Schema Statistica 2

SCHEMA

Alcuni richiami o probabilità:

• Sia \(X \sim N(5,3)\), \(P(X > 6) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{6 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z > \frac{6-5}{3}\right) = P(Z > 0.58)\)
• La tavola riporta valori della coda a sinistra
• \(= 1 - P(Z \leq 0.58) = 0.281\)
• \(P\left(Z \leq \frac{c-5}{3}\right) = 0.7 \ \Rightarrow \ \frac{c-5}{3} = z_{0.7} \ \Rightarrow \ c = 0.52 \ \Rightarrow \ c = 5 \cdot 9\)
• cerco 0.7 dentro la tabella
• \(P(a \leq Z \leq b) = P(Z < b) - P(Z < a)\)

VALORE ATTESO

\(E(x) = \sum x \cdot f(x) \ \ \ \ \ oppure \ \ \int x \cdot f(x) \, dx\)

God: della proprietà di linearità: \(E(\alpha x + b) = \alpha E(x) + b \ / E(x^4 y^5) = y(x^4) \cdot y((e^5 y)\)

VARIANZA \ \ \ \( \quad var(x) = E((x_i - x)^2) = \sum(x - x_i)^2 \cdot f(x) \ \ \ oppure\)

formula operativa \(Var(x) = \llcorner E(x) - E(x)^2 \lrcorner\)

Proprietà di additività \ \(Var(a + b) = a^2 var(x) + b^2 var(y) + 2ab cov(x, y)\)

\(\cdot \ 2 \cdot \ \ \ \ \ \var_b \ \var_a \cdot cov \cdot \var_{b_1} \ \var_{y_{b_2}} + b 2 ab cov(x,y)\)

DISUGUAGLIANZA DI MARKOV

\(\rightarrow x \ determinare \ estremo \ inferiore \)

Sia \(y:x \ \underline{\leq}\ (e)\ = \frac{y_1}{y_{\underline{y_2}}} = X \cdot \frac{\mu_y}{e}\)

DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV

Sia \(x.c\ \ con\ E(x) = x \ \ var(x) = \sigma^2 \ (finiti). Allora \ P(|x-yi(e)| > \frac{1}{\sigma^2}\)

TEOREMA CENTRALE DEL LIMITE

• \(A) \ S_n = \sum x_i \ \ \ per "n" \rightarrow \infty \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\frac{\overline{X_n} - E(x_n)}{\var(S_n)}\right] \frac{\textrm{d}}{\longrightarrow} Z \rightarrow N(0,1)\)

  con \ \(E(\overline{x_n}) = E(x) = \mu \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Var(x_n) = \frac{\sigma^2}{n}\)

  \]

  \ \ \ \] \[\ \rightarrow N\left(\frac{1}{n}, \frac{\sigma^2}{n} \right)\]

• B) \(\ S_n = \sum y_i \ \ \ \ \ \ \ \ \ per\ \ n \rightarrow \infty \right] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left[\frac{S_n - E(\overline{s_n})}{\var(S_n)}\right] \frac{\mathrm{d}}{\longrightarrow} \ Z \rightarrow N(0,1)\)

  con \ \(E(S_n) = n \cdot \mu\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Var(x_n) = n \cdot \sigma^2\]

  \(S_n \frac{\mathrm{d}}{\longrightarrow} N(n \cdot \mu , n \cdot \sigma) \]

Stimatore

= Funzione per approssimare il parametro della popolazione o il valore che assume in un determinato campione si chiama stima,

- riferita al campione e lo posso rimunare

I parametri fissi ed ignorati (e riferiti alla popolazione) vanno stimati

SCHEMA

Alcuni richiami o probabilità:

Sia \(X \sim N(5,3)\),

\(P(X > 6) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} > \frac{6 - \mu}{\sigma}\right) = P\left(Z > \frac{6 - 5}{3}\right) = P(Z > 0.58)\)

La tavola riporta valori della coda di sinistra

\(= 1 - P(Z \leq 0.58) = 0.281\)

\(P(Z \leq \frac{c-5}{3}) = 0.9 \Rightarrow \frac{c-5}{3} = 2.03 \Rightarrow c - 5 = 0.52\)

\(c = 5.9\)

\(P(a \leq Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)\)

VALORE ATTESO

\(E(x)=\sum x_i f(x_i) \quad \text{oppure} \quad \int x f(x) dx\)

Grazie alla proprietà di linearità: \(E(\alpha x+b) = \alpha E(x) + b \ \forall E(x^4^)=E(y^2^)+E(z^3^)\)

VARIANZA

\(\operatorname{var}(x)=E[(x-x_i)^2^] \cdot f(x) \quad \text{oppure}\)

Formula operativa \(\operatorname{Var}(x) = E(x^2^) - (E(x))^2^\)

Proprietà di omogeneità \(\operatorname{Var}(\alpha x + b) = \alpha^2^ \operatorname{Var}(x)\)

\(x \leq 2\) con \(\operatorname{var}((x_i) +\alpha^2^ \operatorname{var}(b) +2 corr(x,y)=0)\)

DISUGUAGLIANZA DI MARKOV

\(\rightarrow x \quad \text{determinare estremo su}\)

Sia \(y \geq c \quad (c=E(x)=\mu_y\) Allora \(P(y, z) \leq \frac{\mu_y}{\varepsilon}\)

DISUGUAGLIANZA DI CHEBYSHEV

Sia \(y,c\) con \(c