Statistica - le medie

Le medie

La costruzione di una distribuzione di frequenza consente di disporre di una rappresentazione più compatta e informativa rispetto alla serie dei dati osservati. Alle distribuzioni di frequenza vanno affiancate le rappresentazioni grafiche che, sebbene non consentano di evidenziare eventuali sfumature del fenomeno oggetto di studio, tuttavia ne danno una visione immediata, interpretabile non solo da un esperto di statistica.

Si è detto che uno dei compiti fondamentali della statistica è quello di riassumere, in alcune costanti di sintesi, caratteristiche particolari del fenomeno. Esistono diverse categorie di costanti sintetiche, ciascuna descrive un aspetto di una distribuzione. In particolare, i valori medi, se i dati sono quantitativi, ne pongono in evidenza la “dimensione” o “intensità”, ossia il loro ordine di grandezza. La scelta del tipo di media da utilizzare dipende dalla tipologia dei dati a disposizione e dagli scopi che ci si propone in una ricerca.

Le medie che discendono dalla definizione di Chisini sono grandezze che derivano o dipendono dai valori dati e che sostituite ad essi li sintetizzano senza alterare la visione d’insieme del fenomeno considerato. Le medie di posizione suddividono la serie osservata in un numero prefissato di parti uguali; tali medie trovano giustificazione nella definizione di Cauchy: “è valore medio di una serie di dati qualsiasi valore compreso tra il più piccolo e il più grande di essi”.

Le medie decisionali derivano dalla minimizzazione di una funzione di perdita dell’informazione. I dati osservati, infatti, se risultano dalla misura ripetuta di uno stesso oggetto o soggetto, sono affetti inevitabilmente, da errori accidentali.

Medie secondo il Chisini

Le medie di Chisini si applicano su dati rilevati su oggetti/soggetti diversi, omogenei, ossia rilevati con la stessa unità di misura, e per ipotesi non affetti da errori. Fissata una funzione f, si chiama media quel valore costante M che, sostituito ad ogni singolo valore, lascia inalterata la seguente uguaglianza:

f(M, M, ..., M) = f(x₁, x₂, ..., x_n)

Se il fenomeno è additivo, la funzione f è la funzione somma, e la media M che si ricava dall’uguaglianza suddetta è la media aritmetica:

M = (Σx_i)/n

Se il fenomeno è moltiplicativo, ovvero se si evolve in modo più che proporzionale rispetto all’unità di misura considerata, la funzione M che si ricava dalla precedente uguaglianza è la media geometrica:

M = (Πx_i)^1/n

Se le variabili sono funzioni di altre variabili, per esempio y_i = f(x_i), l’uguaglianza diviene:

f(M₁, M₂, ..., M_m) = f(y₁, y₂, ..., y_n)

Da cui, se f è la funzione somma, si ricava la media potenziata di ordine m:

M = [(Σy_i^m)/n]^1/m

Per una distribuzione di frequenze è:

M = [(Σn_iy_i^m)/n]^1/m

Al variare di m si ricavano le seguenti medie:

• m = -1: Media armonica
• m = 0: Media geometrica
• m = 1: Media aritmetica
• m = 2: Media quadratica
• m = 3: Media cubica

Tra le quali vale la relazione: M_-1 ≤ M₀ ≤ M₁ ≤ M₂ ≤ M₃, avendosi l’uguaglianza solo nel caso in cui le variabili siano costanti.

Se f è la funzione prodotto, si ottiene la media geometrica:

M = (Πy_i)^1/n

Considerandone il logaritmo si ha:

log M = (1/n) Σlog y_i

La media geometrica deve il suo nome al fatto che rappresenta il termine centrale di una progressione geometrica, con un numero di termini dispari.

Proprietà della media geometrica

• La m.g. di una serie di valori moltiplicati per una costante è uguale alla costante per la m.g. dei valori;
• La m.g. di una serie di rapporti di valori è uguale al rapporto tra le m.g. delle due serie di valori;
• La m.g. del reciproco di una serie di valori è uguale al reciproco della m.g.

Esempi sulle medie potenziate di ordine m

Media quadratica

Si abbiano quattro piastrine d’oro quadrate di uguale spessore, ma di lati rispettivamente uguali a 2, 4, 10, 8 cm. Si vogliano fondere e forgiare in 4 piastrine quadrate di lato uguale. Il lato medio sarà:

M = [(Σx_i²)/n]^1/2 = [(2² + 4² + 10² + 8²)/4]^1/2 = 6,78

Media cubica

Si abbiano 4 cubetti d’oro di diverso volume. Si vogliano fondere e forgiare in 4 cubetti di uguale volume. Se i lati dei cubetti misurano rispettivamente mm 2, 4, 10, 8, il lato medio sarà:

M = [(Σx_i³)/n]^1/3 = [(2³ + 4³ + 10³ + 8³)/4]^1/3 = 7,34

Media geometrica

Esempio 1: Un bene dal costo iniziale C subisce:

• Il 1° anno un aumento del 9%;
• Il 2° anno un aumento del 14% sul costo del 1° anno;
• Il 3° anno un aumento del 12% sul costo del 2° anno;
• Il 4° anno un aumento del 10% sul costo del 3° anno.

Determinare l’aumento percentuale medio.

r₁ = 0,09, r₂ = 0,14, r₃ = 0,12, r₄ = 0,10

C₁ = C + C * r₁ = C(1 + r₁)
C₂ = C₁ + C₁ * r₂ = C(1 + r₁)(1 + r₂)
C₃ = C₂ + C₂ * r₃ = C(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)
C₄ = C₃ + C₃ * r₄ = C(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)(1 + r₄)

C(1 + r₁)(1 + r₂)(1 + r₃)(1 + r₄) = C(1 + r_M)
r_M = (1,09 * 1,14 * 1,12 * 1,10)^1/4 - 1 = 0,1123

Dunque il tasso di aumento medio durante i 4 anni è dell’11,23%.

Esempio 2: Il numero di microrganismi in una certa coltura è aumentato da 2000 a 9000 in tre giorni. Qual è stato l’incremento medio giornaliero?

Il numero dei microrganismi dopo un giorno sarà:

n₁ = 2000 + 2000 * r = 2000(1 + r)

Dopo 2 giorni: n₂ = n₁ + n₁ * r = n₁(1 + r) = 2000(1 + r)²

Dopo 3 giorni: n₃ = n₂ + n₂ * r = n₂(1 + r) = 2000(1 + r)³

Poiché il numero dei microrganismi alla fine dei 3 giorni è uguale a 9000, si ha:

n₃ = 9000 = 2000(1 + r)³

Da cui, risolvendo rispetto ad r si ottiene:

(9000/2000)^1/3 = 1 + r
r = ((9000/2000)^1/3) - 1