Statistica - matrice input output - Appunti

Analisi delle specializzazioni regionali

Le matrici input-output

L'analisi Input-Output (I-O) si afferma nel panorama della scienza economica a metà degli anni Sessanta ad opera dell'economista russo Wassily Leontief, premio Nobel nel 1973. In una certa misura, egli riprende la fondante intuizione di F. Quesnay, sommamente riassunta nel "Tableau économique", ovvero l'intuizione della dipendenza dell'equilibrio economico generale dalla struttura delle interdipendenze tra gli agenti economici.

L'analisi Input-Output

Ogni impresa operante in un settore produttivo dà luogo a un output acquistando e combinando insieme alcuni input provenienti dalle famiglie o da altri settori produttivi. Le vendite di ciascun settore produttivo a ciascuno degli altri settori produttivi sono descritte nella "matrice delle transazioni" o "tavola delle interdipendenze settoriali" o "matrice input-output" che registra i valori dei flussi di prodotti da ciascun settore a ciascun altro (compreso l'aggregato famiglie).

L'analisi della specializzazione regionale

Origine/destinazione

Fattori primari

Retribuzioni, Contributi sociali e Altri redditi sono tutti indicati con valore 0,0. Servizi bancari imputati (SIFIM) sono indicati con -20,3, -28,6 e -33,2, mentre il valore aggiunto a prezzi base è 1438,1, 2098,5, 1538,2 e 17249,5.

Risorse disponibili

Produzione a prezzi base (x_i) è rispettivamente 1907,4, 5834,1, 3583,7 e 26299,6. Imposte indirette sui prodotti (tax_pi) sono 1,2, 89,1, 22,7 e 345,4. Contributi alla produzione (cp_i) sono -157,1, -59,0, 0,0 e -168,2. IVA gravata (iva_g) è 0,0, 823,7, 226,7 e 843,1. Trasferimenti di produzione (traf_g) sono 0,0, 0,0, -0,6 e 36,0. Importazioni dalle altre regioni (e_am) sono 351,5, 7580,5, 30,1 e 4022,6. Importazioni dall’estero (e_im) sono 166,2, 2061,8, 14,6 e 760,3. Importazioni indirette (e_ile) sono 0,0, 0,0, 0,0 e 0,0.

TOTALE RISORSE (TR_i) è 2194,3, 17800,5, 3877,3 e 32138,8.

La tavola delle transazioni in generale

A. Impieghi intermedi

C. Conti produttivi ed istruzione del valore aggiunto

Totale costi interni: ΣX_i1, ΣX_i2, ΣX_i3, ΣX_i4, ΣX_iij
Redditi lavoro dipendente: VI1, VI2, VI3, VI4, ΣVI_j
Altri redditi: V21, V22, V23, V24, ΣVI_j
Valore aggiunto: ΣVi₁, ΣVi₂, ΣVi₃, ΣVi₄, ΣVi_ij
Produzione al c.f.: X1, X2, X3, X4, ΣX_j

D. Risorse disponibili

Produzione al c.f.: X1, X2, X3, X4, ΣX_j
Importazioni: M1, M2, M3, M4, ΣM_j
Imposte indirette nette: Im1, Im2, Im3, Im4, ΣIm_ij
TOTALE RISORSE: R1, R2, R3, R4, ΣR_j

Come si costruisce una matrice I-O

Leggendo la Tavola delle transazioni orizzontalmente possiamo generalizzare:

X₁ = X₁₁ + X₁₂ + ... + X_1i + ... + X_1n + Y₁
X₂ = X₂₁ + X₂₂ + ... + X_2i + ... + X_2n + Y₂
X_i = X_i1 + X_i2 + ... + X_ii + ... + X_in + Y_i
X_n = X_n1 + X_n2 + ... + X_ni + ... + X_nn + Y_n

Il sistema è indeterminato (le incognite sono maggiori del numero di equazioni).

L'ipotesi di Leontief

Ponendo \( a_{ij} = \frac{X_{ij}}{X_j} \) il sistema si può riscrivere:

\( X_1 = a_{11}X_1 + a_{12}X_2 + \ldots + a_{1i}X_i + \ldots + a_{1n}X_n + Y_1 \)
\( X_2 = a_{21}X_1 + a_{22}X_2 + \ldots + a_{2i}X_i + \ldots + a_{2n}X_n + Y_2 \)
\( X_i = a_{i1}X_1 + a_{i2}X_2 + \ldots + a_{ii}X_i + \ldots + a_{in}X_n + Y_i \)
\( X_n = a_{n1}X_1 + a_{n2}X_2 + \ldots + a_{ni}X_i + \ldots + a_{nn}X_n + Y_n \)

Se le equazioni sono indipendenti il sistema è determinato:
X = AX + Y

L'espressione significa che la produzione viene utilizzata in parte per soddisfare la domanda finale (Y) e in parte per garantire la sua producibilità, in termini degli input intermedi necessari (AX).

Qual è il livello della produzione necessario per soddisfare una certa domanda finale?

Dobbiamo risolvere la
X = AX + Y
rispetto ad X (a condizione che A sia una matrice quadrata):
(I – A) X = Y
(I – A)^-1 (I – A) X = (I – A)^-1 Y
X = (I – A)^-1 Y

Matrice inversa di Leontief

La matrice si caratterizza per la presenza di valori superiori all'unità lungo la diagonale principale mentre gli altri elementi sono tutti inferiori all'unità. La matrice inversa di Leontief consente il calcolo dei moltiplicatori settoriali. Sommando i valori per colonna si ottiene l'incremento di produzione determinato da un incremento unitario della domanda finale per il settore economico intestatario della colonna. Il moltiplicatore può ancora essere scomposto nella componente diretta e indiretta, tenuto conto che

\((I - A)^-1 \cong (I + A) + (A² + A³ + \ldots + Aⁿ)\)

Dove
\((I + A)\) è la componente diretta e
\((A² + A³ + \ldots + Aⁿ)\) è la componente indiretta.

L'analisi della specializzazione regionale (segue)

L’analisi input-output consente di stimare l’effetto sull’economia di una variazione nella domanda di un settore. Il processo di moltiplicazione "keynesiano" implica che l’effetto totale sull’output è il moltiplicatore settoriale dell’output per il settore di cui si ipotizza l’aumento di domanda, fondamentale per la previsione e la politica economica.