Statistica - Formulario (II parziale)

VARIABILI CASUALI DISCRETE NOTE

• Uniforme X U(a,b) a≤x≤b p(x ) = 1/K

i

• x 1-x

Bernulli X Be(p) x=0,1 p(x) = p (1-p)

Valore atteso E(X) = μ = p

o x 2 2X

Varianza V(X) = E(X ) – μ = p(1-p)

o )

( nx

• x n-x

Binominale X Bin(n,p) 0≤x≤n p(x)= p (1-p)

Valore atteso E(X) = μ = np

o x

Varianza V(X) = np (1-p)

o 5 ! 3 2

Se n=5 e x=3 P(X≥1) = 1-P(X=0) P(X=3) = p x (1-p)

3 ! 2 !

VARIABILE ALEATORIA CONTINUA d

f x F x)

( )= (

Funzione di densità dx b

∫

P a ≤ X ≤ b f x dx b a

Densità di probabilità ( ) ( ) ( )−F ( )

= =F

a

1 +∞

∫

E X xf x dx

Valore atteso ( )=μ ( )

=

X −∞ +∞ 2

∫

2

V X X−μ x−c f x dx

Varianza ( )=E ( ) ( )

( ) =

X −∞

+∞

2 ∫

2 2 2

( )

V X X x f x dx−μ

( )=E ( )

−μ =

X X

−∞

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

• Standardizzata E(Z) = 0 V(Z) =1 X−μ

Z

• 2

Normale X N( comb.lineare

=

μ , σ ¿ σ

normali da una normale [ ]

2 2

x−μ

1 ( ) 1 z

⁡

f exp f exp

= = [ ]

z

x 2

2 √

√ 2π

2 2σ

2π σ r

• t-Student X t(r) E(X) = 0 V(X) = r−2

Γ r

( )

[ +1 /2]

f =

x r

√ πrΓ ( )

2

• 2

chi-quadrato X x (r) E(X) = r V(X) = 2r

1 r 2

/(2−1) −x/

f x e

=

x r r

2

2 Γ ( )

2

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE

Qualunque insieme di variabili casuali facendone la somma converge a una distruzione di tipo normale per n

sufficientemente grande a patto che siano indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d)

DISTRIBUZIONE STIMATORI INFERENZA 2

σ

1 μ,

∑

́ X

X

MEDIA CAMPIONARIA = )

n

i

n ́

X N ¿

́

X X

−

i ¿

2 2

VARIANZA CAMPIONARIA S = )

1 ∑ ¿

n−1

2

S

(n−1) 2

X (n−1)

2

σ ́

X X

−

i ¿

̃

S 2 2

VARIANZA CAMPIONARIA DISTORTA = )

1 ∑ ¿

n

1 ∑

p X

P CAPPELLO ̂ = i

n

1) IC PER μ IN CASO DI VARIANZA NOTA

σ σ σ

( ) ( ) ( )

x ±[1,64 x ±[1,96 x ±[2,57

́ ] ́ ] ́ ]

α=10% α=5% α=1%

√ √ √

n n n

2) IC PER μ IN CASO DI VARIANZA NON NOTA

1,83 2,26 3,25

s s s

x ± x ± x ±

́ ¿( ) ́ ¿( ) ́ ¿( )

α=10% α=5% α=1% n=10

√ √ √

n n n

¿ ¿ ¿

( ) ( ) ( )

¿ ¿ ¿

s

( )

x ±[t

́ ]

α √ n

( )

n−1 , 2

3) IC PER μ IN CASO DI VARIANZA NON NOTA E GRANDI CAMPIONI

s

( )

x ±[ z

́ ]

a √ n

2

4) IC PER PROPORZIONE p IN GRANDI CAMPIONI

√

( )

p p

̂ (1−̂ )

p ± z x α 10 1,64 α 5 1,96 α 1

( )=± ( )=± ( )

̂ =±2,57

α /2 n

5) IC PER μ – μ CON POPOLAZIONI NORMALI E VARIANZE NOTE

X Y

3 ́ ́

X Y μ

( )

− −μ

( ) ]

[

X Y √

N 0,1

( ) 2 2

σ σ

√ con α=10%

X Y

2 2 x y ± 1,64

σ σ ( )

́ − ́ +

X Y n m

+

n m 2 2x 2y

6) IC PER μ – μ CON POPOLAZIONI NORMALI E VARIANZE NON NOTE (σ =σ =σ )

X Y ́ ́

X Y μ

( ) ( )

− −μ

2 2 X Y

n−1 S m−1 S

( ) ( ) t con k=n+m−2

+

2 X Y

=

S k

1 1

√

p 2

S

n+m−2 ( + )

p n m

√ 1 1

2

x y ±t x S

( )

́ ́

− ( + )

k ,α p

/2 n m

7) IC PER μ – μ PER GRANDI CAMPIONI

X Y

Varianza nota Varianza non nota

( ) ( )

√ √

2 2 2 2

σ σ s s

X Y X Y

x y ± z x y ± z

( ) ( )

́ − ́ + ́ − ́ +

α 2 α

/ /2

n m n m

Test Test Bidirezionali

±1,64

Unidirezionali α=10% ±1,96

Destra α=5%

[α=10%: -1,28] ±2,57

α=1%

[α=5%:-1.64]

[α=1%: -2,32]

Sinistra

[α=10%: +1,28]

[α=5%:+1.64]

[α=1%: +2,32] x

TEST UNIDIREZIONALE SEMPLICE es. H : μ=15 H : μ=15.6 α=10% R: ́

0 1

>15.3 H è vera

0

́

P(Errore I tipo) X R

∈ /¿=α

P ¿

H è falsa

0

́

P(Errore II tipo) X A

∈ /¿=β

P ¿

H è vera

0

́

X A

∈ /¿=1−α

P ¿