Statistica economica - Appunti

ANALISI DELLE SERIE STORICHE – Introduzione

Definizione intuitiva di serie storica: insieme di osservazioni relative ad un

dato fenomeno, ordinate nel tempo.

Esempi di serie storiche:

• temperatura corporea oraria di pazienti sottoposti ad un trattamento

medico;

• prezzi giornalieri di un titolo;

• importazioni totali mensili o trimestrali;

• movimenti migratori annuali.

Differenze tra serie storiche:

• natura del fenomeno (sociale, finanziaria, economica, demografica)

• frequenza di rilevazione (oraria, giornaliera,… annuale – non

necessariamente i dati devono essere equispaziati)

• numerosità campionaria (legata alla natura del fenomeno e alla

frequenza di rilevazione)

Caratteristica fondamentale comune alle serie storiche: relazione di

dipendenza tra le osservazioni, che sono ordinate nel tempo. L’ipotesi è che

le n osservazioni provengano da n diverse variabili aleatorie dipendenti

contrariamente alla statistica classica dove in genere si dispone di n

osservazioni indipendenti provenienti dalla stessa variabile aleatoria.

Campionamento casuale semplice: inferenza dal campione alla popolazione

Analisi delle serie storiche: inferenza dalla serie storica al processo

generatore. 1

Obiettivo dell’analisi delle serie storiche: studio della natura di tale

dipendenza, attraverso modelli atti a spiegare e prevedere la dinamica delle

serie storiche e attraverso la scomposizione di una serie nelle componenti

(non osservabili) che la costituiscono.

Modellistica: l’ipotesi alla base della modellistica è che la serie osservata sia

stata generata da un processo stocastico descritto da un modello

probabilistico parametrico .

t

Scomposizione: l’ipotesi alla base è che la serie osservata sia il risultato

dell’azione combinata di componenti non direttamente osservabili (variabili

latenti) che possono però essere definite, identificate e stimate sulla base di

ipotesi circa il loro comportamento nel tempo.

Esempi di grafici di serie storiche

Serie della produzione dei beni industriale di investimento (base 1990=100)

gennaio 1985 – ottobre 1995: dati mensili

140

120

100

80

60

40

20

0 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95

lug-85 lug-86 lug-87 lug-88 lug-89 lug-90 lug-91 lug-92 lug-93 lug-94 lug-95 2

La serie mostra un leggero trend crescente con una diminuzione nell’anno

1993. Evidente presenza di picchi di minimo nei mesi di agosto: presenza di

stagionalità.

Serie dei disoccupati in senso stretto (in migliaia), gennaio 1984 – dicembre

1995: dati trimestrali

1200

1000

800

600

400

200

0 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95

lug-84 lug-85 lug-86 lug-87 lug-88 lug-89 lug-90 lug-91 lug-92 lug-93 lug-94 lug-95

La serie non presenta una tendenza (crescente o decrescente) ma un “salto”

in corrispondenza di gennaio 1993. Si tratta di un cambiamento strutturale di

origine deterministica: in quell’anno, infatti, è stata modificato il modo di

misurare la disoccupazione in senso stretto. Se il cambiamento fosse stato di

natura stocastica e non avesse riguardato solo la disoccupazione (e

l’occupazione) ma l’intera economia, tutte le serie storiche economiche e

sociali mostrerebbero un “salto” in corrispondenza di gennaio 1993 o di

qualche periodo successivo. Si nota anche un picco stagionale di minimo nel

trimestre estivo dovuto all’occupazione stagionale. 3

Serie storica dei turisti in Emilia Romagna, gennaio 1985 – agosto 1995: dati

mensili

14000000

12000000

10000000

8000000

6000000

4000000

2000000

0 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994

JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN

JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL

Serie puramente stagionale caratterizzata da punte di massimo nei mesi di

agosto. E’ evidente la presenza di un dato anomalo, nell’agosto del 1989: in

quell’anno il mare Adriatico è stato colpito dal fenomeno delle mucillagini. 4

Serie storica delle importazioni dall’Irlanda, gen. 1984 – set. 1995 e previsioni

da modello ARIMA (0,1,1)(0,1,1) fino a dicembre 1996 (dati mensili)

12

450,00 x t

400,00 Serie osservata

350,00 Valori stimati e previsti

300,00

250,00

200,00

150,00

100,00

50,00 t

0,00 4 5

5 6 8 9 1 2 6

0

4 7 3 4

8 1

5 93

4 6 9 2 5

87 90 96

9

8 9 9

9

9

8 8 8 9

8 8 9 9

8 9

8

8 8 8 9 9

n-

n- n- n-

n-

n-

n- n- n- n-

n- n- n-

g-

g- g- g-

g- g- g- g- g-

g-

g- g- g-

ge

ge ge ge ge ge ge ge

ge ge ge ge

ge lu lu

lu lu lu lu lu

lu

lu lu lu lu lu

Serie caratterizzata da un trend ascendente e da una variabilità irregolare e

crescente. Sospetto valore anomalo in corrispondenza di dicembre1995. Un

modello lineare che tenesse conto della stagionalità è stato identificato e

adattato alla serie: dallo stesso è stato ottenuto un anno di previsioni.

Come accennato all’inizio, identificare un processo che si suppone abbia

generato la serie osservata è un modo per analizzare una serie storica.

Alternativamente, o meglio, in modo complementare, si può supporre che la

serie osservata sia il risultato dell’azione combinata di diverse componenti

che non sono direttamente osservabili, ma possono essere stimate sulla base

di ipotesi circa il loro comportamento nel tempo. 5

Serie storica delle donne canadesi disoccupate di età maggiore di 25 anni nel

periodo dal 1976 al 1997(dati mensili)

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

Serie caratterizzata da un trend ascendente, cambiamenti strutturali,

presenza di componente stagionale.

Trend-ciclo

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97 6

La tendenza è un movimento liscio che descrive i cambiamenti di lungo

periodo della serie.

Componente stagionale

120

110

100

90 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

La componente stagionale è caratterizzata da un andamento oscillatorio che

si ripete regolarmente ogni anno. In questa serie, la componente stagionale è

di tipo evolutivo, ossia il suo comportamento non è costante ma caratterizzato

da periodi di maggiore e minore ampiezza.

Una volta spiegato l’andamento della serie attraverso tendenza-ciclo e

stagionalità quel che resta è la cosiddetta componente irregolare ben

rappresentata da un processo puramente casuale. Trend-ciclo e componente

irregolare costituiscono la serie storica destagionalizzata. E’ importante

correggere la serie da fattori stagionali per effettuare previsioni. 7

Componente irregolare

120.00

110.00

100.00

90.00

80.00 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

Serie destagionalizzata

600

550

500

450

400

350

300

250

200

150

100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97 8

Un esempio di serie storica finanziaria

Serie storica dei prezzi dell'IndiceDAX

01/01/90-07/07/01 dati giornalieri

9000

8000

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0 01/01/90 16/04/90 30/07/90 12/11/90 25/02/91 10/06/91 23/09/91 06/01/92 20/04/92 03/08/92 16/11/92 01/03/93 14/06/93 27/09/93 10/01/94 25/04/94 08/08/94 21/11/94 06/03/95 19/06/95 02/10/95 15/01/96 29/04/96 12/08/96 25/11/96 10/03/97 23/06/97 06/10/97 19/01/98 04/05/98 17/08/98 30/11/98 15/03/99 28/06/99 11/10/99 24/01/00 09/05/00 22/08/00 05/12/00 20/03/01 03/07/01

Indice DAX: 10 anni di dati giornalieri

Serie storica dei prezzi dell'IndiceDAX

01/01/90-31/12/90 dati giornalieri

2400

2200

2000

1800

1600

1400

1200

1000 01/01/90 10/01/90 19/01/90 30/01/90 08/02/90 19/02/90 28/02/90 09/03/90 20/03/90 29/03/90 09/04/90 18/04/90 27/04/90 08/05/90 17/05/90 28/05/90 06/06/90 15/06/90 26/06/90 05/07/90 16/07/90 25/07/90 03/08/90 14/08/90 23/08/90 03/09/90 12/09/90 21/09/90 02/10/90 11/10/90 22/10/90 31/10/90 09/11/90 20/11/90 29/11/90 10/12/90 19/12/90 28/12/90

Indice DAX: 1 anno di dati giornalieri

L’analisi del grafico di una serie storica è fondamentale nell’analisi delle serie

storiche: è importante tuttavia essere consapevoli delle caratteristiche dei dati

che si stanno analizzando. 9

DEFINIZIONE FORMALE DI SERIE STORICA: sono necessari i concetti di

variabile aleatoria e processo stocastico.

Definizione di variabile aleatoria. Una variabile aleatoria (v.a.) è una

funzione misurabile a valori reali definita su uno spazio probabilistico ossia

→(R, ), ∈

-1

X: (Ω, F,P) B(R), P X (B) F per ogni B∈ B(R)

X

dove

Ω: spazio degli eventi

Ω

F sigma-algebra di

P probabilità definita su (Ω,F)

B(R) sigma-algebra di Borel definita sull’insieme dei numeri reali R

(R,

P probabilità indotta da X su B(R).

X

Definizione di processo stocastico. Un processo stocastico è una

successione di variabili aleatorie indicizzate da un parametro che nell’analisi

delle serie storiche è il tempo, t∈T, dove T è uno spazio parametrico discreto

o continuo. Il processo stocastico si indica come {X } .

t t∈T

ω

Casi particolari: come varia X (ω) al variare di e t

t

• ω ω∈Ω

t e variabili, {X (ω), } processo stocastico;

t t∈T

• ω ω=ω , {X (ω )} “traiettoria” del processo

t variabile e fissato 0 t 0 t∈T

stocastico;

• ω

t fissato e variabile t=t , {X (ω)} variabile aleatoria;

0 t0

• ω ω=ω

t e fissati, ossia t=t e , {X (ω )} numero reale;

0 0 t0 0

• ω ω ω

dati t , t ,…, t e fissati , ,…, , {x , x ,…, x }, serie storica.

1 2 N 1 2 N 1 2 N 10

Definizione di serie storica. Una serie storica è una realizzazione finita di

un processo stocastico. La serie storica si indica come {x } , dove N<∞.

t t=1,…,N

Le variabili aleatorie che costituiscono un processo stocastico sono diverse,

ossia caratterizzate da diverse distribuzioni di probabilità.

Legge di un processo stocastico.

La legge di un processo è data dalla famiglia di funzioni di ripartizione

∈R

n

{F (x)} , dove T={t=(t ,…, t ), t < t <…< t , n=1,2,…} e x =(x ,…, x ) ,

t t∈T 1 n 1 2 n 1 n

∩X ∩ ∩

ossia F (x) = P(X <x <x … X <x ).

t t1 1 t2 1 tn n

Teorema di Kolmogorov (1933) per la caratterizzazione univoca di un

processo sulla base delle sue funzioni di distribuzione marginali.

Le {F (x)} caratterizzano univocamente un processo stocastico {X } se e

t t∈T t t∈T

∀t∈T, ∀n=1,2,… ∀1≤i≤n,

solo se e lim F (x)= F (x(i)), dove t(i)e x(i) sono i

xi→∞ t t(i)

vettori n-1 dimensionali che si ottengono dai vettori t(i) e x(i) rispettivamente

eliminandone le componenti t e x .

i i

Ad esempio, per i=2 ed n=2 dovrà essere, lim F (x) =

x2→∞ t

∩X ∩X

P(X <x <x )=P(X <x <∞)= P(X <x ), ossia la distribuzione

t1 1 t2 2 t1 1 t2 t1 1

congiunta di X e X deve essere convergere alla distribuzione marginale di

t1 t2

X quando x tende all’infinito.

t1 2 11

MODELLISTICA

Impossibilità, a livello pratico, di caratterizzare un processo tramite le

condizioni di Kolmogorov (anche ammettendo che la distribuzione del

processo fosse nota, ci sarebbero infiniti parametri da stimare), quindi

necessità di

(a) sintetizzare le distribuzioni attraverso indicatori di posizione e

variabilità (in genere momenti di ordine 1 e 2) e

(b) restringere la classe dei processi entro cui identificare quello che ha

generato la serie (in genere vincoli di memoria ed eterogeneità).

Ciò avviene attraverso

(a) indicatori sintetici di posizione e di variabilità (momenti primo e

secondo) e

(b) vincoli di memoria sul grado di dipendenza tra le variabili al tempo t e t-

k; vincoli di eterogeneità affinchè il processo sia omogeneo, in termini

probabilisitici, nel tempo (proprietà dei processi stocastici).

MOMENTI DI UN PROCESSO STOCASTICO

Valore atteso o media di un processo stocastico

∫ μ

E[X ] = xdF (x) = , t∈T

t R Xt t

è una misura di posizione o della tendenza del processo al tempo t.

Varianza di un processo stocastico

σ

2 2t

V [X ] = E[X - E(X ) ] = , t∈T

t t t 12

è una misura di dispersione o variabilità del processo rispetto alla media al

tempo t.

Covarianza tra due variabili di un processo stocastico

γ ±1, ±2,…

Cov [X ,X ] = E{[X - E(X )] [X - E(X )] = (k), t∈T, k=0,

t t-k t t t-k t-k t

è una misura della dipendenza lineare tra due variabili distanti k ritardi al

tempo t.

PROPRIETA’ DI UN PROCESSO STOCASTICO

Stazionarietà in senso forte e in senso debole. Un processo è stazionario

in senso forte se la sua distribuzione è invariante rispetto a traslazioni

sull’asse temporale, mentre è stazionario in senso debole se i suoi momenti

centrati di ordine uno e due non dipendono dall’istante in cui sono rilevati.

Stazionarietà forte

Un processo stocastico {X } è stazionario in senso forte se F (x)= F (x)

t t∈T t+τ t

∀t∈T ∀τ=1,2,...,

e ossia se la sua legge è è invariante rispetto a traslazioni

nell’asse dei tempi.

Stazionarietà debole

Un processo stocastico {X } è stazionario in senso debole se

t t∈T

μ ∞ ∀

E[X ] = < t∈T

t σ ∞ ∀

2

V[X ] = < t∈T

t γ ∀ ±1, ±2,…

Cov[X , X ] = t∈T, k=0,

t t-k k 13

ossia se ha media e varianza finite e costanti e autocovarianza che non

dipende dal tempo t ma solo dal ritardo k.

La proprietà di stazionarietà è necessaria per potere effettuare inferenza sul

processo stocastico generatore sulla base di una realizzazione finita. La

proprietà assicura infatti che la struttura probabilistica del processo, pur non

restando invariata nel tempo, sia caratterizzata da una certa omogeneità. A

questa condizione, la stima dei momenti del processo sulla base del

campione risulta corretta indipendentemente dall’intervallo in cui viene

rilevato dal momento che intervalli della serie della stessa lunghezza hanno

le stesse caratteristiche probabilistiche.

Relazione tra stazionarietà forte e debole. La stazionarietà in senso forte

riguarda la struttura probabilistica del processo che deve rimanere invariata al

variare dell’insieme di variabili che viene considerato. La stazionarietà in

senso debole riguarda i momenti primo e secondo del processo che si

suppongono indipendententi dall’istante temporale in cui sono rilevati. La

stazionarietà forte implica la stazionarietà debole se e solo se i primi due

momenti del processo sono finiti (condizione non necessaria affinché un

processo sia stazionario in senso forte). La stazionarietà debole non implica

necessariamente quella forte (dal momento che l’uguaglianza dei momenti

non è informativa circa la forma distributiva delle variabili coinvolte).

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole: il

processo white noise. σ ∞ ∀

a2

Un processo stocastico {a } tale che E(a )=0, V(a )= < t∈T e

t t∈T t t

∀

,a )=0 k≠0 si dice processo white noise e si indica con

Cov(a t t-k

∼wn(0,σ a2

{a } ).

t t∈T 14

Esempio di processo stocastico stazionario in senso forte: il processo

i.i.d (indipendente e identicamente distribuito).

ε ε ε

Un processo stocastico { } tale che , ,… sono variabli aleatorie i.i.d. a

t t∈T 1 2

ε ε σ ∞ ∀

2

media nulla E( )=0 e varianza costante V( )= < t∈T è un processo

ε

t t

ε ∼i.i.d. 2

i.i.d. e si indica con { } (0,σ ).

ε

t t∈T

Essendo finiti i momenti di primo e secondo ordine, il processo è stazionario

anche in senso debole.

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole e in senso

forte: il processo gaussiano.

Un processo stocastico {X } è gaussiano se e solo se le distribuzioni di

t t∈T -1

tutte le {X } sono normali multivariate, ossia se f (x)=(2π)-(n/2)|Σ| exp[-

t t∈T t

Σ μ Σ

T -1

(1/2)(x-μ) (x-μ)]), dove è la media (vettore) e è la matrice di varianza e

covarianza del processo.

Invertibilità

Un processo stocastico {X } è invertibile se può essere espresso come

t t∈T

funzione dei suoi valori passati più una componente puramente casuale,

∼wn(0,σ a2

ossia X =f(X , X ,&