Statistica - Formulario (II parziale)

Distribuzione di probabilità variabili discrete

Valore atteso

E(X) = μ = ∑ x_i p(x_i)

Varianza

V(X) = E(X – μ)² = ∑(x_i – μ)² p(x_i)
V(X) = E(X²) – μ² = ∑ x_i² p(x_i) – μ²

Deviazione standard

SD(X) = √V(X)

Combinazione lineare variabili casuali

Esempio: Y = 3X - 4Z + 5

Formula

Y = ∑ a_iX_i + b_i con a_i e b_i costanti

Valore atteso

E(Y) = ∑ a_i E(X_i) + b_i (es. 3E(X) – 4E(Z) + 5)

Varianza

V(Y) = ∑ a_i² V(X_i) (es. 9V(X) + 16V(Z))

Variabili casuali discrete note

• Uniforme X ~ U(a, b) con a ≤ x ≤ b, p(x) = 1/K
• Bernoulli X ~ Be(p) con x = 0, 1, p(x) = p^x (1-p)^1-x
• Binomiale X ~ Bin(n, p) con 0 ≤ x ≤ n, p(x) = C(n, x) p^x (1-p)^n-x

Valore atteso E(X) = μ = np
Varianza V(X) = np(1-p)

Se n = 5 e x = 3, P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

P(X = 3) = C(5, 3) p³ (1-p)²

Variabile aleatoria continua

Funzione di densità

f(x)

Densità di probabilità

P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx

Valore atteso

E(X) = ∫_-∞^+∞ x f(x) dx

Varianza

V(X) = ∫_-∞^+∞ (x - μ)² f(x) dx

Variabili aleatorie continue

• Standardizzata E(Z) = 0, V(Z) = 1, Z = (X - μ) / σ
• Normale X ~ N(μ, σ²)

Distribuzione normale

f(x) = (1 / (√(2π) σ)) exp[-(x - μ)² / (2σ²)]

• t-Student X ~ t(r), E(X) = 0, V(X) = r / (r - 2)
• Chi-quadrato X ~ χ²(r), E(X) = r, V(X) = 2r

Teorema del limite centrale

Qualunque insieme di variabili casuali facendone la somma converge a una distribuzione normale per n sufficientemente grande, a patto che siano indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d).

Distribuzione stimatori inferenza

Media campionaria X̄ ~ N(μ, σ² / n)