Statistica economica - serie storiche

Stima della Funzione di Autocorrelazione e Concetto di Ergodicità

costituiscono una informazione( X , X ,..., X ) e non sulla generica X che definisce, al variare di t, ilcongiunta sulle v.c. N t1 2processo. La serie storica è quindi una successione ordinata di N campioni di dimensioneunitaria su N distinte v.c. le quali, generalmente, fra loro non sono indipendenti né somiglianti.La complicazione di stima dei parametri di un processo si presenta quindi già nello studio deiprimi momenti; si immagini cosa può succedere passando a intere funzioni dei parametri (qualiad esempio, appunto, l’autocorrelazione). Le procedure classiche di stima da un campione nonsono quindi generalmente utilizzabili, ma risulta d’altra parte intuitivo supporre che, una voltaverificata la stazionarietà del processo in esame, sia ragionevole aspettarsi che si possapervenire ad utili informazioni sui parametri delle v.c. componenti il processo tramite leinformazioni contenute nella serie storica, e questo in virtù della

“omogeneità temporale” che identifichiamo con la stazionarietà, che garantisce una certa qual “stabilità” nei legami temporali fra le variabili. L’esigenza di poter giungere a risultati utili disponendo di un insieme limitato di informazioni (la nostra serie storica) ha portato alla definizione dell’importantissimo concetto di ergodicità, termine originario delle scienze fisiche che nello studio dei processi stocastici assume il seguente significato:

Definizione: Un processo stocastico X è ergodico rispetto ad un parametro se la stima temporale del parametro, ottenuta da una serie storica, converge in media quadratica a quel parametro. Formalmente, dato X stimatore del vero parametro e funzione dei dati della serie storica, diremo che la condizione di ergodicità è verificata qualora:

ϕ ϕ− = 2ˆlim [ ( ) ] 0E X

T→∞TCos’è dunque l’ergodicità? Può essere intesa come una condizione che limita la memoria del processo: un processo non ergodico è tale da avere caratteristiche di persistenza così accentuate da far sì che un segmento del processo (nel nostro caso la serie storica) per quanto lungo, sia insufficiente a dire alcunché sulle sue caratteristiche distributive. In un processo ergodico, al contrario, la memoria del processo può essere intesa debole su lunghi orizzonti e all’aumentare dell’ampiezza del campione aumenta in modo significativo anche l’informazione in nostro possesso. La considerazione che possiamo fare è quella di reputare virtualmente indipendenti eventi distanti tra di loro sull’asse temporale in caso di ergodicità: sotto una simile ipotesi possiamo supporre possibile l’osservazione di una parte consistente delle traiettorie che il processo può generare.

Porsi correttamente il problema dell'inferenza statistica sulle serie storiche. L'ergodicità garantisce che dall'unica informazione disponibile, appunto le osservazioni che compongono la nostra serie storica, sarà possibile risalire a stime consistenti in senso statistico del processo stazionario. D'ora in avanti supporremo che i processi con cui lavoreremo siano stazionari ed ergodici fino almeno ai momenti del secondo ordine, di modo da dare un senso all'approccio inferenziale. ρ γ γ=Passiamo dunque alla stima vera e propria della funzione di autocorrelazione. Si tratta semplicemente di trovare uno stimatore soddisfacente per hρ μ=. Premettiamo che per stimare il valore medio del processo E(X) impiegheremo la media campionaria hN∑=x X N, il quale, come è noto, è non distorto, consistente ed asintoticamente normale. Si noti però che la

ripetersi esattamente dopo N= = =, ,..., ,... .temporali, cioè deve essere del tipo Z Z Z Z Z Z+ + +N 1 1 N 2 2 N i i elevato rispetto a vale

Per quanto riguarda gli altri due stimatori si osservi che per N kγ γ(3) (2)ˆ ˆ , dunque la differenza risulta evidente solo nei piccoli campioni. E’ stato dimostratoh h γ γ γ(2) (3)ˆ ˆinoltre che è stimatore corretto per ma , pur essendo distorto, garantisce un erroreh hhγ (2)ˆquadratico medio inferiore a quello di , risultando dunque più efficiente e, soprattutto,hˆverifica la condizione per la quale , ovvero la matrice di Toeplitz stimata, è definitaP( m ) ˆpositiva, proprio come ; questo non avviene necessariamente costruendo con loP P( m ) ( m )γ γ(2) (3)ˆ ˆ. Per questi motivi di norma la preferenza cade su e dunque si stima lastimatore h hfunzione di autocorrelazione nel modo seguente:− −N h N h∑

∑ − −Z Z ( X x )( X x )γ + +t t h t t h(3)ˆρ = = = == =h 1 1t tˆ , h 0,1,2,...γh N N(3)ˆ ∑ ∑ −2 20 Z X x( )t t= =t t1 1ρ ρ=ˆ ˆLo stimatore è simmetrico ( ) e pertanto la stima viene effettuata solo per positivo.h−h hIn pratica come si procede? Nota la serie storica ( , ,..., ) si costruisce la serie deglix x x1 2 N= − = − = −, , ..., (dove è la usuale media campionaria) quindi siscarti z x x z x x z x x x1 1 2 2 N Ncalcola −N h1 ∑γ = =ˆ , 0,1,2,...zz h+h t t hN =t 1 13Serie Storiche e Processi Stocasticifino ad un massimo che l’esperienza pone pari a o al suo intero successivo. Fattolag N 4ρ γ γ= =ˆ ˆ ˆ per e si riportano su di un graficoquesto si costruiscono i rapporti h 0,1,2,..., N 4h h 0, solitamente a barre verticali per ciascun per sottolineare che sidenominato correlogramma htratta di stime in punti

discreti; talvolta si uniscono i punti della funzione di autocorrelazione perevidenziarne l'andamento complessivo.

Esempio =x (8.5, 10.3, 9.6, 8.7, 11.2, 9.9, 7.9, 10, 9, 11.1, 10.4)

Sia la nostra serie storica il cuitgrafico è illustrato di qui di seguito = (tratteggiata nel grafico). La serie degli scarti èe la quale media campionaria vale x 9.79= - - - . Dal momento che( 1.35, 0.45, 0.25, 1.15, 1.35, 0.05, -1.95, 1.05, 1.25, 0.55)zt ρ =→ = ° h 0,1,2,3dunque avrà senso calcolare solo per . DunqueN=10 N 4 2.5 hN 101 1∑ ∑γ = = =2 2° z z0 i i10N = =i 1 t 1+ + + + +⎛ ⎞1.8225 0.2025 0.0625 1.3225 1.82251= =⎜ ⎟+ + + + + +⎝ ⎠0.0025 3.8025 1.1025 1.5625 0.3025101 ( )= =12.005 1.210 -N 1 91 1∑ ∑γ = = =ˆ z z z z+ +1 t t 1 t t 1N 10