Statistica economica - Appunti

Lezione 2 – Numeri indice semplici

I numeri indice sono rapporti statistici formati al denominatore da un'intensità di un fenomeno (Base del Numero Indice) della stessa tipologia di quella posta al numeratore. Il Numero Indice è omogeneo e svolge la funzione di mezzo matematico-statistico per confrontare nel “Tempo” o nello “Spazio” due intensità dello stesso fenomeno. Un esempio sono gli indici formati dall’Istituto centrale di Statistica italiano, l’ISTAT, quali quelli dei prezzi, della produzione, ecc., utili per valutare le analisi delle variazioni periodali di determinate quantificazioni economiche, la rivalutazione del canone delle locazioni ad uso industriale o abitativo, etc.

I numeri indice, intesi come rapporto statistico, sono pertanto rapporti statistici atti a misurare le grandezze oggetto d’osservazione, in due o più periodi di tempo, oppure in due o più luoghi. Il “rapporto statistico” è un quoziente che consente di confrontare nel tempo e/o nello spazio l’intensità di un fenomeno. I numeri indice possono essere classificati in semplici e complessi.

Numeri indice semplici

I numeri indice semplici sono costruiti in modo tale da analizzare una grandezza per volta (per esempio quello che riporta la variazione da un anno al successivo del prezzo di “una” determinata merce) ed hanno la caratteristica di confrontare grandezze omogenee dal punto di vista economico.

Il rapporto statistico temporale: indichiamo con X un fenomeno da analizzare nel tempo e con t=0,1,2,3,4,...n le varie intensità che il fenomeno presenta nei vari periodi, si avrà il seguente numero indice semplice: x = I₀ x₀, costituito al numeratore dall'intensità x del fenomeno analizzato e al denominatore l'intensità dello stesso fenomeno misurata nel periodo precedente 0. Questo è un rapporto statistico di tipo temporale perché confronta l'intensità in due periodi differenti.

Rapporto statistico semplice territoriale

Se indichiamo con t il territorio si ha rapporto spaziale perché il confronto riguarda due ambiti territoriali differenti. Un esempio può essere il considerare le imprese censite presso le Camere di Commercio in due Regioni d’Italia: Lazio e Umbria. Il rapporto statistico indica quante imprese di questo tipo sono presenti nella Regione Lazio (= 1) rispetto a quelle presenti nella Regione Umbria (=0). Il numero reso pari a uno il numero di imprese censite nella Regione Umbria, ci indica quante imprese censite ci sono in confronto nella Regione Lazio. Il risultato è una relazione fra due intensità dello stesso: cioè il valore del fenomeno rispetto ad un altro valore in un territorio diverso.

Il rapporto statistico come numero indice

Il rapporto statistico, numero indice semplice, rappresenta in termini frazionari un rapporto fra intensità del fenomeno singolo e moltiplicando per 100 si può avere il rapporto percentuale fra le due grandezze quantitative. Per fare ciò riportiamo a “100” la base e otteniamo al numeratore un dato espresso in termini di unità di variazione rispetto alla base 100. Esempio: al numeratore 300, ed al denominatore 200, il loro rapporto è 1,5. Se moltiplichiamo il rapporto per 100 otteniamo 150 (300/200=1,5 e 300/200x100=150).

Se esprimiamo il numero frazionario, cioè poniamo il denominatore pari a 100 si ha 200/200x100=100. Così facendo abbiamo rapportato a 100 la base e ciò ci permette di confrontarla con altre grandezze. Abbiamo (300/200x100)/(200/200x100)= 150/100. Esempio: abbiamo la grandezza pari al tempo₁=2000 e al tempo₂=3000 e altra grandezza pari al tempo_1a=2374 e al tempo_2a=3594.

Per vedere quale dei due incrementi è maggiore operiamo per il primo caso: (3000/2000x100)/(2000/2000x100)= 150/100 e per il secondo caso (3594/2374x100)/(2374/2374x100)= 151,39/100. Il secondo presenta una variazione maggiore e il confronto è stato agevole perché abbiamo rapportato a 100 la base. Si può notare che vi è una crescita maggiore della variabile nel secondo caso che è di circa il 2,78%.

Lezione 3 – Caratteristiche dei numeri indice semplici

Considerando la Base del numero indice e cioè la misura rispetto la quale si effettua il confronto si possono avere i numeri indice a base fissa e a base mobile. Nei numeri indice a base fissa il confronto non muta da un periodo al successivo, quindi ponendo la base pari al valore assunto dalla variabile al tempo t=0, possiamo confrontare le modificazioni quantitative avutesi nella variabile studiata rapportando le rilevazioni seguenti, nei periodi successivi (t=1, 2, 3, ..., n) sempre al valore assunto dal fenomeno nel periodo o momento t=0.

Esempio: “x” è la quantificazione della variabile oggetto di studio e “t” il generico momento di rilevazione, t=0 alla 1^a rilevazione, t=1 alla 2^a rilevazione... etc. Il primo Indice relativo al confronto fra t=0 e t=1, t=2, t=3 etc è: x_n=I₀ x_n... Per gli indici a base mobile, invece, detti anche indici con concatenamento, col trascorrere dei successivi periodi di confronto, la base non rimane fissa ma segue il termine presente anche al numeratore.

Si ha il seguente indice dove al numeratore è presente la rilevazione osservata nel periodo successivo, mentre al denominatore, la base cambia divenendo quella immediatamente precedente temporalmente quella del numeratore. Per t=1, t=2, t=3 si ha: x_n=I₂ x_n...

Proprietà dei numeri indice semplici

Le proprietà dei numeri indice semplici sono: identità, reversibilità delle basi, reversibilità dei fattori e transitività delle basi. La prima proprietà proviene dalla regola secondo cui un numero diviso se stesso è uguale ad uno. Tale regola vale anche per le quantificazioni relative ai numeri indice. Se X_i=X_j allora I_i=X_i/X_j=1.

La seconda significa che si può passare da un numero indice che rapporta una quantificazione successiva ad una base-quantificazione precedente, ad un numero indice che inverte il numeratore col denominatore, rapportando cioè la base al numero, semplicemente invertendo il numero indice medesimo, intendendo per inverso l’inverso moltiplicativo, ossia il reciproco. In formula: I_t=X_t/X₀=1/(X₀/X_t)=1/tI₀.

La terza proprietà riferita ai numeri afferma che il valore di una merce, in termini aziendalistici moderni, è pari alla moltiplicazione del prezzo per la quantità. V=PxQ. Per gli indici afferma che avendo due dei tre indici è determinato anche il terzo. La quarta, la transitività delle basi ci indica la possibilità di passare da una base ad un’altra, tramite una semplice divisione fra due numeri indice. Per fare ciò si pone al denominatore il numero indice con la base che si vuole abbandonare, ed al numeratore il numero avente come base sempre la stessa base precedente.

Il risultato ci darà un numero indice avente come base la valorizzazione che quantificava, per il numero indice del precedente denominatore, l’osservazione da confrontare con la base, e come numero da confrontare lo stesso che era presente nel numero indice al numeratore della frazione originaria: rI_t/rI_s=sI_t. Esempio: per la 2 proprietà considerando la variabile 1 il numero indice = al tempo T₂ è T₂/T₁=1,5x100=150 l'inverso moltiplicativo è 1/(T₂/T₁)=1/1,50=T₁/T₂=0,6667.

Per la terza proprietà dalla tabella creiamo gli indici e calcoliamo il prodotto dei numeri indice e l'indice del prodotto. Il risultato identico, ci indica appunto come la reversibilità dei fattori sia applicabile anche ai numeri indice. Per la quarta proprietà consideriamo le tabelle seguenti, per passare da una base a un'altra sarà sufficiente dividere fra loro i due numeri indice, si possono notare i medesimi risultati.

Lezione 4 – Numeri indice complessi

Sono chiamati così perché confrontano contestualmente “n” grandezze e non solamente “una”. Un esempio è quello che riporta la variazione da un anno al successivo del prezzo di “un insieme” di merci. Un caso è quando dobbiamo calcolare il livello generale dei prezzi di un Paese: le merci da considerare sono da inserire nel paniere secondo le quantità che compongono le porzioni di spesa. Dobbiamo “ponderare” i singoli prezzi delle merci, con le quantità scambiate, per fare in modo che il confronto non avvenga solo in termini di prezzo, ma anche in base ai volumi scambiati.

Se consideriamo “n” prezzi, anche non ponderati con le quantità scambiate, dobbiamo utilizzare un numero indice complesso. Indichiamo con “t = 1, 2, …, r, …, s…, n” i vari periodi di riferimento del confronto, e con “i” le generiche merci da aggregare e componenti il paniere, il Numero Indice Complesso che intenda confrontare il prezzo di un insieme di beni ponderati nel periodo base = r, con il prezzo del periodo successivo “s”.

p_q∑_i s r=Ir s p_q∑_i r r

Questo numero indice confronta i prezzi di un determinato insieme di beni, avendo cura di ponderare i prezzi stessi con le quantità rilevate nei periodi indicati dai “pedici”, “r” ed “s”. Così facendo abbiamo confrontato il livello dei prezzi del paniere ed il livello precedente, senza considerare le quantità effettivamente scambiate sul mercato. Abbiamo analizzato solo la variazione dei prezzi che si è avuta da un periodo base al numeratore al periodo considerato al numeratore che è il periodo finale.

I metodi usati per elaborare un numero indice sono due: Rapporto fra aggregati di valore e Medie degli indici elementari. Nel primo metodo, si esegue prima la moltiplicazione dei prezzi per le quantità scambiate e dopo si procede al rapporto fra i valori che sono stati creati ottenendo così un confronto.

Nel secondo metodo degli indici elementari una volta individuati i vari prezzi e le varie quantità scambiate si procede prima alla creazione dei rapporti fra i prezzi delle singole merci e dei rapporti fra le quantità delle medesime merci e dopo ad introdurre la merce nel paniere. I singoli pesi scelti per il prezzo e per la quantità della singola merce possono essere differenti a seconda dell’importanza che si attribuisce allo stesso. Il risultato sarà diverso in termini di valore perché si attribuisce un peso separatamente alle due componenti del valore della merce scambiata e valutata.

Nel primo metodo creiamo il valore=PxQ mentre nel secondo calcoliamo l'indice elementare del prezzo e della quantità: P_t/P_t-1 e Q_t/Q_t-1, e soltanto dopo rapportiamo i due risultati dopo aver attribuito pesi differenti ai singoli rapporti elementari dei prezzi e delle quantità.

Proprietà dei numeri indice complessi

Le proprietà dei numeri indice complessi sono: 1. Identità, 2. Reversibilità delle basi, 3. Reversibilità dei fattori, 4. Transitività, 5. Commensurabilità, 6. Determinatezza, 7. Proporzionalità. La prima proviene dalla regola secondo cui un numero diviso se stesso è uguale ad uno. Tale regola vale anche per le quantificazioni relative ai numeri indice.

La seconda significa che si può passare da un numero indice che rapporta una quantificazione successiva ad una base-quantificazione precedente, ad un numero indice che inverte il numeratore col denominatore, rapportando cioè la base al numero, semplicemente invertendo il numero indice medesimo, intendendo per inverso l’inverso moltiplicativo, ossia il reciproco.

La terza riferita ai numeri afferma che il valore di una merce, in termini aziendalistici moderni, è pari alla moltiplicazione del prezzo per la quantità. V=PxQ. Per gli indici afferma che avendo due dei tre indici è determinato anche il terzo. La quarta ci indica la possibilità di passare da una base ad un’altra, tramite una semplice divisione fra due numeri indice. Per fare ciò si pone al denominatore il numero indice con la base che si vuole abbandonare, ed al numeratore il numero avente come base sempre la stessa base precedente.

Il risultato ci darà un numero indice avente come base la valorizzazione che quantificava, per il numero indice del precedente denominatore, l’osservazione da confrontare con la base, e come numero da confrontare lo stesso che era presente nel numero indice al numeratore della frazione originaria. La quinta stabilisce che un indice che la possiede non varia al variare dell’ordine di grandezza della unità di misura utilizzata per le quantità. La sesta indica che l’indice non si annulla e non tende all’infinito se uno dei termini elementari che lo compongono si annulla oppure tende all’infinito. La settima è rispettata da quegli indici che variano secondo lo stesso indice di proporzionalità della variazione di un suo elemento.

Lezione 5 – Metodo di costruzione dei numeri indice

Le fasi per la costruzione di un numero indice sono: 1. Scegliere le variabili da osservare; 2. Scegliere la situazione-base; 3. Scegliere il criterio di aggregazione; 4. Scegliere il sistema di ponderazione. La terza e la quarta sono relative alla costruzione dei soli numeri indice complessi.

Fasi di costruzione

1) La prima fase è la scelta della variabile (o fenomeno) che deve essere adeguata in termini di obiettivo dell’analisi. Per alcuni fenomeni la scelta non è sempre facile perché deve essere coerente con l’obiettivo dell’analisi e richiede una preventiva ed accurata fase di studio. La statistica, in quanto scienza di analisi dei dati che utilizza dei numeri, affronta ogni carattere da studiare, anche qualitativo, trasformando l’intensità del carattere stesso in numeri corrispondenti alle varie “modalità” (carattere quantitativo) o ai vari “attributi” (carattere qualitativo) dello stesso fenomeno, identificandolo in termini che possiamo definire “logici”.

Dobbiamo quindi considerare non solo la qualità della variabile da osservare ma anche la sua quantità e se si sarà scelto di rilevare tutte le osservazioni oppure solo un campione. Nel caso si sarà scelto un campione si parla di “metodo di campionamento”. Bisogna fare molta attenzione nella scelta per considerare se inserire nell’analisi un insieme di osservazioni oppure un altro insieme, se entrambi sono campioni di una medesima popolazione, se i due campioni non sono casuali (in termini statistici), etc.

2) La seconda fase della costruzione di un indice riguarda la base di riferimento, cioè la scelta del termine di riferimento dell'osservazione. Esempio: abbiamo i dati che riguardano il reddito pro-capite dei cittadini residenti negli USA e dei cittadini delle altre nazioni appartenenti all’OCSE (Organizzazione per la Cooperazione e lo Sviluppo Economico), suddivisi per Paese. Se dobbiamo misurare la differenza in termini di reddito reale fra i cittadini italiani, e quelli OCSE, prendiamo come base di riferimento il reddito pro-capite dei cittadini italiani. Se però usiamo come base il reddito pro-capite medio dei cittadini OCSE abbiamo un controllo internazionale maggiormente accurato in termini di evoluzione possibile della ricchezza-flusso della ricchezza degli italiani. Se, invece, utilizziamo il reddito pro-capite italiano come base per la comparazione lo dobbiamo porre pari a 100 e rapportare gli altri dati a questo. Se invece rapportiamo a 100 la media OCSE i dati forniscono una analisi differente dei dati relativi all'Italia rispetto alla media OCSE.

3) La scelta del criterio di aggregazione si rifà al problema della scelta della media da utilizzare come sistema di sintesi dei dati: la media aritmetica o quella geometrica. Esempio: dobbiamo calcolare un rendimento medio di un'azione negli anni e disponiamo dei dati di prezzo annui. Le differenze di prezzo fra un anno all’altro determinano la variazione percentuale del prezzo e quindi il rendimento annuo, positivo oppure negativo. Queste varie differenze di prezzo, ogni anno rapportate al periodo precedente, forniranno un indicatore della variazione annua intercorsa, ed esprimibile in %. Per calcolare la media del rendimento di un anno possiamo utilizzare la media aritmetica o la media geometrica ma con risultati differenti.

Se abbiamo la seguente tabella:

Tra le due medie la media geometrica è quella che consente anno dopo anno di farci avere il risultato con il prezzo finale dell'azione ipotizzata.

4) La ponderazione riguarda la necessità di valutare metodi alternativi di ponderazione in modo da considerare la base come fissa oppure variabile, ossia che si modifica ogni anno. Inoltre la ponderazione può essere con o senza concatenamento. Per il concatenamento consideriamo gli indici utilizzati dall'Istat ed a altri organi di statistica internazionale.

Lezione 6 – Indici di Laspeyres e Paasche

I numeri indice complessi più utilizzati sono quelli che aggregano prezzi e quantità: Laspeyres e Paasche. In entrambi al numeratore c’è sempre una quantità e/o un prezzo di un anno differente rispetto al prezzo e/o alla quantità posti al denominatore. Il numeratore rappresenta quindi il dato da confrontare con la base posta al denominatore. Ciò che le contraddistingue le due formule è la parte della formula che attiene alla ponderazione. Per l'indice dei prezzi di Laspeyres, la ponderazione dei prezzi tramite le quantità...