Statistica economica - Appunti

Previsione di Y dato X

C t C X X C 2ˆ ˆ         C t C C t 33 2 2APPLICAZIONE    Y X u1 2Voglio prevedere Y dato X= X . Per calcolare0l’intervallo devo determinare n X  X X  2 X X   C 1 X 0 2 2  X 2 X X u X1  0 0  C X X C  2 2 u X XInfatti . 2  X X 1 1    1 X     0 2  X n X2 n X X    0 1 1  2       X X X , X n X    0 02 X2 n X X  0   2 2    X X X X n X X0 0 0  2 342 n X X  22 2  X 2 X X nX 1 X X0 0 0   2 22 n X n X XL’intervallo fiduciario sarà1 2     C t C X X C 2  21 X X ˆ ˆ 2 0      X t 1 2 0 2 2n

X35A parità di dati osservati l'intervallo sarà tanto più largo quanto più X è distante da 0 367.

CENNI SULLE VARIABILI DUMMY (Variabili di comodo)

Fino ad ora abbiamo assunto che nella equazione generale Y = Xβ + u le variabili X siano variabili cardinali date dalla teoria economica.

È possibile introdurre variabili cosiddette "di comodo" che riescano a rappresentare diversi fattori:

• EFFETTI TEMPORALI
• EFFETTI SPAZIALI
• VARIABILI QUALITATIVE

È possibile che un modello economico possa subire mutamenti strutturali:

FUNZIONE DI CONSUMO:

C = α + β + C Y u Tempo di guerra

C = α + β + C Y u Tempo di pace

Si ipotizza comunque che la propensione ∂C/∂Y marginale al consumo rimanga invariata in entrambi i periodi.

Invece di considerare i due modelli separatamente (stime meno precise) vengono uniti in una sola relazione:

Y = α + α + β + C X X Y u1 1 2 2

Dove X e X sono variabili dummy:

2 1 anni di guerra

1 0 anni di pace

0 anni di guerra

2 1 anni di pace

α^αβ = α²β

La matrice dei coefficienti sarà β

e la matrice dei dati

0 1 Y

1 0 1 Y2

...

Y3

0 1 .

1 0 .

( ) = X X X Y

1 0 .

0 1 .

...

390 1 Y

n

La trappola delle variabili di comodo

Quando utilizziamo le variabili dummy è necessario fare attenzione a come viene costruito il modello, per non rendere la matrice (X’X) singolare.

Infatti se nel modello precedente lasciavamo una intercetta:

= α + α + α + β + C X X Y u

0 1 1 2 2

intercetta :

1 0 1 Y

1 0 1 Y2

...

1 0 1 .

1 1 0 .

= X 1 1 0 .

1 1 0 .

1 0 1 .

...

1 0 1 Y

n

× - × - × + × = 1 X 1 X 1 X 0 Y 0

( ) ( ) = ≠ rank X rank X X 3 k

Abbiamo che le 4 colonne di X sono

linearmente 40 dipendenti

Volendo utilizzare una regressione con intercetta si utilizzerà così solo una dummy:

Y = γ + γβ + CX + u

1) 20 anni di guerra:

Y = Xγ1 + β + u1

2) 1 anni di pace:

Y = Xγ2 + β + u2

β = PMC in entrambi i periodi

α = γ1 + β = intercetta anni di guerra

α = γ2 + β = intercetta anni di pace

α - α = γ1 - γ2 = differenza tra l'intercetta del periodo guerra e pace

Cambiamento di coefficiente angolare:

Y = α + β + β - β + CX + u

1) Y = Xα + β + 0 anni di guerra + CX + u

2) Y = Xα + β + 1 anni di pace + CX + u

β - β = differenza propensione marginale al cambio

APPLICAZIONE (p.255 Maddala)

Y = β + β + β + β + β + Y + u

SVA

1) Y = 7.952 + 0.693 SVA

2) Y = 1.753 + 0.0612 SVA

R^2 = 0.74

SG = β + β + β + β + β + Y + W + SVA + u

1) G = D

1 diesel S Gˆ = - - + +Y 22.008 0. 002 W 2 .760 3 .28 0.415 SVAA D( )5.349 ( ) ( )0 .001 0 .097( ) ( )0.708 1. 4132 =R 0 .82 428.

SPECIFICAZIONE DEL MODELLO

In ogni studio econometrico, la scelta del modello è la prima fase del lavoro. Gli aspetti fondamentali sono:

a) La scelta della forma funzionale

b) La scelta dei regressori

c) La verifica sulle assunzioni del modello.

43a. La scelta della forma funzionale

Abbiamo parlato di modelli di regressione lineari, intendendo lineari nei parametri, ovvero anche di quei modelli che possono essere resi lineari tramite una opportuna trasformazione delle variabili. Ad esempio si consideri la funzione di produzione Cobb- Douglas (Y produzione, L lavoro, K capitale: Y=αL^βK^γ. Potrebbe sembrare non lineare, tuttavia dopo aver applicato la trasformazione logaritmica otteniamo: βln(L)+ γln(K)Ln(Y)=ln(α)+.

Il modello così trasformato è lineare nei parametri e può essere facilmente trattato ed interpretato.

Esistono forme di modelli che risultano lineari nei parametri, ma sui quali fare attenzione soprattutto in fase di interpretazione.

Modelli polinomiali: consideriamo un esempio. In microeconomia si studiano funzioni di produzione, se consideriamo la relazione tra prodotto medio ottenuto da aziende produttrici di materiale elettrico (AP: average product) e l'input (I) necessario alla produzione. AP è evidente che la relazione non è costante e quindi non può essere rappresentata da un modello "lineare nelle variabili". La relazione può essere espressa da un polinomio: 2αβγ = αI^2 + βI + γ.

Questa forma funzionale ha una forma non lineare ma risulta ancora un modello di regressione lineare essendo lineare nei parametri. Tali parametri si stimano con OLS e gli stimatori hanno tutte le "buone" proprietà; ma attenzione all'interpretazione! I parametri che si stimano non sono di per sé le pendenze, che invece sono date.

La propensione marginale a spendere in pizza diminuisca. Siamo cioè nel caso in cui l'effetto di una variabile è modificato da un'altra. Per tenere conto di ciò il modello che dobbiamo specificare è il seguente:

βAGE + γY + λ(AGE*Y) + eC = α

Gli effetti di Y e AGE sono:

β λYdE(C)/dAGE = + al crescere dell'età ci si aspetta che la spesa per pizza si riduca, inoltre λ<0, siccome presumibilmente maggiore è il reddito, maggiore è la riduzione della spesa per pizza.

γ λAGEdE(C)/dY = + la propensione marginale a spendere in pizza dipende da AGE, quindi la propensione diminuisce sempre più al crescere dell'età.

48b. La scelta dei regressori

Nella scelta delle variabili esplicative di un modello di regressione, si cerca di seguire i principi esistenti sull'argomento trattato, la logica e l'esperienza. Tuttavia può accadere che nella scelta si siano omesse importanti variabili o inserite variabili irrilevanti.