Statistica economica - Appunti

DI UN PROCESSO STAZIONARIO

Nell'ipotesi in cui il processo stocastico {X} sia non autocorrelato, allora si ha che:

ρ_k* per N sufficientemente elevato, ha distribuzione asintotica Normale

ρ ∼ N(0,1/N), con media nulla e varianza 1/N

In questo caso ci si aspetta che, per N sufficientemente elevato, cada nell'intervallo [-N^1/2 - 1/2z, N^1/2z] con probabilità pari a 1-α.

Per questo nei correlogrammi campionari di un processo che si suppone non autocorrelato, le stime dei coefficienti di autocorrelazione sono accompagnate da intervalli di confidenza al livello del tipo [-N^-1/21.96, N^1.96].

Se il valore stimato del coefficiente cade all'esterno di tali bande, allora esso si può ritenere significativamente diverso da zero con probabilità pari a 0.95.

Per N non è sufficientemente elevato da garantire l'approssimazione asintotica di ρ_2k*, allora una...

La stima della varianza di è data da ¹/_N-kN. Se, al contrario, il processo si suppone autocorrelato, allora vale ρ_k l’approssimazione di Bartlett per la varianza di è:

Σ ρ_ρ ρ_ρ ρ_ρk j² j² k²V(ρ) = ¹/_N (ρ + - 4ρ + 2ρ), se il processo haj=-∞,…,∞ j+k j-k j j-k ∼ N(0,σ² distribuzione normale {X}); t t∈T

• ρ_ρk j²V(ρ) = ¹/_N [1+2Σ], se il processo è tale per cui =0, k>q. Inj=1,…,q kaltri termini: se la funzione di autocorrelazione globale si annulla dopo il ρritardo q, allora la varianza di può essere stimata attraverso lak∗ρ j² quantità ¹/_N [1+2Σ].j=1,…,q 29Nell’ipotesi di processo autocorrelato in cui la funzione di autocorrelazione φ_kk parziale si annulli dopo il ritardo p, ossia =0 per k>p, allora V(φ) = ¹/_N,kk per k>p.

INFERENZA SU UN INSIEME DI COEFFICIENTI DI

AUTOCORRELAZIONEGLOBALE

Al di là della significatività di ogni singolo coefficiente di correlazione, è importante sapere se un insieme di m coefficienti di autocorrelazione sono tutti congiuntamente non significativamente diversi da zero: è l'ipotesi di non autocorrelazione di un processo fino al ritardo m che viene saggiata attraverso il test portemanteau di Ljung-Box, la cui ipotesi nulla e statistica ρ ρ Σ test sono rispettivamente H : ρ =…= =0 e Q =N(N+2) (1/N-0 1 2 m m k=1,…,m*ρ ∼ χ2 2mk) .k

RAPPRESENTAZIONE NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE: ANALISI SPETTRALE

L'ipotesi di base nell'analisi spettrale di una serie storica è che ogni processo stazionario possa essere rappresentato da una combinazione lineare di funzioni periodiche. Dunque, anche la sua variabilità potrà essere valutata sulla base del contributo delle varie componenti alle singole frequenze.

[π,π] → Si

ricordi la funzione di densità spettrale di un processo stazionario f:[-ω⊆f(ω)[0,1], tale che ρf(ω) =1/(2π)[1+2Σ cos (ωk)].k=1,…,∞ kVale la relazione f(ω)=g(ω)/γ , dove0 30γg(ω)=1/(2π)[γ +2Σ cos (ωk)]0 k=1,…,∞ kè lo spettro del processo e consente di rappresentare un processo stazionario nel dominio delle frequenze, cioè, la variabilità del processo tra leω e ω+dωfrequenze e è espressa da g(ω), mentre nel dominio temporale laγvariabilità tra t e t+k è espressa da . Lo spettro è infatti la trasformata diFourier della funzione di autocovarianza del processo. Infatti, in generale, latrasformata di Fourier di una funzione a dominio discreto è data da-itωg(ω) =Σ f(t)et= -∞,…,∞ ωt ωt]=Σ f(t) [cos – i sent=

−∞,…,∞ ω ∈[-π,π]e nell’ipotesi in cui f(t) = f(-t) funzione pari eωt]= (½π) [f(0) + 2Σ f(t) cost=1,…,∞γ(k) γ γ(0)=γe nel caso di t=k, = con-k 0γg(ω) = (½π)[γ +2Σ cos (ωk)].0 k=1,…,∞ k∫Poiché g(ω)dω=γ , l’area sottostante lo spettro è pari alla varianza del[-π,π] 0processo. θaEsercizio: disegnare la funzione di densità spettrale del processo X = a -t t t-θ=0.7 θ=-0.7 φX φ=0.7 φ=-0.7.con e e quella del processo X = + a con e1 t t-1 tω∈[−π,π], ω/2π∈[−1/2,1/2].Si osservi che dato che allora Posto f=ω/2π, allorap=1/f è il periodo della serie in funzione della frequenza f espressa nell’unitàωdi tempo in cui sono espressi i dati, mentre è la frequenza angolare in⇒radianti.

Ad esempio, per dati mensili, p=12 f=1/p=1/12=0.08⇒ω=2π0.08=0.05.(fondamentale armonica stagionale per dati mensili) e 31

Segue che vicino all’origine ci sono le basse frequenze, associate alle componenti periodiche di lungo periodo (tendenza-ciclo, p>36 per dati mensili).

Al contrario, lontano dall’origine ci sono le alte frequenze, associate alle componenti periodiche di breve periodo (rumore, p< 0 per dati mensili). 32

PROCESSI MEDIA MOBILE DI ORDINE q

I processi media mobile di ordine q, o MA(q) dove MA p è acronimo di Moving Average, sono approssimazioni finite di processi lineari nella rappresentazione MA(∞).

Dunque, un processo stocastico {Z } è unt t∈T processo media mobile di ordine q se può essere espresso come una combinazione lineare finita, di q variabili aleatorie che costituiscono un processo white noise, e precisamente ∼wn(0,σ a2Z = a -θ a -θ a - … -θ a con {a } )t t 1 t-1 2 t-2 q

t-q t t∈To equivalentementeθ θ ∼wn(0,σ2 q. a2Z = (B)a con (B) = 1-θ B-θ B - … -θ B con {a } ).

t q t q 1 2 q t t∈TProprietà dei processi MA(q)Le proprietà dei processi MA(q) seguono dalle proprietà dei processi lineariψ = −θ ψ = θMA(∞) studiati nella Lezione 3, posto che per j=1,…,q, =1 perj j 0 0ψ =0 per j>q.j=0 e jIn particolare, i processi MA(q) sono sempre stazionari, invertibili se leθradici dell’equazione caratteristica (B) = 0 sono tutte in moduloqmaggiori di uno. Inoltre, la loro funzione di autocorrelazione globale siannulla dopo il ritardo q, mentre la funzione di autocorrelazione parzialenon si annulla mai, ma decresce rapidamente verso lo zero conandamento esponenziale o cosinusoidale smorzato che dipende daiθvalori dei parametri .j 33∼MA(q),Infatti se {Z } allora (si calcolino i seguenti momenti per esercizio)t t∈T• E[Z

= 0t Σ θ σ• 2j a2]=V[Zt j=0,…,q• Σ θ θ σ ∀ka2Cov[Z , Z ]= ,t t-k j=0,…,q j j+kossia {Z } è stazionario in senso debole (senza dover porre alcunat t∈T θcondizione sui coefficienti poiché sono in numero finito e pertanto lorosomme sono finite) e la funzione di autocorrelazione globale è• ρ γ γ Σ θ θ θ ∀k2j= / = /Σk k 0 j=0,…,q j j+k j=0,…,qγ ρSi osservi che = 0 se k>q e dunque anche = 0 se k>q. Al contrario, lak kfunzione di autocorrelazione parziale, che al variare di k si può calcolareφ φcome = det Q / det P , non si annulla mai, ma decrescekk kk= (k) (k)rapidamente verso lo zero con andamento esponenziale o cosinusoidaleθsmorzato che dipende dai valori dei parametri .jIl concetto di innovazioneSi supponga di avere osservato una serie storica generata da un

processostazionario in senso debole fino al tempo t-1 compreso, ossia {…, Z , Z , Z ,-1 0 1Z ,…, Z , Z } := H . In questo caso, la variabile Z può essere scomposta2 t-2 t-1 t-1 tnella somma di due componenti indipendenti (ortogonali):

1. la parte di Z che è nota, nel senso che può essere spiegata cometcombinazione lineare delle variabli della famiglia H et-1 342.
2. la parte di Z che è non nota, nel senso che, al tempo t, non può esseretspiegata sulla base del suo passato.

Allora α1. è la proiezione di Z nello spazio generato da Z ossia E[Z I H ] = Zt t t t-1 1 t-α α+ Z + Z +…2 t-2 3 t-3

12. è la componente residua E[Z I H ] - Z = a , che rappresenta tuttat t-1 t tl’informazione sconosciuta al tempo t e per questo è detta innovazione.t2

Il valore E [a ] rappresenta la distanza al quadrato tra Z e la sua proiezionet-1H .t-1Processi MA(1) θaEsercizio. Si consideri il processo MA(1) Z = a

- se ne ricavino media,t t t-1varianza e covarianza. Si mostri che è stazionario e si derivino le condizionidi invertibilità. Si ricavi la funzione di autocovarianza e di autocorrelazioneglobale e parziale e, di queste ultime due, si disegnino i grafici per valoriθ(opportuni) di positivi e negativi.Implicazioni della condizione di invertibilità di un processo MA(1)Come risulta dal precedente esercizio, un processo MA(1) è invertibile se e⎜θ ⎜<1. Questa condizione ha due importanti implicazioni:(i) unicità della funzione di autocorrelazione globale associata alρ θ θ2processo. Infatti è immediato verificare che ρ = -θ / (1+θ^2) assume1 35θ θ ⎜θ ⎜

- è invertibile, allora esiste il polinomio (1-θB) tale che (1-θB) Z = a e, come è stato osservato relativamente all’invertibilità dei polinomi nell’operatore ritardo, (1-θB) < θ