Appunti di Statistica 2

Campione Casuale

Insieme di variabili casuali (x₁, ..., x_n) indipendenti e identicamente distribuite come x

X~F(x) cc (x₁, ..., x_n) i.i.d. come X

Popolazione Modello Descrittivo

• Distribuzione frequenza relative di un carattere all'interno di una popolazione finita
• Funzione matematica che esprime la probabilità o il modello della variabile casuale che descrive l'esito della singola prova di un esperimento nei casi di popolazione infinita/virtuale

Uperemo f(x)

Popolazione

• Insieme possibili esiti che possono essere ottenuti da un esperimento:
  • Finta -> insieme unità statistiche realmente esistenti che possono essere oggetto di rilevazione totale o parziale
  • Infinita -> insieme potenziale delle osservazioni connesse alla ripetizione di un esperimento casuale condotto nelle stesse condizioni

Spazio Campionario

Realizzazioni possibili del campione casuale

Notazione

• x₁, ..., x_n campione numerosità n prima della sua osservazione
• x₁, ..., x_n campione numerosità n dopo averlo osservato
• D= media o numerosità campionaria

Campione

Sottinsieme finito degli elementi presenti nella popolazione

Inferenza Statistica

• 1) Teoria probabilità = fornisce modelli per i fenomeni la possibilità di misurare l'errore commesso nell'inferenza
• 2) Analisi descrittiva = produce evidenze relative a tali modelli basandosi su dati rilevati
• 3) Inferenza statistica = permette di risalire dai dati osservati empiricamente alle caratteristiche del modello

Variabilità Campionaria

Il campione osservato è solo uno dei possibili campioni estraibili dalla popolazione d'interesse

Media Campionaria (Stimatore di E(x))

x̄ = ¹/_n ∑ x_i ∈ X = (x₁, ..., x_n) S = S(x) STATISTICA E(x) = VAR(x̄) = ²/_n

Varianza Campionaria (Stimatore di UAP(x))

S² = ¹/_n-1 ∑ (x_i - x̄)² s² = ⁴/_n ∑ (x_i - x̄)²

Stimatore

(X₁, ..., X_n) cc proveniente da una popolazione di cui interessa stimare , si chiama stimatore la statistica campionaria

T = T(X₁, ..., X_n) utilizzata per stimare

Stima

Singola determinazione dello stimatore, cioè il valore

T(X₁, ..., X_n) che esso assume nel campione osservato (X₁, ..., X_n)

Stimatori corretti di σ²

s² = ⁴/_n ∈ (X_i - X̄)²

X ∼ N(μ, σ²) x ∈ ℝ x ∈ ℝ σ² ) ϴ Ignoti

E(s²) = E(1/n ∈ (X_i - X̄)²) = σ² = Var(X)

Bias(s²) = Stimatore corretto, non distorto

s² = 1/n ∈ (X_i - ξ)²

X ∼ N(x, σ²) y noto σ² ) ϴ (X₁,...,X_n) Cd da x

ξ noto non devo considerare la stima X̄, ma direttamente il valore della media

E(s²) = E(1/n ∈ (X_i - ξ)²) = 0² = Var(X) stimatore corretto

Osserviamo che X̄² ∼ n/n ∈ (X_i - X̄)² - n/α ∃ (X_i)₂ = σ₂ X̄² ∼ X̄_n- ¹

Varianza corretta s² per popolazioni normali

s² = ¹/_n-1 ∈ (X_i - X̄)² = n/_{n - 1} s² ∼ n/_(n-1) s² = n s²

E[s²] = σ; E[s²] = Q:Var(x)

Var[^(n-1)/_α² s²] = 2(n-1) essendo ¹/_n-1 s² ∼ ¹/_α² Var(s²)] = 2(n-1)

Varl[s²] = 2σ²/(n-1)

Mi dice quanto è variabile la stima

Se non conosco o⁴ devo stimarlo var(s²) = 2³/_(n-1)

Altro modo: Var(s²) = x/n 1/n ( /x⁴+n-³/_(n-1) α)

ξ₄ ∈ ξ[(X-ξ)⁴] momento quarto

Funzione score (punteggio)

u(α, x) = _∂/_∂α log l(α, x) = u(α) = ¹/_{l(α, x) ∂}/_∂α l(α, x) = ^{l'(α, x)}/_{l(α, x)}

Proprietà

E[u(α, x)] = 0

Dimostrazione

E[u(α, x)] = ∫u(α, x)f(x, α)dx = ∫^{l'(α, x)}/_{l(α, x)} f(x, α)dx =

∫_∂/_∂α l(α, x)dx = _∂/_∂α ∫ l(α, x)dx = _∂/_∂α 1 = 0

Informazione attesa Fisher

X ∽f(x; α) OEC X = (x₁, …, x_n) CCD α x

In(α)=VAR[u(α, x)] = E[{u(α, x)}² - E[u(α, x)]²] = E[{u(α, x)}²]

= E[_∂²/_∂α² log l(α, x)]

Dimostrazione ultimo passaggio

_∂²/_∂α² log l(α, x) = _∂/_∂α u(α, x) = _∂/_∂α ^{l'(α, x)}/_{l(α, x)} - ^{l''(α, x)l(α, x) - l'(α, x)2}/_{l(α, x)²} =

= ^{l''(α, x)}/_{l(α, x)} - [^{l'(α, x)}/_{l(α, x)}]² = ^{l''(α, x)}/_{l(α, x)} - (u(α, x))²

E[_∂²/_∂α² log c(α, x)] = E[^{l''(α, x)}/_{l(α, x)}] - E[{u(α, x)}²] = E[{_∂²/_∂α² log l(α, x)}²]

= ∫^{l''(α, x)}/_{l(α, x)} f(x, α)dx = ∫_∂²/_∂α² l(α, x)dx = _∂²/_{∂α² ∫} l(α, x)dx = ^∂2/_{∂α² 1} = 0

Metodo di stima: Metodo momenti MOM

Momenti di una variabile casuale

X~f(X,θ) θ∈Θ

E(X_r) = E X^rf(X,θ) = ∫x^r f(x,θ)dx = g_r(θ)

r = {1,...,r}

Discreto

Continuo

Momenti campionari

X~f(X,θ) θ∈Θ X = (X₁,...,X_n) cc da X M_r = 1/n Σ X_i^r

r = {q,...,k}

Caso monoparametrico

X~f(X,θ) θ∈Θ E(X) finito

X = (X₁,...,X_n) cc da X

z₁(θ) = ∫x f(x,θ) dx = g(θ)

Momento primo popolazione

M₁ = 1/n Σ X_i Momento primo campionario

Equazione in θ → z₁(θ) = M₁ = X

Trovo valore di θ che soddisfa quest'uguaglianza → θ = q(X) soluzione

Questo metodo non soddisfa eventuali vincoli sui parametri!

Caso multiparametrico

Risolvo sistema dei momenti

• z₁(θ) = M₁ = X
• z₂(θ) = M₂
• ...
• z_k(θ) = M_k

Metodi per la costruzione IC: metodo quantità pivottale

Quantità pivottale:

• X~f(α,x) • α∈ ignoto
• X̄=(X₁,...,Xn) CC da X

Una quantità pivottale per α è una funzione U(α,X) tale che dipende dal campione X, dipende dal parametro α e ha distribuzione nota.

Caso normale

• X~N(α,σ²) X̄=(X₁,...,Xn) CC da X possono essere quantità pivottali

1. posto σ² nota

   U(X̄,t) = (X̄ - t)/σ/√n = z~N(0,1) quantità pivottale di t

2. posto t ignota

   U(X̄,σ²) = ((n-1) S²)/σ² ~ X²ₙ₋₁ quantità pivottale di σ²

Il metodo:

Se U(α,X) è quantità pivottale per α allora si ha P(U₁ < U(α,X) < U₂) = 1-α α fissato piccolo.

Se U(α,X) è invertibile rispetto a α allora si ha:

1-α = P(U₁ < U(α,X) < U₂) = P(U⁻¹(U₁) < α < U⁻¹(U₂))

L'intervallo aleatorio [U⁻¹(U₁), U⁻¹(U₂)] definisce intervallo confidenza a livello 100(1-α)%.

IC per valore atteso popolazione normale con varianza nota

• X~N(μ,σ²) σ² nota -> stimare X
• X̄ = (X₁,...,Xn) CC da X

U(X̄, t) = (X̄ - t)/σ/√n quantità pivottale N(0,1)

Quindi 1-α = P(-Z_α/2 < (X̄ - t)/σ/√n < Z_α/2) = P(X̄ - (Z_α/2) σ/√n < t < X̄ + (Z_α/2) σ/√n)

IC per t con σ² nota:

(X̄ - Z_1-α/2 σ/√n , X̄ + Z_1-α/2 σ/√n)