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Serie Storiche e Processi Stocastici

ρ ρ

1 1 1

ρ ρ

1

1 2 ( ) ( )

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

− + + −

ρ ρ ρ 2 2 2

1 2

π = = 3 1 1 1 2 2

2 1 3 ( )( )

ρ ρ ρ ρ ρ

− + −

3 2 2

1 1 1 2

1 2 1 2 1

ρ ρ

1

1 1

ρ ρ 1

2 1

Risultano inoltre univocamente determinabili i valori della funzione di autocorrelazione in

:

funzione delle autocorrelazioni parziali fino allo stesso lag h

ρ π

=

1 1 ( )

ρ π π π

= + −

2 1

2 2 1 2

( )( ) ( ) ( )

ρ π π π π π π π π

= − − + − + −

2

2 2 3

1 1 1 2

3 3 2 1 1 2 1 2 2

E’ possibile (per quanto non immediato) ricavare una forma analitica generale in modo da

π π π

ρ , ,...,

in funzione di e viceversa; tale problema è sempre risolubile, per

esplicitare −

h h 1 1

h

quanto non molto semplice. ρ π

Come si può vedere dalla teoria esposta sino a qui e sono l’una funzione dell’altra:

h h

π non aggiunge nulla sulla conoscenza del processo che non sia già teoricamente deducibile da

h

ρ ; come già accennato l’importanza della funzione di autocorrelazione parziale risulterà

h

evidente più avanti, nell’ambito della stima dei modelli autoregressivi.

Per quanto riguarda la stima della funzione di autocorrelazione parziale il metodo più

ρ , ad esempio tramite lo stimatore introdotto

immediato consiste nel ricavare le stime di h

prima, ed andarle a sostituire all’interno delle matrici definite sopra, di modo da ottenere

ˆ *

P

π ( )

h

= =

ˆ h

, 0,1,2,...

h ˆ

P

( )

h

ˆ ˆ *

e sono, rispettivamente, la matrice di Toeplitz e la stessa modificata di cui già si è

P P

h h

( )

( )

parlato, nelle quali sono stati inseriti i valori stimati della funzione di autocorrelazione.

Analogamente al caso della funzione di autocorrelazione si rappresenta graficamente anche

π ρ

ˆ per lo stesso numero di per cui è stata stimata . Tale grafico viene denominato

lags

h h

.

talvolta come correlogramma parziale

Esempio

Riprendiamo i dati derivati dalla serie storica dell’esempio precedente, per la quale avevamo

= .

già stimato i valori della funzione di autocorrelazione fino al lag h 3

17

Serie Storiche e Processi Stocastici

ρ γ γ

= = − = −

ˆ ˆ ˆ 0.21 1.2 0.18

1 1 0

ρ γ γ

= = − = −

ˆ ˆ ˆ 0.5 1.2 0.42

2 2 0

ρ γ γ

= = =

ˆ ˆ ˆ 0.48 1.2 0.40

3 3 0

Procedendo con i calcoli e sfruttando i risultati presentati in precedenza otteniamo le stime

dell’autocorrelazione parziale:

ρ

ˆ

π ρ

= = = −

1 ˆ

ˆ 0.18

1 1

1 ρ

ˆ

1 1

ρ ρ ρ ρ

− − − −

2 2

ˆ ˆ ˆ 0.42 ( 0.18)

π = = = = −

1 2 2 1

ˆ 0.468

ρ ρ

− − −

2 2 2

ˆ ˆ

1 1 1 ( 0.18)

1 1

ρ

ˆ 1

1 ρ ρ

ˆ ˆ

1 1 1

ρ ρ

ˆ ˆ

1

1 2 ( ) ( )

ρ ρ ρ ρ ρ ρ

− + + −

ρ ρ ρ 2 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

1 2

ˆ ˆ

π =

= = 3 1 1 1 2 2

2 1 3

ˆ ( )( )

ρ ρ ρ ρ ρ

− + −

3 ˆ ˆ 2 2

1 ˆ ˆ ˆ

1 1 2

1 2 1 2 1

ρ ρ

ˆ ˆ

1

1 1

ρ ρ

ˆ ˆ 1

2 1

( ) ( )

− − − − + − − −

2 2 2

0.40 1 ( 0.18) 0.18 ( 0.18) ( 0.42) 2( 0.42)

= = 0.398

( )( )

− − + − − −

2 2

1 ( 0.18) 1 ( 0.42) 2( 0.18)

Come si può notare le stime delle due funzioni sono praticamente coincidenti, a meno di

approssimazioni minime. Nel grafico che segue è riportato il correlogramma parziale del

processo sulla base della serie storica data. 18

Serie Storiche e Processi Stocastici

Anche in questo caso sono presenti i limiti approssimati della regione di confidenza al 95%

H : X WN

per l’ipotesi . La costruzione è analoga a quella relativa alla funzione di

t

0 = = ±

2 2 10 0.6325 intorno allo

autocorrelazione, le bande di confidenza sono poste a N

zero; chiaramente nel nostro caso tale specificazione è superflua, dal momento che la serie

storica che è stata impiegata per l’esercizio è artificiale.

La Classe dei Modelli ARMA

Come si è già visto in precedenza lo scopo dell’analisi delle serie storiche è quella di risalire

ai processi stocastici che si suppone le abbiano generate; operativamente questo si traduce

che garantiscano un accettabile grado di

nell’identificazione e nella stima di modelli statistici bensì se ne

approssimazione della realtà in esame. Dunque dai dati non si perviene al processo

costruisce una descrizione valida sino a prova contraria: una sintesi cioè ottimale solo fino a che

nuovi dati non porteranno a costruire modelli più convincenti. In generale la conoscenza di un

processo a partire dai dati è proibitiva, dunque si ripiega su di un particolare modello: il

processo stocastico genera la serie storica quale sua realizzazione finita, il modello statistico si

adegua alla serie storica secondo criteri di ottimalità e genera dati che sono simulazioni ottenute

dal modello. Nel seguito presenteremo una classe di modelli statistici che trova il suo impiego

. Il passo seguente all’ è

nella descrizione dei processi stocastici, i modelli ARMA identificazione

del modello scelto tramite opportune verifiche di

chiaramente costituito dalla validazione .

ipotesi; una volta assicurata la bontà del modello si può infine passare alla previsione

Il Processo a Media Mobile

Sia un processo come già definito in precedenza e si consideri il seguente

A white noise

t

processo stocastico μ θ

= + +

Y A A −

t t t 1

μ θ ∈ . Questa serie storica è definita , e si

dove , processo a media mobile del primo ordine

MA

(1) . Il termine “media mobile” deriva dal fatto che è costruito da una somma

indica con Y

t

pesata, simile ad una media, dei due più recenti valori di .

A

Il valore atteso di è dato da

Y

t

( ) ( ) ( ) ( )

μ θ μ θ μ

= + + = + + =

E Y E A A E A E A

− −

1 1

t t t t t

dal momento che abbiamo definito come un white noise, e quindi a media nulla per ogni .

A t

t

La varianza di , che coincide chiaramente con la funzione autocovarianza calcolata per un

Y

t

nullo, vale

lag ( )

( ) ( )

μ θ θ θ

2 2

− = + = + + =

2

2 2

E Y E A A E A 2 A A A

− − −

t t t t t t t 1

1 1

σ θ σ

= + + =

2 2 2

0

( )

θ σ γ

= + =

2 2

1 0

19

Serie Storiche e Processi Stocastici

La prima autocovarianza è

( )( ) ( )( )

μ μ θ θ

− − = + + =

E Y Y E A A A A

− − − −

t t 1 t t 1 t 1 t 2

( )

θ θ θ

= + + + =

2 2 2

E A A A A A A A

− − − − −

t t 1 t 1 t t 2 t 1 t 2

θσ θσ γ

= + + + = =

2 2

0 0 0 1

Le autocovarianze di ordine superiore sono tutte identicamente nulle.

Dal momento che la media e le autocovarianze non sono funzioni del tempo , un processo

t

θ

à stazionario quale che sia il valore di . Inoltre è chiaramente soddisfatta la seguente

(1)

MA

condizione di ergodicità rispetto alla media

∞ ∞ ( )

∑ ∑

γ γ θ σ θσ

< ∞ = + +

2 2 2

1

, difatti

h h

= =

h h 0

0

θ

supponendo finito (ed è una assunzione quasi scontata, altrimenti non avrebbe senso la

σ 2 è finito poiché stiamo considerando un disturbo di

costruzione di un modello) e sapendo che

tipo (analogo è il discorso sulla condizione di asintoticità verso lo zero: dal

white noise

γ = >

momento che 0, 1 è verificata anche quest’ultima). Inoltre se supponiamo che il

h

h

processo di rumore bianco sia anche gaussiano, allora l’ergodicità è valida con rispetto a tutti i

momenti. = =

, mentre per vale

La funzione di autocorrelazione è pari all’unità per h 0 h 1

γ θσ θ

2

ρ = = =

1 ( )

γ θ

+

θ σ

+

1 2

2 2 1

1

0

le autocorrelazioni di ordine superiore sono tutte identicamente nulle ed è possibile

ρ

rappresentare in un correlogramma.

h θ

due distinti valori di

E’ interessante notare come esistano sempre tali da restituire il

θ

medesimo valore della funzione di autocorrelazione. Difatti se andiamo a sostituire a il valore

θ θ

= 1 notiamo che ( ) ( )

θ θ θ θ

2

1 1

ρ = = =

( ) θ

( ) +

⎡ ⎤

1 θ

+ 2 2

θ θ 2

+ 1

2

1 1 1 1

⎣ ⎦

= + = +

Y A A Y A A

Per esempio, i processsi 0.5 e 2 hanno la medesima funzione di

− −

t t t t t t

1 1

autocorrelazione data da 2 0.5

ρ = = = 0.4

+ +

1 2 2

1 2 1 0.5

20

Serie Storiche e Processi Stocastici

θ

ρ =

Il grafico di è il seguente:

θ

+

1 2

1

Sono stati simulati quattro processi a media mobile del primo ordine sotto ipotesi di media

nulla e con rumore bianco gaussiano (la stazionarietà non è richiesta in quanto sempre

verificata); di seguito le rappresentazioni grafiche delle serie storiche per un totale di 300

realizzazioni, con i rispettivi correlogrammi (

ACF Partial ACF

) e correlogrammi parziali ( ).

ACF lag

) mostrano come, dopo il primo , i valori possano

Le funzioni di autocorrelazione (

ritenersi ragionevolmente nulli (dal momento che non superano le bande di confidenza; è

accettabile inoltre un valore “anomalo” ogni 20 lag, purché superi in modo non significativo i

valori limite). Questo significa che abbiamo a che fare con modelli a media mobile di ordine 1

(come in effetti sono per costruzione); la vera utilità di questo genere di considerazioni grafiche

risiede nel fatto che nella cosiddetta fase di identificazione dei modelli possiamo essere in

grado, semplicemente costruendo i correlogrammi campionari dalla nostra serie storica, di

orientarci verso un tipo di modello o verso un altro a seconda della “forma” della funzione di

autocorrelazione . Partial ACF

), invece, mostrano un andamento

Le funzioni di autocorrelazione parziale (

decrescente e convergente verso lo zero: questo è tipico dei modelli a media mobile.

21

Serie Storiche e Processi Stocastici

22

Serie Storiche e Processi Stocastici

23

Serie Storiche e Processi Stocastici

processo a media mobile di ordine q MA q

Definiamo ora il , che indicheremo con ( ) , nel

seguente modo: μ θ θ θ

= + + + + +

Y A A A ... A

− − −

1 1 2 2

t t t t q t q

q

Ovvero estendiamo ad un numero di termini la somma pesata dei white noise che riteniamo

Y

descrivano la nostra . In pratica viene aumentato il peso delle informazioni fornite dai disturbi

t lag q MA

più lontani nel tempo, fino ad un , appunto, pari a . (1) è chiaramente un caso

θ

q

particolare di processo a media mobile di ordine nel quale i pesi risultino pari a zero per

j

>

j 1 .

Calcoliamo il valore atteso del processo

( )

( ) μ θ θ θ

= + + + + + =

E Y E A A A ... A

− − −

t t 1 t 1 2 t 2 q t q

( )

( ) ( )

μ θ θ μ

= + + + + =

E A E A ... E A

− −

t 1 t 1 q t q

La varianza sarà ( )

( ) 2

γ μ θ θ θ

2

= − = + + + +

E Y E A A A ... A

− − −

0 1 1 2 2

t t t t q t q

dal momento che, per ipotesi, i rumori bianchi sono incorrelati tra di loro la varianza della

somma sarà semplicemente pari alla somma delle varianze, ovvero

( )

γ σ θ σ θ σ θ σ θ θ θ σ

= + + + + = + + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

... 1 ...

q q

0 1 2 1 2

Si ricava inoltre (non lo dimostriamo ma è semplice ottenerlo) che

( )

⎧ θ θ θ θ θ θ θ σ

+ + + + =

2

⎪ ... h 1, 2,..., q

+ + −

γ = h h h q q h

1 1 2 2

h >

⎪⎩ 0 h q

MA

(3)

Per esempio in un processo avremo che:

( )

γ θ θ θ σ

= + + +

2 2 2 2

1

0 1 2 3

( )

γ θ θ θ θ θ σ

= + + 2

1 1 2 1 3 2

( )

γ θ θ θ σ

= + 2

2 2 3 1

( )

γ θ σ

= 2

3 3

γ γ

= = =

... 0

4 5 γ

La funzione di autocorrelazione segue automaticamente rapportando i valori di alla

h

>

h q MA q

varianza, ed è identicamente nulla per , dunque anche il processo ( ) risulta essere

θ

stazionario, quali che siano i valori dei parametri ; inoltre, come già per il processo di ordine

j

24

Serie Storiche e Processi Stocastici

1, se il disturbo è di tipo white noise gaussiano è rispettata anche l’ergodicità rispetto a tutti i

momenti. MA ; le considerazioni sono le medesime già fatte

Di seguito quattro esempi di processo (2)

per il caso del modello a media mobile di primo ordine e ancora una volta supponiamo valor

medio nullo e disturbi di tipo white noise gaussiano.

25

Serie Storiche e Processi Stocastici

26

Serie Storiche e Processi Stocastici

MA q

Il processo ( ) può essere scritto come

q

μ θ θ

= + =

Y A , 1

t j t j 0

=

j 0

→ ∞

q

Si consideri cosa succede quando :

μ ψ μ ψ ψ ψ

= + = + + + +

Y A A A A ...

− −

t j t j 0 t 1 t 1 2 t 2

=

j 0 ∞

MA

( )

Questo può essere considerato un processo , che risulta essere stazionario se è verificata

la seguente condizione: ∞

ψ <∞

2

j

=

j 0

Spesso si considera la condizione leggermente più restrittiva

∑ ψ <∞

j

=

j 0

{ }

ψ

Una sequenza di coefficienti che rispetti le condizioni sopraelencate viene definita,

j =

j 0

di quadrato sommabile assolutamente sommabile

e . Questo garantisce anche

rispettivamente, ∞

∑ γ < ∞ ), in effetti anche le

che sia rispettata la condizione di ergodicità rispetto alla media ( h

=

h 0 ∞

MA

( )

covarianze sono assolutamente sommabili. Il valor medio del processo rimane

μ q

, mentre i momenti di ordine superiore basta far tendere ad infinito l’ordine nelle

comunque

espressioni già ricavate e calcolare il limite.

Il Processo Autoregressivo

processo autoregressivo del primo ordine AR

Un , indicato con (1) , soddisfa la seguente

equazione: φ

= + +

Y c Y A

t t 1 t φ ∈

A c

Ancora una volta è il rumore bianco che soddisfa tutte le proprietà già discusse e , .

t

Come si può vedere si tratta di una equazione alle differenze finite di ordine 1, ed è noto

φ ≥ A Y

dalla teoria che se 1 la conseguenza degli sulla tenderanno ad accumularsi nel tempo

t t

piuttosto che tendere a zero. Dovrebbe risultare dunque sufficientemente intuitivo comprendere

φ ≥

qualora allora non esiste un processo stazionario Y che

la seguente affermazione: 1 , t

μ φ

= + +

Y Y A

soddisfi l’equazione .

t t t

1

φ < 1 Y

In caso invece sia , allora esiste un processo stazionario che soddisfi l’equazione e

t

che sarà dato dalla soluzione stabile 27

Serie Storiche e Processi Stocastici

( ) ( ) ( ) ( )

φ φ φ

= + + + + + + + + =

2 3

Y c A c A c A c A ...

− − −

t t t t t

1 2 3

( )

φ φ φ φ

⎡ ⎤

= − + + + + +

2 3 ..

c 1 A A A A .

⎣ ⎦ − − −

t t t t

1 2 3 ψ φ

∞ = j

MA

( )

Tale soluzione può essere vista come un processo con . Qualora la condizione

j

φ < sia soddisfatta, allora avremo

1 ∞ ∞ 1

∑ ∑

ψ φ

= = < ∞

j φ

j 1

= =

j j

0 0 ∞

MA

La convergenza di questa serie garantisce l’esistenza della rappresentazione ( ) e

AR

l’ergodicità rispetto alla media del processo .

(1)

Calcolando il valore atteso della soluzione otteniamo che

( ) ( )

φ

⎡ ⎤

= − + + +

E Y c 1 0 0 ...

⎣ ⎦

t ( )

μ φ

= −

AR (1) stazionario vale .

Dunque la media di un processo c 1

La varianza invece è ( )

( ) 2

μ φ φ φ

− = + + + + =

2 2 3

E Y E A A A A ...

− − −

t t t t t

1 2 3

( )

φ φ φ σ

= + + + + =

2 4 6 2

1 ...

( )

σ φ γ

= − =

2 2

1 0

h

-esima autocovarianza vale

mentre la ( )

( )( )

μ μ φ φ φ φ φ

+ +

− − = + + + + + + + ⋅

2 h h 1 h 2

E Y Y E A A A ... A A A ...

− − − − − − − −

t t h t t 1 t 2 t h t h 1 t h 2

( )

φ φ

⋅ + + + =

2

A A A ...

− − − − −

t h t h 1 t h 2

⎡ ⎤

φ φ φ σ

+ +

= + + + =

h h 2 h 4 2

...

⎣ ⎦

φ φ φ σ

⎡ ⎤

= + + + =

h 2 4 2

1 ...

⎣ ⎦

( )

⎡ ⎤

φ φ σ γ

= − =

h 2 2

1

⎣ ⎦ h

Segue immediatamente l’espressione della funzione di autocorrelazione, pari a

( ) ( )

⎡ ⎤

φ φ σ

− φ φ σ

h 2 2 h 2 2

γ 1 1

⎣ ⎦

ρ φ

= = = = h

h ( ) ( )

γ σ φ φ σ

− −

h 2 2 2 2

1 1

0 28

Serie Storiche e Processi Stocastici

la quale rispetta la condizione di convergenza a 0, sotto ipotesi di stazionarietà, dal momento

φ <

che si è supposto .

1

Sono stati simulati quattro processi autoregressivi del primo ordine sotto ipotesi di

stazionarietà, media nulla e con rumore bianco gaussiano; di seguito le rappresentazioni

grafiche delle serie storiche per un totale di 300 realizzazioni, con i rispettivi correlogrammi

( ACF Partial ACF

) e correlogrammi parziali ( ).

Si noti come le funzioni di autocorrelazione decrescono progressivamente e lentamente

φ ), questa è

verso lo zero (l’alternanza dei segni dipende unicamente dal segno del parametro

AR

una caratteristica tipica dei processi di tipo ; le funzioni di autocorrelazione parziale invece

presentano un solo valore significativamente al di fuori delle bande di confidenza, il primo,

questo ci fornisce l’indicazione che si tratti di processi del primo ordine. Nelle Partial ACF i

valori successivi al primo non sono nulli come vorrebbe la teoria, ma questo è imputabile al

caso, possiamo accettare l’ipotesi di in correlazione temporale per lag superiori a 1 dal

momento che, appunto, i valori della funzione non superano le bande di confidenza (è

accettabile inoltre un valore “anomalo” ogni 20 lag, purché superi in modo non significativo i

valori limite) 29

Serie Storiche e Processi Stocastici

30

Serie Storiche e Processi Stocastici

Cosa succede però se la condizione di stazionarietà non è rispettata (ovvero se il parametro è

φ ≥ esplode

tale che )? Il processo . Nel grafico che segue sono state rappresentate le

1

simulazioni di due processi autoregressivi con parametri superiori in modulo a 1, seppure di

pochissimo. 31

Serie Storiche e Processi Stocastici

Chiaramente la stazionarietà non è più rispettata, e sebbene le funzioni di autocorrelazione

ed autocorrelazione parziale conservino un andamento che potremmo definire “ideale”, risulta

evidente come l’esplosione dei valori renda il modello assolutamente instabile.

Analogamente al caso del processo a media mobile, possiamo estendere il concetto di

autoregressione ad ordini superiori; rendiamo, cioè, significative informazioni sul processo più

lontane nel tempo, fornendo loro pesi non nulli.

processo autoregressivo di ordine p AR p

Si definisce e si indica con ( ) il seguente:

φ φ φ

= + + + + +

Y c Y Y ... Y A

− − −

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

p Y

termini la somma pesata dei valori passati della nostra ,

Ovvero estendiamo ad un numero di t

A

con l’aggiunta di un termine di disturbo white noise . Risulta evidente come il processo

t φ =

AR presentato in precedenza altro non sia che un caso particolare di quest’ultimo, con 0

(1) j

>

j

per 1 .

A differenza del processo a media mobile, come si è già detto, la stazionarietà non è

necessariamente rispettata; dobbiamo dunque imporre delle condizioni sui parametri del

32

Serie Storiche e Processi Stocastici

φ

modello. In particolare richiederemo che i coefficienti associati alle radici dell’equazione

j

omogenea associata φ λ φ λ φ λ

− − − − =

2 p

1 ... 0

1 2 p

λ > ∀

j

1 esplode

. In questo caso il processo non e si mantiene

siano tali da garantire che j

stazionario. AR (2)

Nel caso di un processo questa condizione è graficamente rappresentabile in modo

φ φ

comprensibile; si tratta infatti della condizione che i due parametri e si trovino all’interno

1 2

del triangolo tratteggiato nella figura sottostantante.

Sotto l’ipotesi di stazionarietà il valore atteso del processo è:

c

( ) μ

= =

E Y φ φ φ

− − − −

t 1 ... p

1 2

e sfruttando questa espressione l’equazione che descrive il processo può essere riscritta nel

modo seguente: ( )

( ) ( )

μ φ μ φ μ φ μ

− = − + − + + − +

Y Y Y ... Y A

− − −

t 1 t 1 2 t 2 p t p t

Le autocovarianze si possono quindi ottenere semplicemente moltiplicando ambo i membri

( )

μ

dell’ultima equazione per e prendendone i valori attesi; ne risulta che:

Y −

t h φ γ φ γ φ γ

+ + + =

⎧⎪ h

... 1, 2,...

− − −

1 h 1 2 h 2 p h p

γ = ⎨

φ γ φ γ φ γ σ

+ + + + =

h 2

⎪⎩ h

... 0

1 1 2 2 p p γ γ

= ) questo

Sfruttando la nota proprietà di simmetria della funzione di autocovarianza ( − h h

σ φ φ φ

γ γ γ 2

sistema di equazioni può essere risolto per in funzione di . Per

, , ,...,

, ,..., 1 2 p

0 1 p γ

ricavare la funzione di autocorrelazione basterà dividere per , quindi:

0

33

Serie Storiche e Processi Stocastici

ρ φ ρ φ ρ φ ρ

= + + +

...

− − −

h 1 h 1 2 h 2 p h p

ρ =

chiaramente 1 .

0 =

h , dà origine al cosiddetto sistema di

L’espressione precedente, esplicitata per 1, 2,...

equazioni di Yule-Walker , che costituisce lo strumento fondamentale per la stima dei parametri

del modello autoregressivo. Come già detto è possibile, noti che siano i parametri e la varianza

del disturbo, stimare i valori della funzione di autocovarianza (e quindi di autocorrelazione); ciò

che risulta invece di effettivo interesse operativo è proprio l’operazione inversa, in effetti noi

disponiamo della serie storica dei dati dalla quale, come si è già mostrato negli esempi, si

possono stimare i valori della funzione di autocorrelazione. Tramite il sistema di equazioni di

Yule-Walker abbiamo quindi la possibilità di stimare i parametri (ignoti) del modello

autoregressivo che meglio approssimi il processo stocastico (a tutti gli effetti inconoscibile nella

sua completezza) di cui la serie storica rappresenta una realizzazione finita.

Il sistema di equazioni di Yule-Walker si presenta in forma lineare per il processo

autoregressivo, e può essere esplicitato come segue:

ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ

= + + + +

⎧ ... −

1 1 2 1 3 2 p p 1

⎪ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ

= + + + +

...

⎪ −

2 1 1 2 3 1 p p 2

⎨ .....

⎪ .....

⎪ ρ φ ρ φ ρ φ ρ φ

⎪ = + + + +

...

⎩ − − −

p 1 p 1 2 p 2 3 p 3 p

ρ ρ

ˆ

le loro stime ottenute dalla serie storica, ed

Dunque potremo sostituire ai valori j j

φ

ˆ

ottenere quindi le stime dei parametri del modello. Si noti inoltri che la soluzione è unica, dal

j p P

momento che la matrice del sistema altro non è che la matrice di Toeplitz di ordine , , la

( )

p

p

quale è definita positiva per ogni quando il processo è stazionario.

L’approccio di Yule-Walker per la stima dei parametri è applicabile anche ai processi a

media mobile, si ricava però un sistema non lineare di equazioni, che richiede una procedura di

θ =

ˆ

calcolo iterativa particolare. Risulta così più laborioso determinare le stime j q in

, 1, 2,...,

j

ρ =

ˆ j q

base a stime delle autocorrelazioni , 1, 2,..., determinate dall’evidenza campionaria (la

j

nostra serie storica).

Seguono alcuni esempi di processi autoregressivi del secondo ordine; le considerazioni sono

esattamente le stesse già presentate per quelli del primo ordine (stazionarietà, media nulla,

disturbo white noise gaussiano). Le quattro simulazioni sono state effettuate con alternanza di

φ φ

segni dei parametri , per rendere evidenti le differenti forme delle funzioni di

1 2

autocorrelazione. 34

Serie Storiche e Processi Stocastici

35


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flaviael

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Statistica economica sulle serie storiche e sui processi stocastici. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i processi stocastici, verifica di stazionarietà (debole) di un processo, la stima della funzione di autocorrelazione e il concetto di ergodicità.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flaviael di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Statistica economica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Buzzigoli Lucia.

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