Lemma Neymann-Pearson
Dato abusivo ho 2 risultati:
P[X∈C | H₀] = d
P[X∈C | H₁] ≥ P[X∈Cʸ | H₁]
λ(θ₁) ≥ λ(θ₀)
Facendo un appunto ta osserviamo ho che:
λ(θ₁) / λ(θ₀) = k
k = k numero singolo di decisione
|k| ≥ 1 ⇒ H₁
|k| < 1 ⇒ H₀
Cosi mi dice questo e poi tranquilite che il coppia apaprega col in nodella a di ridte
Lemma Neymann-Pearson
Date {difinire} in 2 rispetti:
- P[X ∈ C | H0] = d
dove c: retta critica
- P[X ∈ C | H1] ≥ P[X ∈ C | H1_]
l(θ1) ≥ l(θ0)
{Facendo} un {raporto} di {verosimile} ho che:
l(θ1) / l(θ0) = k
k = 1
non so in grado {di} {decidere}
k > 1 = > H1
k < 1 = > H0
Cosi vince questo è più {verosimile} che il {risuo} {appetega} al: → {modice} ad {nelto}
IPOTESI SEMPLICE
ALLORA
X = [x1, ..., xn] campione casuale di X
Si imposta allora l'ipotesi semplice vs IS:
H0: θ = θ0.
H1: θ = θ1
- d(θ1, X) / d(θ0, X) ≥ K FORMA REGIONE CRITICA
- P(X ∈ C | H0) = γ AMPIEZZA REGIONE CRITICA
Per calcolare fisso il livello γ e per il K prove dirette o grafico dellecurve stabilisce la forma della regione C.
Il valore K dipende da (2), or grafo e guarda a quello (1)
ESEMPIO
X ∼ N(θ2, σ2), media incognita varianza nota siimposta la f(x | θ):
f(x | θ) = 1 / σ√(2π) exp {-1/2 (x - θ/σ)2}
FUNZIONE DI DENSITÀ
Svolgimento
Supponiamo le ipotesi che ha visto allora valere:
H0: θ = 0H1: θ = 1L(1 | θ, x)--------------L(0 | θ, x)= (1/√2π)m exp { -1/2 ∑ xi - θ)2 } i=1 ----------------------------------------------= (1/√2π)m exp { -1/2 ∑ (xi - θ)2 } i=1= exp { 1/2 ∑ (xi - 1)2 } i exp { -1/2 ∑ (xi - 0)2 } = exp { -1/2 ∑ (xi)2 } i i= exp { 1/2 [ ∑ xi2 + ∑ 1 - 2 ∑ x ] i i i= exp { -1/2 ∑ (xi)2 }= exp { -1/2 [ ∑ xi2 + m - 2 ∑ xim < ∑ xi2 ] } i= exp { -m/2 + ∑ xi } iRapporto di verosimiglianza
P(01, X1) / P(00, X1) = I{:m / 2 + Σxi}
Devo proporre che un test dove n viene selezionato in spazio > K infinite possibilità, anno la risposta di 01, ma K volte la risposta deve rispondere al 00.
P({-m / 2 + Σxi}) > log K
Se passavo di logaritmo:
-m / 2 + Σxi > log K
Ne deduciano tollelaz:
Σxi > log K + m / 2
le linee se DX ci ha contato qual la rigone dove in ma di dire conta ( ) questo
|Σxi| > CA
Avel avanto la contem proprieta dell'intervallo:
Σxi / m > 1/M C1
... e alla fine puoi decidere con questo statistica.
Xm
Quindi con il "Metodo delle importanze distorte" si definisce lo Xm
per le import. iperdistribuz.
X̄m ∼ N(0, 1/n) → μ1 ∈ altronde o2 = 1
quindi il rapporto di ver. ricadere col nu modello con la distorsione
sotto dele ripeta di verosimigianza, progett. invertibile.
ADE. È SO
se X̄m ∼ N(θ̄, 1/n) è stato deciso di valori di fatto (che se
X̄m ≥ C2 → A1
- COSA DEVE DEFINIRE C2?
Dei ... fine punto delle contos :
(∫ (X ∈ C|H') = d
Ma se decido per ... campione omele, prima X̄m
Definiremo C2 in modo dele dire, sotto <0>, perle distorsione esso
Nodole standard.
→ allora il valore C2 lo seleziono tale che a dx di C2garantie
d
Valore di θ sotto H0
Religione Critica
Se H0, è Xn ∼ N(θ, 1)n no dipende quindi posso est. H0: θ = 0 e quindi X
è noto è medesimo test interno tipom.
2o Esempio
Adeno chemico lavorando super rdet. /na ≠ 1
∀ n N (θ, σ2) σ nota f(x;θ),
d(θ1 , X) / d(θ0 , x)
Supponiamo che:
H0: u = w0
H1: u = u1
Ca: u > w0
(₁;) (₀;)
1√2
exp { - 1⁄2² ∑(ᵢ-₁)²}---------------------------------------------exp { - 1⁄2² ∑(ᵢ-₀)²}
= exp { - 1⁄2² [ ∑(ᵢ-₁)² - ∑(ᵢ-₀)² ] }
= exp { -1⁄2² [ ∑(ᵢ² + ₁² - 2ᵢ₁) - ∑(ᵢ² + ₀² - 2₀ᵢ) ] }
= exp { -1⁄2² ∑ 2ᵢ(₀-₁) + (₁² - ₀²) }
-----------------------------------------------------------------------------------
La nostra regola di decisione diventa, certo di:
) (₁,) ≥ (₀,)
⟹
= -1/22 [2(u0-u1) Σ xi + m(u12-u02)] ≥ 2 log(k)
- di fisso avrà molti pere ≤ 22
= -2(u0-u1) Σ xi - m (u12-u02) ≥ 22 log k
= -2 (u0-u1) Σ xi ≥ 22 log K + m (u12-u02)
= - u0 mi Σ xi ≥ 2 log k + m2 (u12 - u02)
Σxi/i ≥ σ2log(ui)/u1-u0 + m(ui-u02)/2(u1-u0)
. IN TERMINI 101) UNO COMPONORIB
. IN TERMINI DI MODA CAMPIONARIA
Σxi/m = xm ≥ σ2lg(ui)/u1-u0 + (ui-u02)/2(u1-u0)
Regole de limone anche in Pomia e una Matrise da barra di Pomoei
x̅n ~ N(μ, /m)
Opponendoci alle prescrizioni de sopra, raccolgo Xn ∼ N e la loro osservazione al 10% di p-val = α.
Algoritmo
Xn ha una distribuzione data → incognita
Quindi scelgo Xn ≥ α da costante, da sx infine (perché fisso le zone alle probabilità di rimanere a dx na riguarda: appoggia fi).
Esempio caso discreto
Binomiale
X∼ Binomiale(M, π) con M ripetizioni
H0: π = π0
H1: π = π1
π1 > π0
λ(X, ω) = MCxπx(1−π)M−x
λ(θ1, x) / λ(θ0, x) = πx(1−π)M−x / π0x(1−π0)M−x
= π⁄π0x × (1−π)⁄(1−π0)M−x
= k
L'esposto e la regola decisionale
Ipotesi Composite
Abbiamo visto
X = sen(π)
A = ]0,1[
2(θ1, X)
2(θ0, X)
> K*
Se l'ipotesi dell'H1 due zone K volte l'ipotesi H2
ridurre errore di tipo II rispetto ad ottenere
un’unica
spetta di voler simulare e patato ad esprimere lo spazio alterabile
offrire un SOSTITUTO
|m| > C - devo usare m
e si riduce sopra C deve vale l'ipotesi H1
ma tale situazione è troppo semplice rispetto allo stato del
Ma tale situazione è troppo semplice rispetto allo stato del
ATTUAR(op) utilize le ipotesi composte
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