Statistica economica

STATISTICA ECONOMICA

−

Argomento 1 NUMERI INDICI ELEMENTARI, INDICI COMPLESSI

Quando uno stesso fenomeno quantitativo si manifesta in circostanze diverse di tempo o di

spazio uno strumento fondamentale per valutare la diversità temporale o spaziale delle intensità è

indice”.

il “numero L’uso più frequente è relativo ai dati temporali.

x , x . . . , x

Si supponga che l’intensità tutte positive, costituiscano una serie storica in relazione

0 1 n

0,1...,n x /x i

ai tempi . Il rapporto statistico tra l’intensità corrispondente al tempo e quella

i j

j

corrispondente al tempo è un numero puro che

1 x = x

È uguale a se è . In questo caso si dirà che il fenomeno si è mantenuto uguale nei due

• i j

tempi 1 x > x i

È maggiore di se . In questo caso si dirà che al tempo si è registrato rispetto al tempo

• i j

j (x /x − 1) ⋅ 100 %

una variazione positiva cioè un incremento dello i j

1 x < x i j

È minore di se . In questo caso si dirà che al tempo si è registrato rispetto al tempo

• i j (1 − x /x ) ⋅ 100 %

una variazione negativa dello cioè una diminuzione dello i j

y , y , . . . , y Y

serie storica

Si definisce una sequenza di osservazioni di un fenomeno osservato

1 t T

T

in tempi. La variazione da un periodo all’altro può essere misurata rapportando il valore della

t + 1 y /y 100

serie a un certo periodo , ossia . Tale rapporto moltiplicato per viene chiamato

t+1 t

tasso di variazione percentuale.

x

Alla serie storica originaria delle si può sostituire una serie storica di rapporti del tipo indicato, in

i

100

genere moltiplicati per , i quali prendono il nome di numeri (rapporti) indici.

In una serie di numeri indici i denominatori dei rapporti possono essere tutti uguali all’intensità

genere quello iniziale della serie storica o scelto in modo tale che

osservata in un certo tempo (in

non rappresenti un valore anomalo) che viene detto tempo base.

I valori ottenuti in questo caso vengono detti numeri indici a base fissa ed esprimono le variazioni

relative o percentuali dell’intensità rilevata in un tempo qualsiasi rispetto alla situazione utilizzata

quella del tempo base).

come termine di riferimento (cioè 1 = x /x 100

In corrispondenza del tempo base il valore del numero indice è ovviamente o .

0 0

Esempio dimostrativo

ANNI PIL NUMERI INDICI A BASE FISSA (ANNO 2001)

2001 1.248.648 1

2002 1.295.226 1.037

2003 1.335.354 1.069

2004 1.338.870 1.112

2005 1.417.241 1.135

I denominati dei rapporti possono essere anche diversi e in genere il rapporto così istituito è tra

l’intensità in un tempo e l’intensità in un tempo immediatamente precedente: in questo caso i

base mobile

numeri indici si dicono di e attraverso essi si può valutare la variazione intercorsa

passando da un tempo a quello successivo. Pagina 1 di 68

Se si vuole cambiare la base di una serie storica di numeri indici a base fissa, perché si ritiene

j 0

opportuno assumere come riferimento la situazione al tempo anziché al tempo , è sufficiente

x /x

moltiplicare i numeri indici a base fissa della serie a disposizione per .

o j

Si consideri la seguente situazione:

TEMPO INTENSITA’

x

0 0

x

1 1

x

2 2

x

3 3

x

4 4

0 2

Di seguito sono riportate le serie dei numeri indici con base fissa al tempo e al tempo .

TEMPI NUMERI INDICI A BASE FISSA (TEMPO 0) NUMERI INDICE A BASE FISSA (TEMPO 2)

x x x x

0 0 0 0

0 =1 =

x x x x

0 0 2 2

x x

x x

1 0

1 1 1

=

x x x x

0 0 2 2

x x

x x

2 0

2 2

2 = =1

x x x x

0 0 2 2

x x x x

3 3 0 3

3 =

x x x x

0 0 2 2

x x

x x

4 0

4 4

4 =

x x x x

0 0 2 2

Esempio riprendiamo i dati relativi al PIL a prezzi correnti. La serie di numeri idici a base fissa

(anno 2003) è riportata nella seguente tabella.

ANNI PIL NUMERI INDICE A BASE FISSA (ANNO 2003)

2001 1.248.648 0,935

2002 1.295.226 0,970

2003 1.335.354 1.000

2004 1.338.870 1.040

2005 1.417.241 1.061

Ricordiamo che i numeri indici per il 2005 e per il 2003 con base fisa il 2001 erano rispettivamente

1.135 1.069

e si può verificare che il rapporto di questi due numeri fornisce il numero indice per il

1.135 : 1.069 = 1.061

2005 con base il 2003. Infatti Pagina 2 di 68

Per trasformare i numeri indice a base fissa in numeri indici a base mobile è sufficiente dividere il

numero indice a base fissa per quello del tempo precedente:

x + 1 x + 1 x

j j j

= =

x x x

j 0 0

Di seguito sarà riportata la serie dei numeri indici con base mobile per le 5 intensità dell’esempio

precedente. Per passare dai numeri indice a base mobile a quelli a base fissa occorre moltiplicare

tra loro tutti i consecutivi indice a base mobile a partire da quello corrispondente al tempo che si

vuole assumere come base fino a quello corrispondente al tempo per il quale si vuole calcole

j

l’indice a base fissa, ad esempio il tempo .

x x − 1 x

x

x x

j j j

3

1 2

= ⋅ ⋅ .... ⋅

x x x x x − 2 x − 1

0 0 1 2 j j

TEMPI NUMERI INDICE A BASE MOBILE NUMERI INDICE A BASE FISSA (TEMPO 0)

0 x x

1 1

1 x x

0 0

x x x x

2 2 1 2

2 ⋅ =

x x x x

1 1 0 0

x x x

x x

3 3 3

2 1

3 ⋅ ⋅ =

x x x x x

2 2 1 0 0

x x

x x x x

4 3

4 2 1 4

4 ⋅ ⋅ ⋅ =

x x x x x x

3 3 2 1 0 0

Fine esempio dimostrativo

INDICI SEMPLICI base fissa base

Le serie dei numeri indici possono essere costruite in due modi diversi: a o a

base fissa

mobile. Una serie di numeri a esprime l’intensità o la frequenza di un fenomeno in ogni

periodo di tempo come una quota dell’intensità o frequenza in un periodo di riferimento chiamato

t s I = y /y

base. Quindi ogni numero indice al tempo con base si ottiene dall’espressione .

t+1 t s

100

L’indice viene in genere moltiplicato per , ottenendo quindi degli indici percentuali. Il periodo

di tempo preso come base di riferimento della serie dei numeri indici, deve, quanto più possibile,

rappresentare una situazione di normalità caratterizzata dall’assenza di eventi esterni che

possano aver influito in modo rilevante e anomalo sull’andamento del fenomeno. Inoltre, è

conveniente scegliere come base uno tra i periodi centrali della serie in maniera che sia

rappresentativo sia per le prime sia per le ultime occasioni della serie. Per questo motivo, passato

un certo periodo di anni, è necessario calcolare la serie dei numeri indici rispetto rispetto a una

base più aggiornata. Il cambiamento di base si rende necessario anche quando si vogliono

confrontare due serie con basi diverse.

base mobile

Ua serie di numeri indice a esprime un’intensità o frequenza di un fenomeno in ogni

periodo di tempo come rapporto con l’intensità o frequenza di tempo immediatamente

precedente. Anche in questo caso, nel contesto dei fenomeni economici, è in genere rilevante

l’analisi delle variazioni dei prezzi unitari dei bei e servizi. L’andamento delle variazioni dei prezzi

serie percentuale dei numeri indici dei prezzi

lungo il periodo può essere descritta attraverso la

a base mobile.

Il cambiamento di base e le relazioni che intercorrono tra una serie a base fissa e una a base

mobile sono date dalle proprietà riportate di seguito. Pagina 3 di 68

Proprietà 1: passaggio da una base fissa a un’altra base fissa.

Per passare da una serie percentuale a di numeri indici a base fissa a una serie percentuale con

però a un periodo di tempo contenuto anche dalla precedente serie)

una nuova base fissa (riferito

è sufficiente dividere ogni numero indice per il numero indice del periodo preso come nuova base

100

e moltiplicare per .

Proprietà 2: passaggio da una base fissa a una base mobile.

Dividendo ogni numero indice della serie a base fissa per quello precedente e moltiplicandolo per

100 si ottiene la corrispondente percentuale dei numeri indici a base mobile.

Proprietà 3: passaggio da una base mobile a una base fissa.

1 t

1. Si pone uguale ad il numero indice della serie a base mobile relativo al periodo certo come

base; k t (k < t)

2. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo precedente a si ottiene

k + 1 t

calcolando l’inverso del redotto dei numeri indice a base mobile dal tempo fino a

incluso; h t (t < h)

3. Il numero indice a base fissa corrispondente a un periodo successivo a si ottiene

moltiplicando il corrispondente numero indice a base mobile per tutti quelli che lo precedono

t + 1 100

fino al periodo incluso. Moltiplicando per ogni numero indice si ottiene la serie

percentuale dei numeri indici a base fissa;

INDICI COMPLESSI

In molti casi il fenomeno di cui si vuole osservare l’andamento nel tempo è troppo complesso

perché possa stare l’analisi di una sola variabile. Quando si considera una serie storica relativa al

sintesi dell’andamento dei

prezzo per una per una classe di beni è necessario determinare una

prezzi dei singoli beni che costituiscono tale classe. In tutti questi casi si devono utilizzare numeri

indici complessi che sintetizzano in un unico indice le variazioni subite dai diversi fenomeni. Per

costruire tali indici si possono utilizzare due differenti metodi: si calcola il numero indice delle

somme ponderate delle intensità o frequenze dei singoli fenomeni oppure si calcola una media

ponderata dei numeri indici semplici dei singoli fenomeni.

Gli aspetti problematici sono:

• La scelta degli elementi utili a rappresentare l’aggregato di sintesi al quale si intenda riferirsi

(l’insieme dei prezzi, l’insieme di beni prodotti, l’insieme delle retribuzioni dei lavoratori)

• La scelta della funzione aggregatrice da utilizzare per sintetizzare le diverse serie di numeri

indici di una serie unica

• La scelta dei coefficienti di importanza da associare nel procedimento di aggregazione a

ciascun indice elementare, cioè alle singole serie.

N.B. Gli ultimi due aspetti sono di natura prettamente metodologica e verranno affrontati nella

nostra analisi. n p (i = 1,...n)

Si supponga che al tempo di riferimento zero, si abbiamo le serie di prezzi e delle

0i

q (i = 1,...n) n servizi).

corrispondenti quantità riferite ambedue, quindi, a beni (o Si supponga di

0i

p q 1

disporre anche dei prezzi e delle quantità al tempo e di voler calcolare l’indice sintetico.

i1 i1 Pagina 4 di 68

Con i dati a disposizione si possono calcolare:

n

• indici elementari dei prezzi, uno per ciascun bene e cioè:

p p

p 1i 1n

11 , . . . , . . .

p p p

01 0i 0n

n

• idici elementari delle quantità, uno per ciascun bene e cioè:

q q

q 1i 1n

11 , . . . , . . .

q q q

01 0i 0n

n

• indici elementari dei valori, uno per ciascun bene e cioè:

p q p q

p q 1i 1i 1n 1n

11 11 , . . . , . . .

p q p q p q

01 01 0i 0i 0n 0n

Per ottenere il numero indice sintetico del valore è sufficiente somare i valori dei singoli beni al

1 0

tempo e al tempo e rapportare i due risultati. Pertanto, il numero indice sintetico del valore è

1

dato dal rapporto tra la soma dei prodotti e dei prezzi per le rispettive quantità al tempo e la

0

stessa somma effettuata al tempo , ovvero:

n

∑ p q

1i 1i

i=1

n

∑ p q

oi 0i

i=1

I problemi sorgono quando si vuole costruire un indice sintetico dei prezzi o delle quantità.

Soluzioni possibili sono rispettivamente le seguenti: p /q

• Ottenere l’indice dei prezzi come media ponderata degli indici elementari 1i 0i

q /q

• Ottenere l’indice delle quantità come media ponderata degli indici elementari 1i 0i

La media generalmente usata per aggregare gli indici elementari è quella aritmetica. In genere

servizi).

vengono utilizzati come pesi i valori che forniscono l’importanza relativa dei diversi beni (o

Esistono le seguenti quattro possibilità: p q p q

Per gli indici sintetici dei prezzi vengono utilizzati i pesi e . Per gli indici sintetici delle

0i 0i 0i 1i

p q p q

quantità vengono utilizzati i pesi e .

0i 0i 1i 0i Pagina 5 di 68

INDICI DI LASPEYRES

Il primo coefficiente di importanza che si può attribuire all’indice elementare dei prezzi o delle

i − esim o p /q

quantità del bene è che è il valore della produzione, della vendita, della spesa,

0i 0i

0 di Laspeyres.

dell’importazione etc, al tempo . Tale sistema di pesi porta a definire l’indice

L’indice di Laspeyres dei prezzi assume la forma:

p

k 1i

∑ p q n

0i 0i ∑ p q

i=1 p 1i 0i

0i i=1

=

n n

∑ ∑

p q p q

0i 0i 0i 0i

i=1 i=1

Quindi il risultato è il rapporto tra due valori, quello al denominatore è effettivo e si tratta del valore

0

complessivo (per i beni considerati) delle vendite, della spesa, etc, al tempo ; quello al

1 0

numeratore è ipotetico perché i prezzi sono riferiti al tempo e la quantità al tempo .

1

Rappresenta quindi quanto si sarebbe speso al tempo per acquistare la stessa quantità al

0

tempo .

L’indice di Laspeyres delle quantità assume la forma:

q

n 1i

∑ p q n

0i 0i ∑ p q

i=1 q 0i 0i

0i i=1

=

n n

∑ ∑

p q p q

0i 0i 0i 0i

i=1 i=1

E la su interpretazione è analoga a quella dell’indice dei prezzi.

INDICI DI PAASCHE

Il secondo sistema di pesi che si può utilizzare per sintetizzare gli indici elementari dei prezzi dei

i − esim o

beni considerati assume, per il bene , il valore non osservato

p q

0i 1i

Mentre per gli indici elementari delle quantità, il valore pure non osservato

p q

1i 0i 1

Tali pesi sono valori virtuali l’uno della produzione, spesa, etc. Al tempo valutato ai prezzi del

0 0 1

tempo , l’altro della produzione, spesa, etc. Al tempo valutato ai prezzi del tempo .

La media aritmetica degli indici elementari così ponderati da luogo all’indice di Pasce dei prezzi

p

n 1i

∑ p q n

0i 1i ∑ p q

i=1 p 1i 1i

0i i=1

=

n n

∑ ∑

p q p q

0i 1i 0i 1i

i=1 i=1

E delle quantità

q

n 1i

∑ p q n

1i 0i ∑ p q

i=1 q 1i 1i

0i i=1

=

n n

∑ ∑

p q p q

1i 0i 1i 0i

i=1 i=1 Pagina 6 di 68

Esempio dimostrativo 6

Un portafoglio è composto da azioni delle seguenti società informatiche: Apple, IBM, Oracle,

6

Microsoft, Novell, Sun. Nel corso di mesi la composizione del portafoglio e i prezzi delle azioni

hanno subito delle modifiche. Nella seguente tabella sono riportate le quotazioni delle azioni al

tempo iniziale del periodo di riferimento e al tempo finale.

TITOLO PREZZO AL TEMPO ZERO PREZZO AL TEMPO 1

Apple 27,58 21,54

IBM 122,84 114,37

Novell 17,69 16,38

Sun 10,07 6,72

Oracle 17,97 16,73

Microsoft 62,44 54,01

La seguente tabella riporta invece la composizione del portafoglio al tempo iniziale e al tempo

finale del periodo di riferimento.

TITOLO N.RO AZIONI AL TEMPO 0 N.RO AZIONI AL TEMPO 1

Apple 250 130

IBM 150 130

Novell 100 130

Sun 50 50

Oracle 200 250

Microsoft 120 180

Pagina 7 di 68

Ricordiamo che l’indice di Laspeyres dei prezzi assume la forma

p

k 1i

∑ p q n

0i 0i ∑ p q

i=1 p 1i 0i

0i i=1

=

n n

∑ ∑

p q p q

0i 0i 0i 0i

i=1 i=1 0

Il numeratore è quindi il valore virtuale del portafoglio con la composizione del tempo e i prezzi

1

del tempo , ovvero

6

∑ p q = 250 ⋅ 21,54 + 150 ⋅ 114,37 + 100 ⋅ 16,38 + 50 ⋅ 6,72 + 200 ⋅ 16,37 + 120 ⋅ 54,01 = 34.341,7

1i 0i

i=1 0

Il denominatore invece è invece il valore del portafoglio al tempo , ovvero

6

∑ p q = 250 ⋅ 27,584 + 150 ⋅ 122,84 + 100 ⋅ 17,69 + 50 ⋅ 10,07 + 200 ⋅ 17,97 + 120 ⋅ 62,44 = 38.680,3

1i 0i

i=1

Di conseguenza il valore di Laspeyres è

34.341,7 ⋅ 100 = 88,78

38.680,3

Fine esempio dimostrativo

RAPPORTI STATISTICI

rapporto statistico

In un si mettono a confronto due termini, frequenze o quantità, di cui almeno

riferito a un fenomeno collettivo)

uno è di natura statistica (ossia e tale che tra i due termini

sussiste qualche legame logico. I rapporti così costruiti permettono di confrontare l’intensità di un

fenomeno su collettivi, tempi o luoghi diversi e sono largamente impiegati nella descrizione di

fenomeni di tipo socio-economico.

RAPPORTI DI COMPOSIZIONE

rapporto di composizione,

Nel il dato al numeratore è parte del dato al denominatore, esso

0 1 Tra i rapporti di composizione vi sono le frequenze relative ottenibili da una

pertanto varia tra e .

distribuzione di frequenza.

RAPPORTI DI COESISTENZA

rapporti di coesistenza

Tra i si confrontano le quantità o frequenze tra due modalità di uno

stesso fenomeno o tra due fenomeni antitetici che coesistono.

RAPPORTI DI DERIVAZIONE

rapporto di derivazione

Nel il dato al denominatore costituisce il presupposto fenomenico al

dato posto al numeratore. L’indice è sempre non negativo.

RAPPORTI DI DENSITA’

rapporto