Statistica - le medie

La media geometrica

M M M M M ,-1 0 1 2 3 yavendosi l’uguaglianza solo nel caso in cui le siano costanti.if è la funzione prodotto, si ottiene la media geometrica:Sen n n∏ ∏ ∏= =m m mn mM y M yi i= = =1 1 1i i i1⎞⎛ n n∏ ∏mn == ⎟⎜ m .M y y⎟⎜ ni i⎠⎝ = =1 1i iConsiderandone il logaritmo si ha:n1 ∑=log log .M y in =1iLa media geometrica deve il suo nome al fatto che rappresenta il termine centraledi una progressione geometrica, con un numero di termini dispari.31Proprietà della media geometrica1) La m.g. di una serie di valori moltiplicati per una costante è uguale allacostante per la m.g. dei valori;2) La m.g. di una serie di rapporti di valori è uguale al rapporto tra le m.g.delle due serie di valori;3) La m.g. del reciproco di una serie di valori è uguale al reciproco della m.g.Esempi sulle medie potenziate di ordine mMedia quadraticaSi abbiano quattro piastrine d’oro quadrate di uguale spessore, ma di lati. Si

vogliano fondere e forgiare in 4 rispettivamente uguali a 2, 4, 10, 8 cm piastrine quadrate di lato uguale. Il lato medio sarà: n∑ 2x + + +i 2 2 2 22 4 10 8 184== = = = =1i 46 6,7823M 2 4 4n

Media cubica Si abbiano 4 cubetti d’oro di diverso volume. Si vogliano fondere e forgiare in 4 cubetti di uguale volume. Se i lati dei cubetti misurano rispettivamente mm 2, 4, 10, 8, il lato medio sarà: 1 / 3⎛ ⎞n∑⎜ ⎟3x 1 / 3⎛ ⎞+ + + 1 / 3⎛ ⎞i 3 3 3 3⎜ ⎟ 2 4 10 8 1584⎜ ⎟== = = = =⎜ ⎟i 1 3 396 7,34 .M ⎜ ⎟⎜ ⎟3 ⎝ ⎠⎝ ⎠4 4n⎜ ⎟⎝ ⎠

Media geometrica Esempio 1 Un bene dal costo iniziale C subisce: - il 1° anno un aumento del 9%; - il 2° anno un aumento del 14% sul costo del 1° anno; 32- il 3° anno un aumento del 12% sul costo del 2° anno; - il 4° anno un aumento del 10% sul costo del 3° anno. Determinare l’aumento percentuale medio. =0,09 r =0,14 r =0,12 r =0,10r 1 2 3 4 C =C+Cr =C(1+r )1 1 1 C =C +C r =C (1+r )=

C(1+r)²

1 1 2

1 2 1 2C =C +C r =C (1+r )= C(1+r ) (1+r )3 2 2 3 2 3 1 2 3C =C +C r =C (1+r )= C(1+r ) (1+r ) (1+r )4 3 3 4 3 4 1 2 3 4 4) (1+r ) (1+r ) (1+r )= C(1+r )C(1+r 1 2 3 4 M⋅ ⋅ ⋅ = +4 1, 09 1,14 1,12 1,10 1 rM⇒1,1123-1= r r =0,1123M MDunque il tasso di aumento medio durante i 4 anni è dell’11,23%.

Esempio 2

Il numero di microrganismi in una certa coltura è aumentato da 2000 a 9000 in tregiorni.

Qual è stato l’incremento medio giornaliero?

Il n. dei microrganismi dopo un giorno sarà: n =2000+2000r=2000(1+r)1

Dopo 2 giorni: 2n =n +n r=n (1+r)=2000(1+r)2 1 1 1

Dopo 3 giorni: 3n =n +n r=n (1+r)=2000(1+r)3 2 2 2

Poiché il n. dei microrganismi alla fine dei 3 giorni è uguale a 9000, si ha: 3n =9000=2000(1+r)3 da cui, risolvendo rispetto ad r si ottiene: 33⇒ ⇒ ⇒= + − =3 3 34,5=(1+r) r=0,65094,5 1 r 4,5 1 r

Il tasso di crescita medio è stato dunque del 65,1%.

Media

armonica

Viene utilizzata quando si hanno quantità tra cui esiste una relazione inversa (es. durata e consumi, velocità e tempo, ecc...)

Esempio 1

In 4 prove di velocità sul km lanciato, un corridore in bicicletta ha realizzato, rispettivamente, le velocità di 62, 64, 65, 68 km all'ora.

I reciproci di queste velocità forniscono il tempo (v=s/t), in frazioni di ora, impiegato in ciascuna delle 4 prove, per percorrere un km: 1/62, 1/64, 1/65, 1/68.

Determinare quella velocità media che lasci invariato il tempo totale cronometrato nelle 4 prove:

¹/₆₂ + ¹/₆₄ + ¹/₆₅ + ¹/₆₈ = ⁴/₆₄ + ⁶⁸/₁ + ¹/₁ + ¹/₁

Esempio 2

Nelle analisi di mercato spesso è interessante conoscere il consumo medio annuo di un determinato prodotto. Supponiamo si voglia indagare sul consumo medio annuo di lamette da barba; viene dunque intervistato un campione di consumatori:

34 durata media in consumo annuo di persone giorni di una lametta

lametta1 10

365:10=36,52 6 365:6=60,83 30 365:30=12,24 5 365:5=735 14 365:14=26,1totale 65 208,6208,6 = 41,7 lametteconsumo pro-capite: 5 365 = 8,8 giorni.durata media di ogni lametta: 41,7Più semplicemente:5= = .M 8,8−1 1 1 1 1 1+ + + +10 6 30 5 14Esempio 3Un individuo spende per il riscaldamento di 3 anni consecutivi sempre la stessaìcifra di 1500 all’anno, acquistando il combustibile a:ì- 0,30 il 1° anno;ì- 0,40 il 2° anno;ì- 0,50 il 3° anno.Determinare il costo medio di 1 l di combustibile per l’intero periodo.Sono stati acquistati:1500 =- il 1° anno 5000 l di combustibile;0,301500 = 3750 l di combustibile;- il 2° anno 0, 401500 = 3000 l di combustibile.- il 3° anno 0,50 35Il costo medio al l per l’intero periodo è:ìCOSTO TOTALE 3 1500= = ì.0,38+ +TOTALE LITRI 5000 3750 3000Più rapidamente, basta calcolare la media armonica del costo al l:3n= = = ì.0,38M −1 n 1 1 11∑ + +0,30 0, 400,50x=1i i3.2 Medie di posizione Le medie di posizione trovano applicazione nel contesto di una serie di modalità/valori ordinati in successione non decrescente: x₁, x₂, x₃, ..., xₙ. Definiamo "QUANTILI" quei valori che ripartiscono la serie osservata in (q+1) parti di uguale numerosità; ovviamente è q ≤ n-1. Al variare di q, si ottengono i seguenti quantili: q=1 mediana q=2 terzili q=3 quartili q=5 sestili q=9 decili q=99 centili. Nella stessa serie il 2° quartile, così come il 3° sestile, coinciderà con la mediana: ⎧ se è dispari ⎪⎪ x(n+1)/2 = M ⎨ ⎪⎪ (x(n/2) + x(n/2+1))/2 se n è pari ⎩ Il pedice indica la posizione che il valore x occupa nella serie. Ad esempio, supponiamo di aver rilevato il peso in kg di 13 uomini: 36 78 75 73 90 88 87 83 76 88 78 80 83 81 Volendo calcolare la mediana, dobbiamo innanzitutto ordinare la serie: 73 75 76 78 78 80 81 83 83 87 88 88 90 Poiché il numero delle

osservazioni n=13 è dispari, la mediana è: M = x₈₁ + 1e_n/2 = 90, il numero delle osservazioni

Se non avessimo osservato l'ultimo valore x₁₃, n=12 sarebbe stato pari. In tal caso, x_n = x_n+1 = 80,5

Se la variabile in esame è quantitativa continua, i quantili possono essere calcolati nel seguente modo:

⎧ ⎡ ⎤
ni ni≠
⎪ ⎢ ⎥
sex ⎡ ⎤ + +
ni ⎣ ⎦
q q1 1+
⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ 1⎪ +1
q= ⎨x ⎞⎛i ⎡ ⎤
⎪ ⎟⎜ ni ni+1
q =+ ⎢ ⎥
x x : 2 se
⎪ ⎟⎜ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ++
ni ni ⎣ ⎦
q 1 q 1+
⎪ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎥ 1 ⎠⎝
⎩ + +⎣ ⎦1 1
q q
dove i=1, 2,…, q.

Supponiamo, ad esempio, di aver rilevato il peso in kg di n=8 donne. Si riporta la serie già ordinata: 52 54 58 59 60 60 63 65

Mediana: x₄ + x₅ = 59 + 60 = 4,5

Terzili: x₁ + x₃ = 58 + 60 = 30,3
x₂ + x₄ = 59 + 60 = 60,6
x₃ + x₅ = 60 + 63 = 61,5

Quartili: x₁ + x₂ = 54 + 58 = 56
x₂ + x₃ = 58 + 59 = 59,5
x₃ + x₄ = 59 + 60 = 61,5

24Sestili= = = 54x x x1 20 ,1 66 = = = 58x x x2 30 , 3 36 +x x= = =4 5 59,5x x3 0 , 5 26 = = = 60x x x4 60 , 6 66 = = = 63x x x5 70 , 8 36

Vediamo adesso come calcolare i quantili su una distribuzione di frequenze.

Consideriamo la seguente distribuzione:

TITOLO DI STUDIO

• nilicenza elementare, 20442469
• nessun titolo 16403989
• licenza media 2554109
• qualifica professionale 11254538
• maturita'dottorato, laurea, 3267219
• diploma universitario

TOTALE 53922324

Popolazione residente in Italia nell’anno 1999 secondo il titolo di studio

Fonte: ISTAT, Annuario statistico italiano 1999

Per determinare i quantili occorre calcolare le frequenze cumulate:

i i∑ ∑n fN = F =f f *100 F *100

i ii i ih h= =h 1 h 120442469 0,379 0,379 37,911 37,911

36846458 0,304 0,683 30,422 68,332

39400567 0,047 0,731 4,737 73,069

50655105 0,209 0,939 20,872 93,941

53922324 0,061 1 6,059 1001 100

Poiché N=53922324 è pari, la mediana occuperà una posizione compresa tra N N= + =26961162 e 1 26961163 .

Tali posizioni sono contenute nella seconda2 2frequenza cumulata N =36846458, cui è associata la modalità "licenza media".2D'altra parte, guardando le frequenze relative o percentuali cumulate, si evince.subito che il 50% delle osservazioni è contenuto proprio in F2Consideriamo adesso la distribuzione di frequenze del numero di carburatoriosservati su 32 automobili di marca diversa:

n	f	N	F	x	nx
1	7	0,219	7	0,219	7
2	10	0,313	17	0,531	20
3	3	0,094	20	0,625	9
4	10	0,313	30	0,938	40
5	0	0	30	0,938	0
6	1	0,031	31	0,969	6
7	0	0	31	0,969	0