Statistica economica - Analisi serie storiche

TEMI DELLA LEZIONE

1. Richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi

ritardo

2. Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari

3. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni

parametri di input

4. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: le

trasformazioni preliminari 3

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: LE PROPRIETÀ DEI POLINOMI

RITARDO

• La condizione di stazionarietà dell’operatore AR φ(B) è che tutte le

radici dell’equazione caratteristica φ(B) = 0 siano in modulo esterne

al cerchio unitario

• La condizione di invertibilità dell’operatore MA θ(B) è che tutte le

radici dell’equazione caratteristica θ(B) = 0 siano in modulo esterne

al cerchio unitario

• Un processo ARMA stazionario e invertibile ammette anche una

rappresentazione MA oppure AR ed è dimostrabile che un

processo AR è sempre invertibile ed una processo MA è sempre

stazionario; si diranno quindi processi ammissibili i processi AR

stazionari, i processi MA invertibili ed i processi ARMA stazionari e

invertibili 4

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: LE PROPRIETÀ DEI POLINOMI

RITARDO

• Nell’esempio AR(1)

= φ + φ Z + ε

Z

t 0 1 t-1 t

Z - φ BZ = 1 + ε

t 1 t t

Z (1 – φ B) = 1 + ε

t 1 t

l’equazione caratteristica sarà data da 1 – φ B = 0

1

e la radice da B=1/φ

1

• Tutto dipende dal valore in modulo di φ

1 5

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: LE PROPRIETÀ DEI POLINOMI

RITARDO

• Se le radici sono reali, B giace lungo l’asse orizzontale e potrà

giacere entro, sul o fuori dal cerchio unitario; nell’esempio

dell’AR(1) avremo tre casi

│φ │=1 la radice giace sul cerchio, dove sono le soluzioni di

1

Φ(B)=0

│φ │<1 la radice giace fuori dal cerchio, dove sono le soluzioni di

1

Φ(B)=0

│φ1│>1 la radice giace dentro il cerchio, dove sono le soluzioni di

Φ(B)=0

• Nel caso di polinomi di grado maggiore del primo, le radici

possono essere sia reali sia complesse ed è quindi al loro modulo

che bisogna riferirsi per indagare le condizioni di stazionarietà 6

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: I PROCESSI WN

• Definizione di un WN: successione di v.c. puramente aleatorie a ,

t

incorrelate, di media 0 e varianza costante

• Media:

E(ε )=0

t

• Funzione di autocovarianza

γ(k)=0 per ogni k≠0

γ(k)=σ per k=0

2

• Funzione di autocorrelazione globale

per k=0

ρ(k)=1

ρ(k)=0 per k=±1±2 7

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI MA(Q)

• Definizione di un MA(q): somma pesata di impulsi (v.c.) casuali

presenti e passati tale che

= ε – θ ε – θ ε - ….. θ ε = θ(B)ε

Z

t t 1 t-1 2 t-2 q t-q t

• Media

E(Z )=0

t

• Funzione di autocovarianza

2

γ σ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ

= = − + + + + =

E ( Z Z ) ( ... ) per k 1,..., q

−

( k ) t , t j ε + + −

k 1 k 1 2 k 2 q k k

−

q k

∑

2 2

γ σ θ

= + =

(

k

) (

1 ) per

k 0

ε i

=

i 0

γ = >

( k ) 0 per k q 8

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI MA(Q)

• La funzione di autocorrelazione globale

ρ = =

( k ) 1 per k 0 −

q k

∑

θ θ +

i k

i

2

σ θ ϑ ϑ ϑ ϑ

− + +

( ... )

ε + −

k 1 k 1 q k q =

i 0

ρ = = =

per k 1,...,

q

( k ) −

2 2 2 q k

σ ϑ ϑ

+ +

(

1 ... )

ε q

1 ∑ 2

θ

+

(

1 )

i

=

i 0

ρ = >

( k ) 0 per k q

• La funzione di autocorrelazione parziale, al divergere di K tende

ad annullarsi 9

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI MA(Q)

• Dalle formule precedenti risulta evidente che media e varianza sono

costanti, mentre l’autocorrelazione non dipende dal tempo ma

esclusivamente dal ritardo e quindi dai parametri θ: pertanto MA(q)

è sempre stazionario

• La condizione di invertibilità è invece data dalle radici dell’equazione

caratteristica θ(B)=0

• MA(q) è invertibile solo se tutte le radici dell’equazione caratteristica

│> 1)

sono in modulo esterne al cerchio unitario (│ B

i

• L’esempio di un MA(1)

Zt = a – θ a = (1-θ B)a

t 1 t-1 1 t

l’equazione caratteristica è data da 1-θ B = 0; da cui

1

B =1/θ per cui │θ │< 1 è condizione di invertibilità

1 1 1 10

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI MA(Q)

1.0 ACF MA(1) con θ>0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI MA(Q)

1.0 PACF MA(1) con θ>0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

12

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI AR(P)

• Definizione di un AR(P): somma pesata di valori passati (v.c.) e

di uno shock casuale contemporaneo

Z = φ + φ Z + φ Z – φ Z - …… - φ Z + ε

t 0 1 t-1 2 t-2 3 t-3 p t-p t

poiché un processo AR possiamo scriverlo anche come

φ(B)Zt = φ + ε

0 t

• Media φ 0 ε

= +

E

[ Z ]

t t

φ φ

− − −

1 ...

1 p 13

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI AR(P)

• La funzione di autocovarianza

2

γ φ γ φ γ σ

= + + + =

( k ) ... per k 0

1 1 p p ε

γ φ γ φ γ

= + + >

( k ) ... per k 0

− −

1 k 1 p k p

• La funzione di autocorrelazione globale: equazione omogenea alle

differenze finite che dà luogo ad un sistema di p equazioni , note

come equazione di Yule- Walker e che permettono di giungere

dalla funzione di autocorrelazione ai parametri del processo AR

ρ φ ρ φ ρ

= + +

( k ) ...

− − >

1 k 1 p k p K 0

• ACF, al divergere di K decade ed a seconda dei parametri tende a

0 con un comportamento misto tra l’esponenziale ed il periodico,

mentre PACF è diversa da 0 per k ≤ p e pari a 0 per k > p 14

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI AR(P)

• Dalle formule precedenti risulta evidente che un processo AR(p) è

sempre invertibile;

• La condizione di stazionarietà è invece data dalle radici

dell’equazione caratteristica φ(B)=0

• AR(p) stazionario solo se tutte le radici dell’equazione caratteristica

sono in modulo esterne al cerchio unitario (│ B │> 1)

i

• L’esempio di un AR(1)

Zt = φ Z + a

1 t-1 t

l’equazione caratteristica è data da 1-φ B = 0; da cui

1

=1/φ per cui │φ │< 1 è condizione di stazionarietà

B

1 1 1 15

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI AR(P)

1.0 ACF AR(1) con φ<0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

16

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI AR(P)

1.0 PACF AR(1) con φ<0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• Definizione di un ARMA(p,q): combinazione lineare di una

somma pesata di valori passati (v.c.) e di uno shock causale

contemporaneo e di una somma pesata di shock casuali passati

p q

∑ ∑

φ ε θ ε

− = −

Z Z − −

t i t i t j t j

= =

i 1 j 1

φ θ ε

=

( B ) Z ( B )

t t φ 0

• Media =

E

[ Z ]

t φ φ

− − −

1 ...

1 p 18

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• La funzione di autocovarianza

γ φ γ φ γ ε θ ε θ ε

= + + + − + +

(

k

) ... E

(

Z ) E

(

Z a ) E

(

Z )

− − − − − − −

1 k 1 p k p t k t 1 t k t 1 1 t k t 1

θ ε

− − =

... E

(

Z ) per

k 0,1,...q

− −

q t k t q

γ φ γ φ γ φ γ

= + + + + ≥ +

(

k

) ... ... per

k q 1

− − −

1 k 1 1 k 1 p k p

• Risulta evidente come la funzione di autocovarianza dipenda sia

dalla componente AR sia dalla componente MA fino al lag q,

mentre è determinata esclusivamente dalla componente AR per i

lag >q 19

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• La funzione di autocorrelazione

γ

k

γ = =

( k ) per k 0,1,...q

γ 0

γ φ ρ φ ρ

= + + ≥ +

( k ) ... per k q 1

− −

1 k 1 p k p

• Analogamente alla funzione di autocovarianza, quella di

autocorrelazione dipende sia dalla componente AR sia dalla

componente MA fino al lag q, mentre è determinata

esclusivamente dalla componente AR per i lag >q 20

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• ACF, per k > q decade come per un AR(p), con modalità

esponenziale o periodica a seconda del valore e del segno dei

parametri autoregressivi φ ; in generale non si annulla mai, ma il

i

decadimento è veloce se la componente AR è stazionaria

• PACF con un forma molto complicata; in generale per k > p

decade secondo una modalità esponenziale dipendente dal valore

dei parametri θ , come per un processo MA(q); in generale PACF

i

non si annulla mai ma la decadenza è veloce se la componente MA

è invertibile 21

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• Il caso di un ARMA(1,1)

• Per k=1, la funzione di autocorrelazione combina le caratteristiche

sia di una AR(1) sia di un MA(1)

• Per k > 1, la funzione di autocorrelazione decade, analogamente ad

un AR(1)

• L’andamento di ρ è determinato dal segno di φ - θ

k 1 1

φ - θ > 0 monotono decrescente

1 1

φ - θ < 0 oscillante

1 1

• PACF per k > 1, decade esponenzialmente al crescere di k, in

maniera monotona se θ < 0, oppure oscillante se θ > 0

1 1 22

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

1.0 ACF ARMA (1,1) con φ>θ>0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

23

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

1.0 PACF ARMA (1,1) con φ>θ>0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

24

RIEPILOGO DEI PRINCIPALI PROCESSI STOCASTICI STAZIONARI: PROCESSI

ARMA(P,Q)

• Un processo ARMA (p,q) è stazionario se tutte le p radici

dell’equazione caratteristica φ(B)=0 sono in modulo esterne al

cerchio unitario (│B │>1, per i=1,2,….,p) ed è invertibile se

i

tutte le radici dell’equazione caratteristica θ(B)=0 sono in

│>1, per i=1,2,….,2)

modulo esterne al cerchio unitario (│B

i

• Nell’esempio di un ARMA(1,1), le condizioni di stazionarietà ed

invertibilità sono date rispettivamente da

│φ │< 1

1

│θ │< 1

1

• I processi ammissibili (processi AR stazionari, i processi MA

invertibili ed i processi ARMA stazionari e invertibili) 25

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

MQ numero intero positivo (es. 1, 4, 6, 12) Numero di osservazioni per anno

Opzioni per selezionare una o più serie con uno o

ITER 0, 1, 2, 3 più modelli

SEATS 0, 1, 2 Utilizzo di TRAMO insieme con SEATS

a) ITER=2 se le serie sono trattate dal programma con lo stesso

modello (in questo caso solamente la prima serie avrà la

stringa di istruzioni $INPUT…$ con i parametri);

b) ITER=3 se le serie sono trattate seguendo ognuna un

modello diverso specificato dalle corrispondenti righe dei

parametri di input (in questo caso tutte le serie nel file di

input avranno la stringa di istruzioni $INPUT…$ con i

parametri). 26

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

ITRAD 0, 1, 2, 6, 7, -1, -2, -6, -7 Presenza o meno dei giorni lavorativi e dell'effetto degli anni bisestili

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IEAST 0, 1, -1 Presenza o meno dell’effetto Pasqua

IDUR 0, 1, 2, ...,6, ... Lunghezza dell’effetto Pasqua

• L’effetto Pasqua riguarda il periodo di tempo che intercorre tra

n giorni prima della Pasqua ed il sabato, vigilia di Pasqua

• variabile (dummy) che assumerà valore 0 per tutti i mesi che

non risentono dell’effetto Pasqua, e valore j/n per quei mesi

che contengono j giorni del periodo che risente dell’effetto

Pasqua

• se il giorno di Pasqua di un dato anno è il 5 aprile e la durata

dell’effetto Pasqua è n=6, la variabile in questione assumerà

valore 2/6 per il mese di marzo, 4/6 per il mese di aprile e 0 per

tutti gli altri mesi 27

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IATIP 0, 1 Ricerca e correzione automatica degli outlier

AIO 0, 1, 2, 3 Selezione del tipo di outlier

VA ..., 3.5, ... Valore soglia per la significatività degli outlier

IREG 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni

IUSER 0, 2 Imposizione degli outlier

NSER 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni relativo ad un singolo comando REG

• IATIP=1, ricerca automatica degli outlier

• per default AIO è pari a 2 e ricerca outlier di tipo AO, LS e

TC; ponendolo pari a 0 li ricerca tutti e quattro, mentre

ponendolo pari ad 1 ricerca solo i tipi AO e TC; infine

ponendolo pari a 3 ricerca i tipi AO ed LS 28

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

• I REGRESSORI ESTERNI: l’imposizione degli outlier

• inserito il parametro IREG ( numero di regressori esterni

forniti a TRAMO per il trattamento delle serie analizzata)

• IREG deve essere uguale al numero di outlier imposti

• Successivamente alla stringa ($INPUT…..$) dovrà essere

inserita un'altra stringa di istruzioni, aperta da $REG e chiusa

da $, secondo il seguente schema:

$INPUT…….IREG=numero regressori esterni ……$

$REG IUSER=2 NSER=numero di outlier imposti dall’utente $

29

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IREG 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni

IUSER -2, -1, 0, 1 Modalità di immissione dei regressori esterni

Numero di regressori esterni relativo ad un singolo comando

NSER 0, numero intero positivo REG

ILONG 0, numero intero positivo Numero di osservazioni per i regressori esterni

Assegnazione degli effetti deterministici alle componenti della

REGEFF 0, 1,2,3,4,5, serie

• se obiettivo è le suddivisione della serie nelle diverse componenti,

gli effetti deterministici individuati nell'analisi preliminare devono

essere attribuiti ad una o più di queste componenti

• parametro REGEFF (SEATS=2) che compare nella stringa

($REG…$) del file di input di TRAMO

• in base al valore definito per REGEFF, SEATS attribuisce ad una

delle componenti in cui scomp