Statistica per l'azienda

COMBINAZIONI SENZA RIPETIZIONI

Prendiamo in considerazione un insieme A=(1,2,3,4,5), quanti sottoinsiemi di 3 elementi di A possiamo formare? Utilizziamo la seguente formula:

C = n!/k!(n-k)!

C = 5!/3!(5-3)! = 105,3

Ciò è possibile scriverlo come (n/k) senza stanghetta.

Esempio 1

Dobbiamo scegliere tra 2 agenti segreti su 8 disponibili per una missione, quante coppie possiamo formare? Occorre scegliere tra tutti i sottoinsiemi di 2 elementi possibili:

C = 8!/2!(8-2)! = 288,2

ESPANSIONE BINOMIALE

I coefficienti binomiali sono coefficienti nell'espansione binomiale (o nel triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal).

TEORIA DELLE PROBABILITÀ

La probabilità è una parte della matematica che studia le situazioni caratterizzate da un certo livello di incertezza su ciò che potrebbe accadere in futuro. La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1 (dove 0 indica l'impossibilità e 1 la certezza). La probabilità

è basata sul caso, diconseguenza non sempre ciò che la teoria prevede avverrà nella pratica. Una base necessaria perinferenza statistica.

I fenomeni, in cui il risultato non può essere previsto con certezza, sono chiamati esperimenti casuali o esperimenti aleatori. Alcuni concetti base:

• spazio campionario: l’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento casuale, lo indichiamo con S.
• Evento: un sottoinsieme di un dato spazio campionario S. Gli eventi sono indicati con lettere maiuscole e possono anche essere descritti da parole.

Esistono dei particolari tipi di eventi:

• evento elementare: evento rappresentato da un sottoinsieme dello spazio campionario che contiene un elemento (ottenere il numero 2 quando si lancia un dado);
• evento certo: evento rappresentato da tutto lo spazio campionario (ottenere un numero minore di 7 lanciando un dado);
• evento impossibile: evento rappresentato un insieme vuoto (ottenere il numero 7 quando si lancia un dado).

OPERAZIONI TRA EVENTI

Siano A e B due eventi in uno spazio campionario S:

• Unione di A e B: AUB, evento che si verifica se si verificano A o B;
• Intersezione di A e B: evento che si verifica se si verificano A e B; A∩B;
• Evento opposto di A (complemento di A): evento che si verifica se A non si verifica. Ā;

EVENTI INCOMPATIBILI

Due eventi sono incompatibili o mutualmente esclusivi se la loro intersezione è vuota. Diversamente sono compatibili. Gli eventi complementari non sono compatibili. Ad esempio, poniamo il caso del lancio di un dado, evento A: il risultato è 5, evento B: il risultato è un numero pari. A e B sono incompatibili, non possono succedere allo stesso tempo.

EVENTI COLLETTIVAMENTE ESAUSTIVI

Gli eventi E1, E2, ..., Ek sono collettivamente esaustivi se E1 U E2 U ... U Ek = S, ovvero se gli eventi E1, E2, ..., Ek compongono interamente lo spazio campionario S.

Esempio: S = (1,2,3,4,5,6):

• Evento A: "il risultato è maggiore di 2" A = (3,4,5,6)

evento B: “il risultato è minore di 4” B= (1,2,3)AUB = (1,2,3,4,5,6)

PROBABILITA’

Definizione classica: consideriamo uno spazio campionario S in cui tutti gli eventi elementari sono ugualmente possibili insieme e un evento A.

n rappresenta il numero di casi favorevoli, si riferisce al numero di eventi elementari che soddisfano la condizione dell’evento.

N rappresenta il numero totale di casi possibili, si riferisce a tutti i diversi tipi di risultati che si possono ottenere in una situazione particolare.

La probabilità che si verifichi l’evento A è dato da P(A)= n /N con 0<P(A)<1, 0 e 1 compresi.

Esempio

Lanciamo un dado e osserviamo il numero ottenuto, S=(1,2,3,4,5,6):

• evento A “il risultato è pari” A=(2,4,6);
• evento B “il risultato è minore di 4” B=(1,2,3);
• evento C “il risultato è 5”

C=(5).P(A)= 3/6 P(B)= 3/6 P(C)= 1/6

REGOLE DELLA PROBABILITÀ:

• probabilità dell'unione di due eventi (regola additiva): P(AUB) = P(A)+P(B)-P(A∩B);
• probabilità del complemento di un evento: P(A con trattino sopra) = 1-P(A);
• P(A∩B) = P(A) x P(B).

PROBABILITÀ CONDIZIONATA

La probabilità condizionata è una misura della probabilità di un evento A dato che si è verificato un evento B. Questa informazione aggiuntiva, che è fornita dall'accadimento dell'evento B, potrebbe modificare la probabilità che l'evento A accada.

Dati due eventi A e B tali che A, B S, possiamo definire la probabilità condizionata dell'evento A dato che l'evento B si è verificato, come: P(A|B) = P(A∩B) / P(B) e P(B|A) = P(A∩B) / P(A) di conseguenza P(A∩B) = P(A|B) x P(B) = P(B|A) x P(A).

Esempio

Uno studente ha la probabilità del 45% di essere promosso in matematica, del 60%

essere promosso in fisica e del 35% di essere promosso in entrambe le materie. Valutare le probabilità che lui ha:

A. di essere promosso in fisica, se è stato promosso in matematica;

B. di essere promosso in matematica, se è stato promosso in fisica.

Evento M: "Lo studente è promosso in matematica". P(M)=0.45

Evento F: "Lo studente è promosso in fisica". P(F)=0.6

P(F|M) = P(F ∩ M) / P(M) = 0.35/ 0.45 = P(M|F) = P(M ∩ F) / P(F) = 0.35 /0.6

TABELLA DELLA PROBABILITÀ INDIPENDENZA STATISTICA

Due eventi A e B sono indipendenti se il verificarsi di un evento non influenza la probabilità che si verifichi l'altro, in formula: p(A|B) = p(A), definizione simmetrica. Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se Regola del prodotto per eventi indipendenti.

p(A) x p(B) = p(A ∩ B).

Esempio

Supponiamo che in un paese le donne ottengano il 54% di tutte le lauree e che il 20% di tutte

le lauree sia di tipo economico-aziendale. Inoltre, l'8% di tutte le lauree è conferito a donne che scelgono corsi di laurea economico-aziendali. Gli eventi:

A. "Il laureato è una donna"

B. "La laurea è di tipo economico aziendale"

sono statisticamente indipendenti? ∩ ≠ ∩⋅ NO.

P(A) = 0.54

P(B) = 0.20

P(A ∩ B) = 0.08

0.54 * 0.2 = 0.108

0.08 = P(A ∩ B)

VARIABILI CASUALI

La variabile casuale (o variabile aleatoria) è una quantità il cui valore dipende dall'esito di un esperimento casuale. Si rappresentano con le lettere X, Y, W ecc... e le loro realizzazioni si rappresentano con le lettere x, y. Possiamo distinguere tra v.c. discrete (possono riguardare solo valori numerici) o continue (possono riguardare qualsiasi categoria di valore).

Esempio

Consideriamo il lancio di due dadi, la variabile X può assumere i valori: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Le espressioni X=2, X=7, possono essere considerate come eventi.

X= x 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

È possibile calcolare la media o valore atteso di una variabile casuale discreta. Riprendendo l'esempio precedente, la media si calcolerà in questo modo: 2 x 1/36 + 3 x 2/36 + 4 x 3/36 = 7 = μ.

Oltre alla media è possibile calcolare la varianza = Var(X) = 2 x1/36 + 3 x 2/36 + 4 x 3/36 + ... - 7σ ⎷Var(x)

E la deviazione standard o scarto quadratico medio = Solitamente se vi è l'intenzione di rappresentare graficamente la variabile ci si avvale di grafici ad asta o grafici a barre.

Funzione di ripartizione: associa ad ogni x la somma delle probabilità corrispondenti a x e a tutti i valori inferiori, ovvero esprime la probabilità che X non superi il valore x.

Funzione di probabilità: P(x) = P(X = x)

Variabile casuale standardizzata: Z = X - μ = m ?/σ

Una variabile è casuale se rispetta due

DISTRIBUZIONE DI BERNOULLI

Si dice esperimento (o prova) di Bernoulli un esperimento aleatorio che può avere solo 2 possibilità: successo e insuccesso. La probabilità di successo si dice parametro dell'esperimento. Ad esempio, nel lancio di una moneta, abbiamo il 50% che esca testa e il 50% che esca croce:

• testa: P(X=1) = 1/2
• croce: P(X=0) = 1/2
• E(X) = p = 1/2 (0 x P(X=0) + 1 x P(X=1) = p)
• Var(X) = p(1 - p) = 1/4

RELAZIONI LINEARI

Le relazioni tra due variabili possono essere descritte usando i dati campionari avvalendosi di diagrammi di dispersione e del coefficiente di correlazione lineare. Queste relazioni sono espresse matematicamente come: Y = f(X). Una formula importante a tal proposito è Y = β + βX, dove:

• Y è la variabile dipendente
• X è la variabile indipendente
• β è l'ordinata all'origine
• β è la pendenza della retta

Per calcolare le B usiamo il metodo dei minimi quadrati: R, l'indice di correlazione lineare si calcola così: R = S /(S x S ).XY XY X Y

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Immaginiamo di ripetere un esperimento di Bernoulliano n volte, dove la probabilità p di "successo" in ogni esperimento è la stessa e gli esperimenti sono indipendenti tra loro. Possiamo usare la v.c. X per indicare il numero di successi ottenuti in n esperimenti Bernoulliani. La v.c., che può assumere i valori: 0,1,2,3 si chiama v.c. ...

In generale, in un processo di Bernoulli di parametri n e p, le probabilità degli eventi X=0, X=1, X=2, ..., X=n, sono date dai termini dello sviluppo della potenza n-esima del binomio (p+q) = (p+q)^n.

Teorema 1: sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p. La distribuzione di probabilità di X è:

Teorema 2: sia X una variabile aleatoria binomiale di parametri n e p. Allora la ...

media e la varianza sono:

Esempio: un compito consta di 5 quesiti a risposta multipla. Ogni quesito ha 4 risposte, solo 1 corretta. Uno studente risponde a tutti i quesiti:

1. Qual è la probabilità che dia 3 risposte esatte?
2. Qual è il numero medio di risposte esatte che lo studente si aspetta di aver dato?

VARIABILI CASUALI CONTINUE

La variabile casuale continua può assumere tutti i valori di un determinato intervallo di numeri reali.

La variabile può essere rappresentata con un istogramma.

Funzione di ripartizione: consideriamo la v.c.c. X descritta dalla funzione di densità f(x). La funzione di ripartizione di X è definita come: