Appunti completi Statistica 2

STATISTICA II

POPOLAZIONE - Collettività dei possibili esiti:

1. FINITA - unità statistiche realmente esistenti che possono essere rilevate
2. INFINITA/VIRTUALE - insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione (teorica, mente illimitata) di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni
• Non sappiamo a priori quante → potenzialmente ∞

MODELLO - rappresentazione numerica della popolazione

CAMPIONE - sottoinsieme finito degli elementi della popolazione

• n-pla di variabili aleatorie i.i.d

INFERENZA STATISTICA - insieme di tecniche statistiche che a partire dal campione

• Cercano di inferire dei comportamenti a livello dell'intera popolazione
• modo di procedere induttivo → rischio di errore (e!)

La TEORIA DELLA PROBABILITÀ fornisce i modelli probabilistici che identificano le popolazioni di riferimento

CAMPIONAMENTO CASUALE (es. campionamento con reinserimento)

• Il campione prima dell'estrazione è costituito da n variabili casuali Xᵢ con i = 1,...,n. Xᵢ ha una distribuzione (FXᵢ) rappresenta il modello che descrive la popolazione
• Dato la v.c. X → oggetto di studio con (FX), un campione casuale è l'insieme di v.c. X₁, X₂,..., Xₙ "tra loro i.i.d (indipendenti e identicamente distribuite)
• n osservazioni

Il campione selezionato è uno dei possibili campioni estraibili dalla popolazione

SPAZIO CAMPIONARIO - insieme dei possibili campioni di numerosità prefissata estraibili dalla popolazione

STATISTICA = stima/approssimazione dei dati campionari - valore numerico calcolato sulla base del campione osserva → è una funzione

STIMATORE - particolare statistica per approssimare il parametro della popolazione è il valore che for o una stima

In corrispondenza dei t campioni ottengo t campionari diverso - le statistiche campionarie calcolate sui campioni calcolate e sono affette da variabilità

ESEMPIO: Popolazione formata da 3 u dove X può assumere valori 0, 1, 2 voglio estrarre un reinserimento un campione di unità 2 → n = 2

Prima dell'estrazione: X₁, X₂

Uno dei possibili campioni estraibili è 0,1. Ma quanti sono i possibili campioni estraibili ? X₁ può assumere valori 0,1,2 X₂ può assumere valori 0,1,2 P(X₁=x₁, X₂=x₂) = P(X₁=x₂).

= ¹/₃ * ¹/₃ = ¹/₉

= probabilità di realizzazione di 1 campione

ESEMPIO 2: Stesso esempio di prima ma senza reinserimento - possibili campioni sono 6

Descrizione dello spazio campionario:

• C₁ C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ Una volta estratta la prima pallina
• X = 1 2 0 2 0 1 dall'urna ne rimangono solo 2
• X = 2 0 2 1 perché non c'è reinserimento

Probabilità di ottenere un generico campione = P(X₁=x₁)P(X₂=x₂) = ¹/₃ * ¹/₂ = ¹/₆

=> Lo schema di campionamento considerato non produce un campionamento casuale poiché la 2^a estrazione non è indipendente dalla prima e inoltre le probabilità non sono identicamente distribuite

ESEMPIO popolazione infinita Chiamo Θ = P(X<=1)

X = {1 -> chip difettato 0 -> chip funziona

Estrego un c.c. con n=3 → X₁=1, X₂=0, X₃=0, P₂ di estrarre il campione è; P(X₁=1, X₂=0, X₃=0) = P(X₁=x₁)P(x₁=0)P(x₃=0) = Θ(1-Θ)²

ESEMPIO: Abbiamo un campione di 3 osservazioni estratte da una distribuzione normale dove x_i~N(0,1)

• P(X₂=x₂, X₂=x₂, X₃=x₃) = ³∏_{i=1 3}φ(x_i) dove φ(x) = ¹/_√2π e^{-1/2 x2}
• Se X₄=0.5, X = 2=1, X₃ = 0.5 → P(X₄=0.5...) = 0.02999

Abbiamo detto che X_nF(x,Θ) caratterizzata da E(X) e VAR(X), (parametri). Questi parametri sono fissi ma (noti->noti) stimatori - 2 possibili stimatori naturali sono media campionaria x e varianza campionaria s²

Alcune precisazioni... X~N F(x,Θ) con , Θ ϵ Σ

ϴ ϵ ℝ^d con d ≥1 é lo spazio parametro - l'insieme dei possibili valori esumibili dal parametro della popolazione

DISUGUAGLIANZA DI JENSEN

Sia g(x) una funzione continua e convessa e X una v.c. tale che E(X) è finito, allora E(g(X)) ≥ g(E(X))

- Sia g(x) una funzione continua e concava e X^v, allora E(g(X)) ≤ g(E(X))

! E(g(x)) + g(E(x)) quando g(x) √(x) v.c. lineare (dimostrazione sul quaderno)

DISTRIBUZIONE DELLA VARIANZA CAMPIONARIA DI UNA POPOLAZIONE NORMALE

X~N(μ, σ²) co μ e σ² nn noti. È una relazione tra χ^2_n(0, 1) e la gaussiana: = 2 * y~χ^2_n∫n²

Quindi riformo uno: Σz²i = Σ(x₁−)/σ)²) ... = Σ((xⁱ−μ²/σ²))

Dato che x̅~N(0, 1) −> Σz^2_i = χ²_{n2→ x̅ ~ N(0, 1) ,^{−> x̅2 = (x̅/σ√m)2 n}}