Statistica Medica - Appunti

QUALITATIVE ORDINALI VARIABILI QUANTITATIVE, ogni

qualvolta si a che fare con

distribuzioni fortemente asimmetriche

(presenza di un valore estremamente

elevato rispetto agli altri), si voglia

scegliere un indice che non risente di

valori estremi come accadrebbe con la

media aritmetica in quanto darebbe

una descrizione non veritiera.

VARIABILI QUANTITATIVE, quando

sono presenti dati troncati, cioè dati

a informazione incompleta, sui quali

non è possibile assegnare un valore

preciso (Esemp. >6), impedendo

l’applicazione della MEDIA

ARITMETICA (esemp.pag. 51-52).

Moda (Norma) [Mo] è quel valore della variabile che si ripete

o con maggior frequenza. Indica la NORMALITA’ (tipicità della

distribuzione).

In generale x evidenziare la MODA si richiede un numero di dati

elevato.

Su quali variabili può essere applicata la MODA  VARIABILI

QUALITATIVE

 VARIABILI QUANTITATIVE: in quelle CONTINUE occorrerà che i

dati siano raggruppati in classi, costituendo CLASSI MODALI

(esemp. il peso è una VAR.QUANT.CONT.  è impossibile che tutti i

soggetti presi in esame presentino esattamente lo stesso peso, tale

situazione non mi permette di definire la MODA, e x ottenerla sarà

opportuno andare a costituire delle CLASSI MODALI, cioè

suddividere coloro che presentano un peso < =120  obese;

>120/<= 90  sovrappeso; >90/<=50  normopeso; ecc. In questo

modo posso vedere quante volte una certa categoria si ripete,

definendo la MODA).

Una distribuzione può essere:

Unimodale: presenta una sola MODA

Bimodale: 2 MOE

Multimodale: <2 MODE

Amodale: non presenta MODA

INDICE DI DISPERSIONE: descrivono il GRADO DI VARIABILITA’ del

• campione. Esemp.  Immaginiamo che tu e un tuo amico confrontiate la vostra

media dei voti all'università e scopriate di avere entrambi la stessa media: 25.

Confrontando però i voti sul libretto, vi rendete conto di una cosa: che i tuoi voti

sono:

18, 22, 23, 25, 25, 26, 26, 27, 28, 30 (media = 25)

mentre quelli del tuo amico sono:

25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25, 25 (media = 25)

Noti qualche differenza? Sebbene la vostra media sia identica, le vostre

situazioni sono molto diverse! La distribuzione dei suoi voti ha variabilità NULLA,

mentre la distribuzione dei tuoi voti ha una variabilità più alta! In sostanza, la

variabilità di un fenomeno possiamo definirla come l'attitudine di quel

fenomeno ad assumere modalità DIVERSE.

Ora, la variabilità di un fenomeno, può essere misurata in modi diversi, e in

Statistica esistono diversi indici per misurare la variabilità. L' obiettivo è quello

di misurare la variabilità, cioè vedere quanta "diversità" c'è tra le modalità (=

manifestazioni concrete) del fenomeno che stiamo studiando.

SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO ASSOLUTO  descrive la

o media degli scostamenti (quanto un valore di discosta dalla

media aritmetica) in valore assoluto. Per calcolare, si prendono in

considerazione gli SCARTI in valore assoluto (quindi senza

considerare valori negativi), si sommano e il risultato viene diviso x

il numero dei dati.  formula pag.59

Perché si considera il valore assoluto?  è necessario in

quanto altrimenti, x la proprietà della MEDIA ARITMETICA, la

somma degli scarti darebbe ZERO: (x – x = 0)

i

non consentendo di calcolare la MEDIA DEGLI SCOSTAMENTI.

VARIANZA  è data dalla media degli scostamenti al

o QUADRATO (e non valore assoluto), in questo modo la

VARIANZA assume dimensioni pari al quadrato della

dimensione dei dati (e della media) (NON è

DIMENSIONALMENTE OMOGENEA CON L’UNITA’ DI MISURA DELLA

VARIABILE) (vedi esemp.pag.61). Per calcolarla si prendono in

2

considerazione gli SCARTI elevandoli al quadrato (x – x) , invece

i

che considerare il valore assoluto, si SOMMANO, in modo tale da

avere una misura di sintesi che mi dica quanto le modalità sono

diverse tra loro, e il risultato viene diviso per il NUMERO DEI DATI. 

formula pag.59.

Perché gli SCARTI vengono elevati al quadrato? in questo

modo si riesce ad ottenere dei valori SEMPRE POSITIVI, altrimenti x

la proprietà della MEDIA ARITMETICA, la somma degli scarti

sarebbe ZERO: (x – x = 0). Da ciò ne consegue che la VARIANZA

i

da SEMPRE valori ≥ 0

DEVIANZA [SQ] Se si prende in considerazione solo il

NUMERATORE della VARIANZA, si ha la DEVIANZA, un altro indice

di dispersione che non tiene in considerazione il NUMERO DEI DATI.

Differenza tra VARIANZA e DEVIANZA  con la VARIANZA si

ottiene una misura che tiene in considerazione il NUMERO DEI DATI.

La VARIANZA è inv.proporzionale al NUM.DEI DATI.

Deviazione standard [DS; s ..> riferita a un campione; σ ..>

o riferito a popolazione]  è data dalla RADICE QUADRA DELLA

VARIANZA (vedi formula pag.60). La presenza della RADICE

QUADRA annulla l’effetto dell’elevazione al quadrato, ottenendo

una misura con dimensioni pari a quella dei dati (e della

media) (DIMENSIONALMENTE OMOGENEA CON L’UNITA’ DI MISURA

DELLA VARIABILE: stessa unità di misura).

Quando si utilizza? Quando voglio ottenere una misura di

dispersione delle stesse dimensioni della variabile (e media), in

maniera da comparare i 2 valori.

Coefficiente di variazione [CV] è dato dal rapporto tra

o DEV.STANDARD [DS] / MEDIA ARITMETICA [x] (formula pag.62). Da

questo rapporto risulta che il valore ottenuto sarà adimensionale,

cioè non avrà valori ma sarà espresso da un numero puro.

Quando si utilizza? Quando si vuole confrontare la

dispersione fra 2 grandezze aventi unità di misura differenti

(vedi esemp.pag.63).

Il COEFFICIENTE DI VARIAZIONE può anche essere espresso in

percentuale (moltiplicando il valore ottenuto dal rapporto x 100).

Tutti gli INDICI DI DISPERSIONE fin qui descritti, possono essere utilizzati SOLO

su VARIABILI QUANTITATIVE ma non su VARIABILI QUALITATIVE, in quanto

utilizzano la MEDIA ARITMETICA come indice di tendenza centrale e gli

SCARTI attorno ad essa (la MEDIA ARITMETICA può essere utilizzata solo su

VARIABILI QUANTITATIVE!).

INDICI DI DISPERSIONE che possono essere utilizzati su VARIABILI

QUALITATIVE ma anche QUANTITATIVE:

INTERVALLO DI VARIAZIONE (range) [IV]  questo indice ci

o informa del range (intervallo) entro cui i dati a disposizione possono

variare. È dato dalla differenza tra il VALORE PIU’ GRANDE e quello

PIU’ PICCOLO di una serie di dati, posti in ordine crescente:

IV= x -x

n 1

Prendendo in considerazione solo i 2 valori estremi e non valutando

come sono distribuiti gli altri dati, questo indice appare

estremamente povero di informazione (esemp. pag.64).

DIFFERENZA INTERQUARTILE  x calcolare questo indice di

o dispersione si dovranno utilizzare i QUANTILI.

QUANTILI  sono indici di posizione (non indici centrali) di

 una distribuzione e possono essere:

QUARTILI: sono 3 valori (Q1,Q2,Q3) che ripartiscono

• la distribuzione dei dati in 4 parti uguali.

Per calcolarlo esistono diversi modi, il migliore è il

seguente: se il numero di dati è DIVISIBILE PER 4, essi

potranno essere direttamente ordinati in ordine

crescente in 4 parti uguali (esemp. ho 8 dati: 8/4=2  i

dati verranno suddivisi in gruppetti di 2 x formare 4

parti uguali ed ordinati in ordine crescente).

Se il numero NON è DIVISIBILE PER 4, si andrà a

duplicare il numero dei dati fino ad ottenere un

numero divisibile per 4 (esemp. ho 7 dati: 7x2=

14 ..> 14x2=28).

Se il num.dati non è divisibile per 4 ma è PARI 

DUPLICO (x2)

Se il num.dati non è divisibile per 4 ma è DISPARI

 QUADRUPLICO (x4)

Una volta ottenuto la divisione in 4 gruppi, si

andranno a definire i 3 QUARTILI, cioè quei valori che

dividono la serie in 4 parti uguali [Q1-Q2-Q3] (essi

sono i valori di mezzo tra l’ULTIMO NUMERO di un

gruppo e il PRIMO NUMERO del gruppo successivo, vedi

esemp pag.65).

DECILI: sono i 9 valori che ripartiscono la

• distribuzione dei dati in 9 parti uguali [D1..D9].

PERCENTILI: sono i 99 valori che ripartiscono la

• distribuzione in 100 parti uguali [P1…P99] (vedi

esemp. pag.66).

Il SECONDO QUARTILE [Q2] – QUINTO DECILE [D5] –

50° PERCENTILE [P99], coincidono tra loro e con la

mediana.

DIFFERENZA INTERQUARTILE: è un intervallo di variazione

calcolato una volta che vengono eliminati il 25% dei dati MENO

ELEVATI e il 25% dei dati PIU’ ELEVATI.

È dato dalla differenza tra il TERZO quartile e il primo

QUARTILE: Δ = Q3 – Q1 (esemp. pag.67)

Definiscono quanta differenza c’è tra il TERZO e il PRIMO quartile,

informandoci del grado di dispersione “centrale” dei dati (se la

DIFF.INTERQUARTILE in una serie di dati di un CAMPIONE A è più

elevata rispetto a quelli di un CAMPIONE B, significa che nel

CAMPIONE A c’è una dispersione maggiore di dati).

PROBABILITA’

In statistica ad ogni evento c’è la possibilità di associare la probabilità che esso

avvenga.

La probabilità secondo la definizione di La Place (definizione classica)  è

il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi

possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili:

numero eventi favorevoli

num.eventi totale

esemp. probabilità che lanciando i dadi esce n° 4  p(A)= 1/6

Dalla definizione seguono 3 regole:

La probabilità che un evento accada può assumere valori

• compresi tra 0 e 1  0 ≤ p ≤ 1

O  evento IMPOSSIBILE – 1  evento CERTO

• la probabilità del verificarsi di UNO o DUE eventi incompatibili, ovvero

• di due eventi che non possono verificarsi simultaneamente, è pari alla

somma delle probabilità dei due eventi (esemp. voglio sapere la

probabilità che tirando i dadi mi esca un numero PARI  p(A)=1/2 e la

probabilità che esca il num. 5  p(A)=1/6.

La PROBABILITA’ che tirano il dado mi esca un numero PARI oppure il

num.5 

p(A)= ½ + 1/6 = 2/3)

La definizione classica consente di calcolare effettivamente la probabilità in

molte situazioni. Inoltre, è una definizione operativa e fornisce quindi un

metodo per il calcolo, ma presenta tuttavia diversi aspetti negativi:

dal punto di vista formale, è una definizione circolare: richiede che i casi

• possiedano tutti la medesima probabilità, che è però ciò c