformazioni lineari: = +

y

x y a bx

Avendo due variabili e tali che

x = +

allora la media di y sarà:

Se la media di x è y a bx

σ 2 σ σ

=

2 2 2

b

Se la varianza di x è uguale a la varianza di y sarà:

x y x

ε

x

Disuguaglianza di Cebicev: Avendo un raggio da pari a :

σ σ

2 2

≤ ≥ −

f f 1

ε ε

ε ε

A ( ) a ( )

2 2

DISTRIBUZIONI BIVARIATE: ⋅

n n

= h . . k

n

Condizione d’indipendenza: hk n

 

2

H K n

∑∑

χ = −

2 hk

 

1

n ⋅

Indice chi quadrato: n n

 

= =

h 1 k 1 h . . k

χ

≤ ≤ ⋅ − −

2

0 n min[( H 1), ( K 1)]

Indice phi grande quadro: χ 2

Φ =

2 n

≤ Φ ≤ − −

2 2

0 min[( H 1), ( K 1)]

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

χ

Φ 2 2

φ = =

2

Indice phi piccolo quadro: − − ⋅ − −

min[( H 1),( K 1)] n min[( H 1), ( K 1)]

φ

≤ ≤

2

0 1 χ

Indice V di Cramer: 2

φ

= =

2

V ⋅ − −

n H K

min[( 1), ( 1)]

≤ ≤

0 V 1

K

1 ∑

=

y y n

k . k

Media marginale di y: n =

k 1

K

1 ( )

∑

σ = − 2

2 y y n

Varianza marginale di y: y k . k

n =

k 1 K

1 ∑

=

y y n

Media condizionata di y =

X x k hk

n

h

x di X:

rispetto alla modalità =

k 1

h .

h 2

( )

K

1 ∑

σ = −

2

Varianza condizionata di y y y =

= k X x

Y X x n h

h

x

rispetto alla modalità di X: =

k 1

h h .

H

1 ∑

σ σ

=

2 2 n

w h h .

Varianza “within”: n =

h 1

H

1 ( )

∑

σ = − 2

2 y y n

Varianza “between”: B h h .

n =

h 1

σ σ σ

= +

2 2 2

Decomposizione della varianza (I): Y W B

σ σ σ

= =

2 2 2

0

quando e

Indipendenza in media: B Y W

σ σ σ

= =

2 2 2

0

Massima connessione in media se: quando e

W Y B 3

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

σ 2

Indice eta quadro: η =

2 B

σ 2

Y

COVARIANZA E CORRELAZIONE η

≤ ≤

2

0 1

n

1 ( )( )

∑

σ = − −

x x y y

XY i i

n

Covarianza: =

i 1

 

n

1 ∑

σ = −

x y xy

 

XY i i

 

n =

i 1

σ σ σ σ σ

− ≤ ≤

x y XY x y

 

H K

1 ∑∑

σ = −

x y n xy

 

Covarianza con frequenze (assolute XY h k hk

 

n = =

h k

1 1

e relative):  

H K

∑∑

σ = −

x y f xy

 

XY h k hk

 

= =

h k

1 1

σ

ρ = XY

Indice di Correlazione: σ σ

XY X Y

ρ

− ≤ ≤

1 1

XY

RETTA DI REGRESSIONE σ

=

ˆ xy

b

Coeff. angolare: σ 2 x

= − ˆ

Intercetta: â y bx

n

1 ( )

∑

σ ρ σ

= − =

2

2 2 2

ˆ

y y

i y

Varianza spiegata dalla retta: ˆ

y n =

i 1

n

1 ∑

σ ρ σ

= = −

2 2 2 2

e (1 )

Varianza dei Residui: e i y

n =

i 1 4

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

σ σ σ

= +

2 2 2

Varianza spiegata dalla retta: e ˆ

y y

Decomposizione della varianza (II): PROBABILITÀ ∪ = ∩

c c c

( A B ) ( A B )

Prima legge di De Morgan: ∩ = ∪

c c c

Seconda legge di De Morgan: ( A B ) A B

CALCOLO COMBINATORIO n !

=

SR

D

Disposizioni semplici: −

n , k ( n k )!  

n

n !

= =

Combinazioni semplici (Coeff. binomiale): C  

− ⋅

n , k  

k

( n k )! k !

PROBABILITÀ ELEMENTARE ∪ = + − ∩

P ( A B ) P ( A

) P ( B ) P ( A B )

Unione: − = − ∩

Differenza: P ( A B ) P ( A

) P ( A B )

∩ =

P ( A B ) P ( A | B ) P ( B )

Intersezione: ∩ ∩

P ( A B ) P ( A B )

= =

P ( A | B ) e P ( B | A

)

P ( B ) P ( A

)

Probabilità condizionate: P ( B | A

) P ( A

)

=

P ( A | B )

Teorema di Bayes: n

∑ P ( B | A ) P ( A )

n n

=

i 1 5

A cura di Andrea Alesiani e Gabriele Fabozzi

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE K

∑

=

E ( X ) x p

Valore atteso: k k

=

k 1

 

K

∑

= −

2 2

VAR ( X ) x p E ( X )

 

Varianza: k k

 

=

k 1

X Be ( p )

∼

Variabile Bernoulliana: =

E ( X ) p

= −

Var ( X ) p (1 p )

X Bin ( n , p )

∼

Variabile Binomiale:  

n −

= −

k n k

P ( k ) p (1 p )

 

 

k

=

E ( X ) np

= −

Var( ) (1 )

X np p

µ σ 2

X N ( , )

Normale: ∼ µ

−

x

=

z

Standardizzazione: σ

X N (0,1)

Normale standardizzata: ∼ µ

−

 

x

≤ = ≤

P ( X x ) P Z

 

σ

  −

Approssimazione di probabilità X Bi ( n

, p ) X N [ np , np (1 p )]

∼ ≃ ∼

binomiale con la normale: 6