Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Proprietà della media geometrica

1) La m.g. di una serie di valori moltiplicati per una costante è uguale alla

costante per la m.g. dei valori;

2) La m.g. di una serie di rapporti di valori è uguale al rapporto tra le m.g.

delle due serie di valori;

3) La m.g. del reciproco di una serie di valori è uguale al reciproco della m.g.

Esempi sulle medie potenziate di ordine m

Media quadratica

Si abbiano quattro piastrine d’oro quadrate di uguale spessore, ma di lati

. Si vogliano fondere e forgiare in 4

rispettivamente uguali a 2, 4, 10, 8 cm

piastrine quadrate di lato uguale. Il lato medio sarà:

n

∑ 2

x + + +

i 2 2 2 2

2 4 10 8 184

=

= = = = =

1

i 46 6

,

7823

M 2 4 4

n

Media cubica

Si abbiano 4 cubetti d’oro di diverso volume. Si vogliano fondere e forgiare in 4

cubetti di uguale volume. Se i lati dei cubetti misurano rispettivamente mm 2, 4,

10, 8, il lato medio sarà:

1 / 3

⎛ ⎞

n

⎜ ⎟

3

x 1 / 3

⎛ ⎞

+ + + 1 / 3

⎛ ⎞

i 3 3 3 3

⎜ ⎟ 2 4 10 8 1584

⎜ ⎟

=

= = = = =

⎜ ⎟

i 1 3 396 7

,

34 .

M ⎜ ⎟

⎜ ⎟

3 ⎝ ⎠

⎝ ⎠

4 4

n

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Media geometrica

Esempio 1

Un bene dal costo iniziale C subisce:

- il 1° anno un aumento del 9%;

- il 2° anno un aumento del 14% sul costo del 1° anno;

32

- il 3° anno un aumento del 12% sul costo del 2° anno;

- il 4° anno un aumento del 10% sul costo del 3° anno.

Determinare l’aumento percentuale medio.

=0,09 r =0,14 r =0,12 r =0,10

r 1 2 3 4

C =C+Cr =C(1+r )

1 1 1

C =C +C r =C (1+r )= C(1+r ) (1+r )

2 1 1 2 1 2 1 2

C =C +C r =C (1+r )= C(1+r ) (1+r ) (1+r )

3 2 2 3 2 3 1 2 3

C =C +C r =C (1+r )= C(1+r ) (1+r ) (1+r ) (1+r )

4 3 3 4 3 4 1 2 3 4 4

) (1+r ) (1+r ) (1+r )= C(1+r )

C(1+r 1 2 3 4 M

⋅ ⋅ ⋅ = +

4 1

, 09 1

,

14 1

,

12 1

,

10 1 r

M

1,1123-1= r r =0,1123

M M

Dunque il tasso di aumento medio durante i 4 anni è dell’11,23%.

Esempio 2

Il numero di microrganismi in una certa coltura è aumentato da 2000 a 9000 in tre

giorni.

Qual è stato l’incremento medio giornaliero?

Il n. dei microrganismi dopo un giorno sarà:

n =2000+2000r=2000(1+r)

1

Dopo 2 giorni: 2

n =n +n r=n (1+r)=2000(1+r)

2 1 1 1

Dopo 3 giorni: 3

n =n +n r=n (1+r)=2000(1+r)

3 2 2 2

Poiché il n. dei microrganismi alla fine dei 3 giorni è uguale a 9000, si ha:

3

n =9000=2000(1+r)

3

da cui, risolvendo rispetto ad r si ottiene:

33

⇒ ⇒ ⇒

= + − =

3 3 3

4,5=(1+r) r=0,6509

4

,

5 1 r 4

,

5 1 r

Il tasso di crescita medio è stato dunque del 65,1%.

Media armonica

Viene utilizzata quando si hanno quantità tra cui esiste una relazione inversa (es.

durata e consumi, velocità e tempo, ecc…)

Esempio 1

In 4 prove di velocità sul km lanciato, un corridore in bicicletta ha realizzato,

rispettivamente, le velocità di 62, 64, 65, 68 km all’ora.

I reciproci di queste velocità forniscono il tempo (v=s/t), in frazioni di ora,

impiegato in ciascuna delle 4 prove, per percorrere un km: 1/62, 1/64, 1/65, 1/68.

Determinare quella velocità media che lasci invariato il tempo totale cronometrato

nelle 4 prove:

1 1 1 1 1

+ + + = ⋅

4 x

62 64 65 68

da cui 4

= = 64

, 68

x 1 1 1 1

+ + +

62 64 65 68

Esempio 2

Nelle analisi di mercato spesso è interessante conoscere il consumo medio annuo

di un determinato prodotto. Supponiamo si voglia indagare sul consumo medio

annuo di lamette da barba; viene dunque intervistato un campione di consumatori:

34

durata media in consumo annuo di

persone giorni di una lamette

lametta

1 10 365:10=36,5

2 6 365:6=60,8

3 30 365:30=12,2

4 5 365:5=73

5 14 365:14=26,1

totale 65 208,6

208

,

6 = 41

,

7 lamette

consumo pro-capite: 5 365 = 8

,

8 giorni.

durata media di ogni lametta: 41

,

7

Più semplicemente:

5

= = .

M 8

,

8

1 1 1 1 1 1

+ + + +

10 6 30 5 14

Esempio 3

Un individuo spende per il riscaldamento di 3 anni consecutivi sempre la stessa

cifra di 1500 all’anno, acquistando il combustibile a:

- 0,30 il 1° anno;

- 0,40 il 2° anno;

- 0,50 il 3° anno.

Determinare il costo medio di 1 l di combustibile per l’intero periodo.

Sono stati acquistati:

1500 =

- il 1° anno 5000 l di combustibile;

0

,

30

1500 = 3750 l di combustibile;

- il 2° anno 0

, 40

1500 = 3000 l di combustibile.

- il 3° anno 0

,

50 35

Il costo medio al l per l’intero periodo è:

COSTO TOTALE 3 1500

= = ∈.

0

,

38

+ +

TOTALE LITRI 5000 3750 3000

Più rapidamente, basta calcolare la media armonica del costo al l:

3

n

= = = ∈.

0

,

38

M −

1 n 1 1 1

1

∑ + +

0

,

30 0

, 40 0

,

50

x

=

1

i i

3.2 Medie di posizione

Le medie di posizione trovano applicazione nel contesto di una serie di

modalità/valori ordinati in successione non decrescente:

x , x , x , …...., x

(1) (2) (3) (n)

Definiamo “QUANTILI“ quei valori che ripartiscono la serie osservata in (q+1)

≤ n-1. Al variare di q, si ottengono i

parti di uguale numerosità; ovviamente è q

seguenti quantili:

q=1 mediana

q=2 terzili

q=3 quartili

q=5 sestili

q=9 decili

q=99 centili.

Nella stessa serie il 2° quartile, così come il 3° sestile, coinciderà con la mediana:

⎧ se è dispari

x n

+

1

n

⎪ 2

= ⎨ +

M x x

e n n

⎪ +

1

2 2 se n è pari

⎩ 2

il pedice indica la posizione che il valore x occupa nella serie.

Ad esempio, supponiamo di aver rilevato il peso in kg di 13 uomini:

36

78 75 73 90 88 87 83 76 88 78 80 83 81

Volendo calcolare la mediana, dobbiamo innanzitutto ordinare la serie:

73 75 76 78 78 80 81 83 83 87 88 88 90

Poiché il numero delle osservazioni n=13 è dispari, la mediana è:

= =

M x 81 .

+

1

e n 2 = 90, il numero delle osservazioni

Se non avessimo osservato l’ultimo valore x (13)

n=12 sarebbe stato pari. In tal caso,

+

x x

n n +

+ 80 81

1

= = =

2 2

M .

80

,

5

e 2 2

Se la variabile in esame è quantitativa continua, i quantili possono essere calcolati

nel seguente modo:

⎧ ⎡ ⎤

ni ni

⎪ ⎢ ⎥

se

x ⎡ ⎤ + +

ni ⎣ ⎦

q q

1 1

+

⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ 1

⎪ +

1

q

= ⎨

x ⎞

i ⎡ ⎤

⎪ ⎟

⎜ ni ni

+

1

q =

+ ⎢ ⎥

x x : 2 se

⎪ ⎟

⎜ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +

+

ni ni ⎣ ⎦

q 1 q 1

+

⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ 1 ⎠

⎩ + +

⎣ ⎦

1 1

q q

dove i=1, 2,…, q.

Supponiamo, ad esempio, di aver rilevato il peso in kg di n=8 donne. Si riporta la

serie già ordinata: 52 54 58 59 60 60 63 65

Mediana + +

x x 59 60

= = = =

4 5

x x 59

,

5

1 0 , 5 2 2

2 37

Terzili

= = =

x x x 58

1 3

0 , 3 3

3 = = =

x x x 60

2 6

0 , 6 6

3

Quartili + +

x x 54 58 =

= = =

2 3 56

x x

1 0 , 25 2 2

4 +

x x

= = =

4 5 59

,

5

x x

2 0 , 5 2

4 + +

x x 60 63

= = = =

6 7 61

,

5

x x

3 0 , 75 2 2

4

Sestili

= = = 54

x x x

1 2

0 ,

1 6

6 = = = 58

x x x

2 3

0 , 3 3

6 +

x x

= = =

4 5 59

,

5

x x

3 0 , 5 2

6 = = = 60

x x x

4 6

0 , 6 6

6 = = = 63

x x x

5 7

0 , 8 3

6

Vediamo adesso come calcolare i quantili su una distribuzione di frequenze.

Consideriamo la seguente distribuzione:

TITOLO DI STUDIO n

i

licenza elementare, 20442469

nessun titolo 16403989

licenza media 2554109

qualifica professionale 11254538

maturita'

dottorato, laurea, 3267219

diploma universitario

TOTALE 53922324

Popolazione residente in Italia nell’anno 1999 secondo il titolo di studio

Fonte: ISTAT, Annuario statistico italiano 1999

38

Per determinare i quantili occorre calcolare le frequenze cumulate:

i i

∑ ∑

n f

N = F =

f f *100 F *100

i i

i i i

h h

= =

h 1 h 1

20442469 0,379 0,379 37,911 37,911

36846458 0,304 0,683 30,422 68,332

39400567 0,047 0,731 4,737 73,069

50655105 0,209 0,939 20,872 93,941

53922324 0,061 1 6,059 100

1 100

Poiché N=53922324 è pari, la mediana occuperà una posizione compresa tra

N N

= + =

26961162 e 1 26961163 . Tali posizioni sono contenute nella seconda

2 2

frequenza cumulata N =36846458, cui è associata la modalità "licenza media".

2

D'altra parte, guardando le frequenze relative o percentuali cumulate, si evince

.

subito che il 50% delle osservazioni è contenuto proprio in F

2

Consideriamo adesso la distribuzione di frequenze del numero di carburatori

osservati su 32 automobili di marca diversa:

n f N F x n

x i i i i i i i

1 7 0,219 7 0,219 7

2 10 0,313 17 0,531 20

3 3 0,094 20 0,625 9

4 10 0,313 30 0,938 40

5 0 0 30 0,938 0

6 1 0,031 31 0,969 6

7 0 0 31 0,969 0

8 1 0,031 32 1 8

32 1 90

totale

Calcoliamo la mediana e la media aritmetica:

+

x x +

N N + x x

1

= = =

16 17

2 2

M 2

e 2 2

8

∑ x n

i i 90

= = =

=

i 1

M 2

,

8125

32

N 39

Notiamo che la media aritmetica, essendo espressa da un numero decimale, non

può rappresentare il numero di carburatori di un automobile! Per variabili di

conteggio, dunque, la media aritmetica assume valore "indicativo-formale",

mentre i valori medi di posizione assumono pienezza di significato.

Consideriamo la distribuzione del numero di prodotti difettosi di un certo

processo produttivo: n f N F

x i i i i i

0 3 0,06 3 0,06

1 9 0,18 12 0,24

2 13 0,26 25 0,50

3 11 0,22 36 0,72

4 8 0,16 44 0,88

5 4 0,08 48 0,96

6 2 0,04 50 1,00

totale 50 1,00 N =

Poiché N=50 è pari, la mediana occuperà una posizione compresa tra 25 e

2

N + =

1 26 . Osserviamo però che la 25° osservazione è compresa nella terza

2

frequenza cumulata N =25, cui è associato il valore 2, mentre la 26° osservazione

3 =36, cui è associato il valore 3.

è compresa nella quarta frequenza cumulata N

4

Per convenzione si considera, allora, la semisomma di tali valori:

+

2 3

= = =

M Q 2

,

5 .

e 2 2

Volendo calcolare gli altri due quartili, Q e Q , basta osservare le frequenze

1 3 ,

relative cumulate; quella che contiene il 25% delle osservazioni è F

3

, dunque Q =2 e Q =4.

mentre quella che contiene il 75% delle osservazioni è F

5 1 3

Consideriamo la distribuzione di un gruppo di famiglie agricole secondo il

numero dei figli: 40


PAGINE

22

PESO

289.67 KB

AUTORE

miltrex

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Esame: Statistica
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e amministrazione aziendale
SSD:
Università: Palermo - Unipa
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher miltrex di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Palermo - Unipa o del prof Ruggieri Maria Antonietta.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Statistica

Statistica - Appunti
Appunto
Statistica - alcuni cenni storici
Appunto
Analisi di bilancio
Dispensa
Ragioneria generale e applicata
Appunto