Statistica economica

Eventi elementari e composti

Elementari composti possono essere definiti oppure si indica con la lettera l'evento E_i. Se l'esperimento casuale si caratterizza per la presenza di eventi composti allora si Ω indica con gli eventi elementari, dove ogni Ω è costituito da uno o più eventi composti.

Inoltre, l'insieme degli eventi elementari appartiene allo spazio campione. Se la prova genera Ω = E_i ogni (per e si utilizzerà la sola notazione).

Probabilità è uno strumento compreso tra 0 e 1 che misura il grado d'incertezza sul verificarsi di un evento.

Figura: spazio campione con eventi compositi e con eventi elementari.

Esempio 1: Si consideri la prova che consistente nel lancio di un dado non truccato. Siano E₁, E₂, ..., l'evento "esce la faccia con punto", l'evento "esce la faccia con punti", ..., l'evento

“esce2 66la faccia con punti”. Lo spazio Campione è dato dall’insieme dei possibili risultati della provaΩ = {E , E , . . . , E } E , E , . . . , E, i punti campione sono gli elementi .1 2 6 1 2 6Uno spazio campione si dice:

• Discreto (da un’infinità numerabile) se è costituito da un numero finito (o di punti campione, un esempio di spazio discreto è fornito dal duplice bacio di un dado non truccato, i cui puntiΩ = {(E , E ), (E , E ), (E , E ), . . . , (E , E )}Campione sono ;1 1 1 2 1 3 1 6
• Continuo se è costituito da un’infinità non numerabile di punti campione, un esempio di spazio continuo è fornito dalle diverse misurazioni delle altezze Diu individuo, o della temperatura di un ambiente.

Dato i concetti primitivi è necessario verificare che tipo di operazione è possibile effettuare sugli eventi. L’algebra degli eventi studia, tramite l’utilizzo di simboli e

di operazioni, le relazioni tra lieventi e le loro proprietà e presenta uno stretto parallelismo con l’algebra di Boole. l’algebra diBoole è una struttura matematica sui cui elementi sono definite tutte le operazioni e le regolenecessarie per un’algebra degli eventi. In tale struttura matematica sono definite tre operazioniunione, negazione, intersezione.fondamentali: E E = Ω ESe per l’evento vale la relazione di uguaglianza , allora l’evento necessariamente siØL’insieme vuotoverifica. è l’insieme senza alcun evento ed è dotato con il simbolo , per cui sePagina 32 di 68E = Ø E E l’evento impossibilevale la relazione , allora l’evento non si verifica, ed è nel senso chenon può mai verificarsi come risultato di quella prova. di Venn”.Le operazioni tra insiemi sono illustrate dai “DiagrammiUnione (somma logica)E E E E ∪ EEunioneSiano e due eventi, si dice di

e , e si denota con il simbolo: .

11 2 2 1 2E E EL'evento che si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi o . In altre parole se3 1 2E , E E Esi verifica o se si verificano e contemporaneamente.

1 2 1 22Figura : Diagramma di Venn con tre possibili risultati dell'unione tra due eventi.

L'operazione di unione di eventi si può estendere anche ad un numero finito o numerabile diE , E , . . . , Eeventi. Pertanto, siano una collezione di eventi, si ha che:1 2 nn⋃E ∪ E ∪ . . . ∪ E = E .1 2 n ii=1 E , E , . . . , E EÈ l'evento unione degli eventi e si verifica se si verifica almeno uno degli eventi1 2 n ii = 1,2,...,n .

Negazione E Ecomplemento negazioneL'insieme degli elementi non inclusi in è denominato o di e si indicaE Ω − E Econ il simbolo , oppure con . La negazione dell'evento riguarda tutti gli eventi di unaEprova escluso l'evento . Pagina 33 di 683Figura : Diagramma di Venn con due

definizione

La probabilità Von Misses frequentistica, dovuta a (1934), secondo la quale è pari al limite a cui E(n) tende il rapporto numerico di volte che si presenta un evento ed il numero di prove indipendenti effettuate:

EP(E) = lim n→∞ (n / E)

Kolmogorov

Una terza definizione di probabilità (assiomatica) è dovuta a (1933) ed è basata sulla teoria delle funzioni matematiche e degli insiemi, in particolare si basa su un insieme di assiomi.

Ei = 1,2,...,n Ω

Siano con l'insieme degli eventi che appartengono allo spazio campione, e che

P(Ei) = i -esimo Esua la probabilità che si verifichi l'evento. Ad ogni evento dello spazio campione è associato un numero reale che soddisfa i seguenti postulati:

1 - Postulato: la probabilità di un evento è una funzione che assegna ad ogni evento un numero reale non negativo:

P(Ei) ≥ 0, ∀E ⊂ Ω

1 - Postulato: la probabilità di un evento è una funzione che assegna ad ogni evento un numero reale non negativo:

P(Ω) = 1

• Postulato anche evento certo: lo spazio campione (detto ha probabilità :3
• Postulato la probabilità dell'unione di una infinità numerabile di eventi incompatibili ∞ (∪ ∑E ∪ E = Ø, ∀i ≠ j P(E) è uguale alla somma delle singole probabilità: i j i ii=1i=1
• Pagina 35 di 68
• Teoremi:
• Sulla base dei postulati esposti si possono dimostrare i seguenti
• P(E ∩ E) = P(E) - P(E ∩ E) Teorema : 2 1 2 1
• P(E) = 1 - P(E) Teorema : 1
• P(Ø) = 0 Teorema :4
• E ⊆ E → P(E) ≤ P(E) Teorema : 1 2 1 2
• 0 ≤ P(E) ≤ 1 Teorema :6
• P(E ∪ E) = P(E) + P(E) - P(E ∩ E) Teorema : 1 2 1 2 1
• Teorema :P(E ∪ E ∪ E) = P(E) + P(E) + P(E) - P(E ∩ E) - P(E ∩ E) - P(E ∩ E) + P(E ∩ E ∩ E)1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3
• Teorema anche come principio di inclusione-esclusione):(noto n n n n+1∑ ∑ ∑P(E ∪ E

1. Supposto ¹2 P(E) ²EDa quest’ultima reazione si deduce che la probabilità che si verifichino contemporaneamente E₁ e E₂  P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁ /E₂)P(E₂) P(E₁) > 0è con ²1 P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁)P(E₂)In quest’ultimo caso si ha: ¹2 P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁)P(E₂)
2. Pagina 36 di 68
3. Teorema delle probabilità reali
4. Dal concetto di probabilità condizionata è possibile derivare il teorema delle probabilità totali.
5. E₁, E₂, . . . , Ω
6. Siano eventi mutuamente incompatibili che costituiscono una partizione di Ω, per ogni evento E_i si ha: P(E_i) = P(E_i/E_i)P(E_i)                                                                                                     &

   costituiscono una partizione di ,1 2 mH ⊂ Ω E Hper ogni evento si ha la probabilità di dato è:iP(E )P(H /E )i iP(E /H ) =i m∑ P(E )P(H /E )i ii=1Nella formula del teorema di Bayes intervengono: E HP(E /H