Statistica economica - Analisi serie storiche

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

ITRAD 0, 1, 2, 6, 7, -1, -2, -6, -7 Presenza o meno dei giorni lavorativi e dell'effetto degli anni bisestili

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IEAST 0, 1, -1 Presenza o meno dell’effetto Pasqua

IDUR 0, 1, 2, ...,6, ... Lunghezza dell’effetto Pasqua

• L’effetto Pasqua riguarda il periodo di tempo che intercorre tra

n giorni prima della Pasqua ed il sabato, vigilia di Pasqua

• variabile (dummy) che assumerà valore 0 per tutti i mesi che

non risentono dell’effetto Pasqua, e valore j/n per quei mesi

che contengono j giorni del periodo che risente dell’effetto

Pasqua

• se il giorno di Pasqua di un dato anno è il 5 aprile e la durata

dell’effetto Pasqua è n=6, la variabile in questione assumerà

valore 2/6 per il mese di marzo, 4/6 per il mese di aprile e 0 per

tutti gli altri mesi 27

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IATIP 0, 1 Ricerca e correzione automatica degli outlier

AIO 0, 1, 2, 3 Selezione del tipo di outlier

VA ..., 3.5, ... Valore soglia per la significatività degli outlier

IREG 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni

IUSER 0, 2 Imposizione degli outlier

NSER 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni relativo ad un singolo comando REG

• IATIP=1, ricerca automatica degli outlier

• per default AIO è pari a 2 e ricerca outlier di tipo AO, LS e

TC; ponendolo pari a 0 li ricerca tutti e quattro, mentre

ponendolo pari ad 1 ricerca solo i tipi AO e TC; infine

ponendolo pari a 3 ricerca i tipi AO ed LS 28

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

• I REGRESSORI ESTERNI: l’imposizione degli outlier

• inserito il parametro IREG ( numero di regressori esterni

forniti a TRAMO per il trattamento delle serie analizzata)

• IREG deve essere uguale al numero di outlier imposti

• Successivamente alla stringa ($INPUT…..$) dovrà essere

inserita un'altra stringa di istruzioni, aperta da $REG e chiusa

da $, secondo il seguente schema:

$INPUT…….IREG=numero regressori esterni ……$

$REG IUSER=2 NSER=numero di outlier imposti dall’utente $

29

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

PARAMETRI VALORI ASSUMIBILI SIGNIFICATO

IREG 0, numero intero positivo Numero di regressori esterni

IUSER -2, -1, 0, 1 Modalità di immissione dei regressori esterni

Numero di regressori esterni relativo ad un singolo comando

NSER 0, numero intero positivo REG

ILONG 0, numero intero positivo Numero di osservazioni per i regressori esterni

Assegnazione degli effetti deterministici alle componenti della

REGEFF 0, 1,2,3,4,5, serie

• se obiettivo è le suddivisione della serie nelle diverse componenti,

gli effetti deterministici individuati nell'analisi preliminare devono

essere attribuiti ad una o più di queste componenti

• parametro REGEFF (SEATS=2) che compare nella stringa

($REG…$) del file di input di TRAMO

• in base al valore definito per REGEFF, SEATS attribuisce ad una

delle componenti in cui scompone la serie analizzata, gli effetti

dovuti al regressore esterno utilizzato (se si introduce un

regressore che ha un effetto di lungo periodo, allora occorrerà

allocarne l'effetto al trend, ponendo REGEFF=1) 30

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: ALCUNI PARAMETRI DI INPUT

Parametro Descrizione Valore di default

L’effetto di regressione è una componente separata aggiuntiva che non

= 0 viene inclusa nella serie destagionalizzata.

L’effetto di regressione viene assegnato al ciclo-trend.

= 1 L’effetto di regressione viene assegnato alla componente stagionale (ad

= 2

REGEFF 0

esempio, una variabile che comprende le festività nazionali).

L’effetto di regressione viene assegnato alla componente irregolare.

= 3 L’effetto di regressione viene assegnato alla serie destagionalizzata, ma

= 4 come componente separata aggiuntiva.

L’effetto di regressione viene assegnato alla componente transitoria.

= 5

Il parametro REGEFF è inserito in TRAMO nella namelist REG. 31

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: TRASFORMAZIONI PRELIMINARI

LE TRASFORMAZIONI PRELIMINARI

• Il parametro che gestisce la trasformazione logaritmica è LAM.

Se posto uguale a 0 (default) TRAMO effettua la trasformazione;

se posto uguale ad 1 mantiene la serie nei livelli e se posto pari a

-1, effettua un test per verificare l'opportunità di procedere o

meno alla trasformazione logaritmica

• il parametro IDIF gestisce la stazionarietà in media; ponendo

IDIF uguale a 3, il programma individua l'ordine della differenza

non stagionale (fino ad un massimo di 2) e quello della differenza

stagionale (fino ad un massimo di 1)

• L’utente può anche rinunciare all’identificazione automatica

dell’ordine di differenziazione, imponendolo mediante i parametri

D (per specificare l'ordine delle differenze non stagionali) e BD

(per specificare l'ordine delle differenze stagionali) e lasciando il

valore di default IDIF=0. 32

TEMI DELLA LEZIONE

1. Richiami alla precedente lezione: ACF dei processi MA(q)

2. I processi non stazionari

3. I processi stocastici ARIMA

4. I processi stocastici SARIMA

5. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS

(si vedano le diapositive della lezione del 14 e del 28 aprile) 3

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: ACF DEI PROCESSI MA(Q)

• La funzione di autocorrelazione globale di un processo MA(q)

ρ = >

( k ) 0 per k q −

q k

∑

θ θ +

i k

i

2

σ θ ϑ ϑ ϑ ϑ

− + +

( ... )

ε + −

k 1 k 1 q k q =

i 0

ρ = = =

per k 1,...,

q

( k ) −

2 2 2 q k

σ ϑ ϑ

+ +

(

1 ... ) ∑

ε 1 q 2

θ

+

(

1 )

i

=

i 0

ρ = =

( k ) 1 per k 0 4

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: ACF DEI PROCESSI MA(Q)

• La funzione di autocorrelazione globale nel caso di un MA(1)

θ 1

ρ = − =

k 1

k θ 2

+

1 1

ρ = =

0 k 0

k

• i grafici successivi mostrano il comportamento dell’ACF nel caso

di un MA(1) (a differenza dell’ACF, è bene ricordare che la

funzione di autocorrelazione parziale, al divergere di K tende ad

annullarsi) 5

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: ACF DEI PROCESSI MA(Q)

1.0 ACF MA(1) con θ=0.8

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: ACF DEI PROCESSI MA(Q)

1.0 ACF MA(1) con θ=-0.8

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: I PROCESSI NON STAZIONARI

• Frequente nella realtà dei fenomeni economici ipotizzare processi

generatori di tipo non stazionario

• Limitatatamente ai primi due momenti è possibile avere una non

stazionarietà in media o una non stazionarietà in

varianza/covarianza (eteroschedasticità)

• Considerando un processo non stazionario in media, la

differenziazione lo rende stazionario

β β

= + +

Y t a

t 0 1 t

β β

= +

( )

E Y t

t 0 1

∆ = −

( 1 )

B

B β β β β

∆ = + + − − − −

( 1 )

Y t a t a −

B t 0 1 t 0 1 t 1

β

∆ = + −

Y a a −

B t 1 t t 1

• Processi non stazionari omogenei di grado d (nell’esempio

processo stazionario omogeneo di grado 1) 8

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: I PROCESSI NON STAZIONARI

• Le trasformazioni per la non stazionarietà in varianza

• Qualora prendiamo un indice di variabilità (varianza) e un indice

di livello (media) e se ne analizza il rapporto dividendo il processo

in periodi omogenei, si possono determinare

o situazioni nelle quali la varianza è µ

=

Var (

Y ) cf ( )

proporzionale alle medie dei livelli, t t

per cui è opportuna la trasformazione mediante radice

quadrata

O situazioni nelle quali la varianza è proporzionale ai

2 2

quadrati delle medie dei livelli µ

=

Var (

Y ) c ( )

t t

per cui è opportuna la trasformazione logaritmica 9

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: I PROCESSI NON STAZIONARI

• Le trasformazioni per la non stazionarietà in varianza

µ

=

Var (

Y ) cf ( )

t t ⇒

2 2

µ

=

Var (

Y ) c ( ) ln

t t ⇒

µ

=

Var (

Y ) c ( )

t t

Trasformazione di Box Cox

 λ −

Y 1

 t λ ≠

per 0



=

T (

Y ) λ

t  λ =



ln Y per 0

t

della quale sono casi particolari, quindi, la trasformazione

logaritmica e la trasformazione tramite radice quadrata 10

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: I PROCESSI NON STAZIONARI

• processo random walk

ε µ

= + =

Y

Y Y − 1 0

t t t

t

∑

µ

= +

Y ε

t i

= 1

i

µ

=

( )

E Y t 2

σ

=

( )

Var Y t

t ε

t

ρ =

k +

t k

la differenza prima lo rende un WN ed è pertanto un processo

stazionario omogeneo di grado 1 11

I PROCESSI STOCASTICI ARIMA (AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED, MOVING

AVERAGE)

• Estensione dei processi ARMA ai processi non stazionari

omogenei di grado d, che possono essere resi stazionari

mediante opportune trasformazioni (in particolare mediante d

differenziazioni)

d

• Se X =(1 – B) Z

t t

• {Zt} è un processo ARIMA(p,d,q) se X è un ARMA(p,q)

t

d

= −

X (

1 B ) Z

t t

p q

∑ ∑

φ φ ε θ ε

= + + −

X X − −

t 0 i t i t j t j

= =

i 1 j 1

p q

∑ ∑

d φ φ ε θ ε

− − = + −

(

1 B ) Z X − −

t i t i 0 t j t j

= =

i 1 j 1

d

φ φ θ ε

− = +

( B )(

1 B ) Z ( B )

t 0 t 12

I PROCESSI STOCASTICI ARIMA (AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED, MOVING

AVERAGE)

• La classe dei processi ARIMA ricomprende i processi AR

(d=q=0), i processi MA (p=q=0), i processi ARMA (d=0) ed i

processi WN (p=q=d=0)

• Un processo random walk è una ARIMA (0,1,0)

• Risulta però del tutto evidente che i processi ARIMA(p,d,q)

appena definiti non permettono di modellare comportamenti

stagionali di tipo periodico

• È necessario introdurre quindi una nuova categoria di processi, i

processi stocastici SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) 13

I PROCESSI STOCASTICI SARIMA (SEASONAL AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED,

MOVING AVERAGE)

• L’approccio classico alla destagionalizzazione concepiva la

componente stagionale come una componente incorrelata con le

altre e di tipo deterministico

• I processi SARIMA, proposti da Box e Jenkins a partire dal

1976, permettono di modellare la componente stagionale come

una componente stocastica e correlata con le altre componenti

• I modelli SARIMA permettono di modellare componenti

periodiche di tipo stagionale di carattere stazionario e non 14

I PROCESSI STOCASTICI SARIMA (SEASONAL AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED,

MOVING AVERAGE)

• La schematizzazione della correlazione verticale e orizzontale

(Di Fonzo, 2006)

• La correlazione “orizzontale” (correlazione tra valori

consecutivi) può essere modellata mediante un modello

ARIMA(p,d,q)

d

φ(B)(1-B) Z =θ(B)b

t t

dove b contiene ancora la correlazione verticale (correlazione

t

tra osservazioni che distano tra loro un multiplo del periodo)

non spiegata che a sua volta può essere spiegata da un

particolare modello ARIMA(P,D,Q)

S S D S

) (1-B ) b = Θ(B )ε

Φ(B t t 15

I PROCESSI STOCASTICI SARIMA (SEASONAL AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED,

MOVING AVERAGE)

S S 2S PS

• dove Φ(B )= (1-Φ B -Φ2B -…. – Φ B ) è un operatore

1 P

lineare stagionale autoregressivo

S S 2S QS

• dove Θ(B )= (1-Θ B -Θ B - …. – Θ B ) è un operatore

1 2 Q

lineare stagionale media mobile

S D

• (1-B ) è la differenziazione stagionale

• Combinando insieme il modello ARIMA(p,d,q) e quello

ARIMA(P,D,Q), è possibile ottenere il seguente modello

SARIMA(p,d,q,)(P,D,Q)

S S D d S

• φ(B)Φ(B )(1-B ) (1-B) Z = φ + θ(B)Θ(B )ε

t 0 t

• Analogamente a quanto visto per i modelli ARIMA (diapositiva

12), se Z è generato da un SARIMA(p,d,q)(P,D,Q), allora

t S D d

= (1-B ) (1-B) Z è generato da un SARMA(p,q)(P,Q)

X t t S 16

I PROCESSI STOCASTICI SARIMA (SEASONAL AUTOREGRESSIVE, INTEGRATED,

MOVING AVERAGE)

• Le condizioni di stazionarietà e invertibilità dipendono dalle

equazioni caratteristiche

S

φ(B)Φ(B )=0

S

θ(B)Θ(B )=0

• Le radici delle equazioni caratteristiche devono essere esterne al

cerchio unitario 17

TEMI DELLA LEZIONE

1. Richiami alla precedente lezione: formulazione dei processi

SARIMA, condizioni di stazionarietà e invertibilità

2. ACF e PACF dei processi ARIMA e SARIMA

3. Il modello AIRLINE (ACF e PACF) e le correlazioni

“satellite” 3

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: FORMULAZIONE DEI PROCESSI SARIMA,

CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ E INVERTIBILITÀ

• Come spiegato nella precedente lezione (5 maggio),

combinando insieme il modello ARIMA(p,d,q) e quello

ARIMA(P,D,Q), è possibile ottenere il seguente modello

SARIMA(p,d,q,)(P,D,Q)

S d S D S

) (1-B) (1-B ) Z = φ + θ(B)Θ(B ) ε

φ(B)Φ(B t 0 t 4

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: FORMULAZIONE DEI PROCESSI SARIMA,

CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ E INVERTIBILITÀ

nel modello SARIMA appena formulato abbiamo:

• φ(B) = operatore AR non stagionale di ordine p

p

φ(B) = 1 – φ B – …. - φ B

1 p

S

• Φ(B ) = operatore AR stagionale di ordine P

S s sP

Φ(B ) = 1 – Φ B – …. – Φ B

1 p

• θ(B) = operatore MA non stagionale di ordine q

q

θ(B) = 1 – θ B – …. – θ B

1 q

S

• Θ(B ) = operatore MA stagionale di ordine Q

S s sQ

Θ(B ) = 1 – Θ B – …. – Θ B

1 q

d d

• (1-B) = ∆ = operatore differenza non stagionale di ordine d

S D D

• (1-B ) = ∆ = operatore differenza stagionale di ordine D 5

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: FORMULAZIONE DEI PROCESSI SARIMA,

CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ E INVERTIBILITÀ

• Le condizioni di stazionarietà e invertibilità dipendono dalle

equazioni caratteristiche

S

φ(B)Φ(B )=0

S

θ(B)Θ(B )=0

• Le radici delle equazioni caratteristiche devono essere esterne al

cerchio unitario

• Alla luce di quanto sin qui detto, sarà ammissibile un modello

ARIMA stagionale stazionario e invertibile, che abbia cioè tutte

le radici degli operatori AR e MA esterne, in modulo, al cerchio

unitario, siano esse stagionali o no 6

RICHIAMI ALLA PRECEDENTE LEZIONE: FORMULAZIONE DEI PROCESSI SARIMA,

CONDIZIONI DI STAZIONARIETÀ E INVERTIBILITÀ

La formulazione del processo SARIMA prima ricordata

S d S D S

φ(B)Φ(B )(1-B) (1-B ) Z = φ + θ(B)Θ(B ) ε

t 0 t

permette di modellare la parte stocastica (Z ) nella quale è possibile

t

scomporre un processo stocastico stazionario in base al Teorema di

, è possibile ottenerlo come risultato della

Wold; ma a sua volta Z

t

depurazione dalla componente deterministica (si veda il teroema di

Wold) del processo stocastico originario

Y = V + Z ; se consideriamo V = Σβ x

t t t t i it

allora Z = Y - Σβ x

t t i it

tornando alla formulazione utilizzata di un processo SARIMA,

otteniamo il modello di riferimento di TRAMO SEATS (lezione del

S S D d S

)(1-B ) (1-B) (Y - Σβ x ) = θ(B)Θ(B ) ε

14 aprile) φ(B)Φ(B t i it t 7

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

• Le funzioni autocorrelazione globale e parziale permettono di

caratterizzare anche la classe dei processi SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)

S

• Due esempi

• ACF e PACF di un SARIMA(0,0,0)(1,0,0)

S



 Sk Φ =

per k s

1

 

Φ =

per k 0, s,2s,.... ϕ



ρ kk

1

k  ≠

0 per k s

 ≠

0 per k 0,

s,2s,....

• Sono uguali ad ACF e PACF di un AR (1) per il quale si faccia

riferimento ai soli ritardi stagionali (si veda Di Fonzo, pagine 176

e 177 per ACF e PACF di un AR(1)) 8

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

1.0 ACF SARIMA (0,0,0)(1,0,0) con Φ =0,4

12 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

9

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

1.0 PACF SARIMA (0,0,0)(1,0,0) con Φ =0,4

12 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

10

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

1.0 ACF SARIMA (0,0,0)(1,0,0) con Φ =0,8

12 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

11

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

1.0 PACF SARIMA (0,0,0)(1,0,0) con Φ =0,8

12 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60

12

ACF E PACF DEI PROCESSI ARIMA E SARIMA

• La funzioni autocorrelazione globale e parziale di un processo

sono simili a quelli di un ARMA(p,q), per

ARIMA(0,0,0)(P,0,Q)

S

il quale si considerino i soli ritardi stagionali S, 2S, ecc.

• Analogamente agli ARMA, valgono anche per la componente

stagionale, le medesime regole:

ACF, per k > Q decade come per un AR(p), con modalità

esponenziale o periodica a seconda del valore e del segno dei

parametri autoregressivi Φ ; in generale non si annulla mai;

i

PACF per k > P decade secondo una modalità esponenziale

dipendente dal valore dei parametri Θ , come per un processo

i

MA(q); in generale PACF non si annulla mai; 13

IL MODELLO AIRLINE (ACF E PACF) E LE CORRELAZIONI “SATELLITE”

• Il modello AIRLINE (molto utilizzato, facilmente interpretabile

ed adattabile; deve la sua denominazione al fatto di essere stato

utilizzato da Box e Jenkins per modellare la serie storica dei

passeggeri sulle linee aeree americane)

S S

)Z = (1-θB)(1-ΘB )ε

(1-B)(1-B t t

• ACF e PACF guidati dalla componente MA(q) e MA(Q)

• In particolare ACF 2

ρ θ ϑ

= − +

/( 1 )

1 2

ρ = − Θ + Θ

/( 1 )

S [ ]

2 2

ρ ρ θ ϑ

= = − Θ + + Θ

/ (

1 )( 1 )

− +

1 1

S S

ρ = ≠ +

0 per k 0,1, S - 1, S, S 1

k 14

IL MODELLO AIRLINE (ACF E PACF) E LE CORRELAZIONI “SATELLITE”

• La forma esplicita del modello AIRLINE permette di individuare

le ragioni della precedente funzione di autocorrelazione

• In particolare spiega perché l’autocorrelazione è significativa per k

= S+1

• Infatti, nel caso del modello AIRLINE, l’operatore media mobile

è di ordine q+SQ=1+12 (qualora S=12)

12 12 13

) = (1-θB-ΘB +θΘB )

(1-θB)(1-ΘB 15

IL MODELLO AIRLINE (ACF E PACF) E LE CORRELAZIONI “SATELLITE”

• Se si considerano i soli processi SARIMA di tipo media mobile,

resi stazionari, la funzione di autocorrelazione presenta le seguenti

caratteristiche che risultano molto importanti, visto il largo utilizzo

che si fa di questi modelli:

si comporta come quella di un MA per k > q + SQ (quindi,

nel caso di un AIRLINE serie mensili per k > 13, per serie

trimestrali per k > 5)

Il segno di ρ è sempre opposto a quello di θ (nel caso di un

1 2

AIRLINE, dal momento che ρ = - θ/(1+θ )), così come il

1

è opposto per le stesse ragioni a quello di Θ

segno di ρ 12

Data la relazione moltiplicativa tra gli operatori stagionali e

S

non stagionali [(1-θB)(1-ΘB )], esistono sempre interazioni

denominate “satelliti” 16

IL MODELLO AIRLINE (ACF E PACF) E LE CORRELAZIONI “SATELLITE”

Nel caso di un AIRLINE e di serie mensili, i satelliti sono

dati da ρ e ρ , prodotto entrambi di ρ e ρ

11 13 1 12

La prima caratteristica dei satelliti è data dal fatto che il

comportamento non stagionale si osserva da tutti e due i lati

dell’autocorrelazione stagionale

La seconda caratteristica è che il segno dei satelliti è dato dal

prodotto θΘ 17

IL MODELLO AIRLINE (ACF E PACF) E LE CORRELAZIONI “SATELLITE”

1.0 Indice produzione industriale beni di consumo. ACF serie differenziata

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0 18

TEMI DELLA LEZIONE

1. La procedura di Box e Jenkins: introduzione

2. La procedura di Box e Jenkins: le analisi preliminari

3. La procedura di Box e Jenkins: la fase di identificazione del

modello

4. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: le serie per le

esercitazioni

5. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: la correzione per

i giorni lavorativi

6. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: le trasformazioni

preliminari 3

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: INTRODUZIONE

• Il problema che abbiamo a questo punto di fronte è quello che

deriva dal fatto di avere solamente una parte finita di una

realizzazione di un processo stocastico

• si tratta quindi di identificare un modello ARIMA che

approssimi adeguatamente il processo generatore, partendo dalla

serie osservata

• La procedura che hanno proposto Box e Jenkins per procedere

in tal senso consta di tre passi fondamentali

1. Identificazione

2. Stima dei parametri

3. Controllo diagnostico 4

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: INTRODUZIONE

Analisi preliminari

Identificazione modello

ARIMA non Se

il

è modello

adeguato

Stima dei parametri Controllo diagnostico

Se il modello è adeguato Utilizzo del modello 5

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: LE ANALISI PRELIMINARI

• In generale per analisi preliminari si intendono le trasformazioni

che si apportano ad una serie per renderla coerente con i requisiti

di un modello ARIMA

1. Il problema della stazionarietà in media

La non stazionarietà in media può essere individuata

mediante la funzione di autocorrelazione (l’autocorrelazione

globale stimata sui dati osservati, nel caso di non

stazionarietà non tende a 0 se non lentamente e con un

andamento rettilineo e tende quindi ad oscurare qualsivoglia

comportamento diverso da quello di lungo periodo; ciò

chiarisce come l’eliminazione del trend permetta di meglio

individuare le caratteristiche della funzione di

autocorrelazione) oppure mediante semplice analisi grafica

6

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: LE ANALISI PRELIMINARI

La rimozione della non stazionarietà in media può avvenire

in diversi modi (residui di una funzione di t; residui di una

regressione su variabili esplicative del trend; differenze

successive di ordine opportuno)

Gli evidenti vantaggi delle differenze successive che si

inseriscono da subito nella modellistica ARIMA (con il

problema di amplificare l’effetto dei valori anomali, la cui

rimozione previa è pertanto auspicabile)

La scelta dell’ordine delle differenza da applicare deve

preferire il valore d tale che

d

Var (∆ x ) = minima

t 7

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: LE ANALISI PRELIMINARI

2. Il problema della stazionarietà in varianza

A livello empirico la non stazionarietà in varianza si manifesta in

una crescita contestuale del livello e della variabilità della serie

(effetto contagio, effetto rischio; Piccolo, 1990)

In linea generale l’individuazione della presenza di non

stazionarietà può essere effettuata su serie stazionarie in media,

poiché risulta altrimenti non applicabile la stima, mediante

massima verosimiglianza, del λ ottimale della trasformata di Box

Cox (si veda la lezione del 20 aprile);

Metodi empirici di analisi grafica aiutano ad individuare la

necessità della trasformazione ed il λ da utilizzare (il range mean

plot: il confronto per sottoperiodi di una misura di variabilità ed

una misura di posizione);

I problemi derivanti dai valori anomali 8

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: LA FASE DI IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO

• Il ruolo chiave delle ACF e PACF, stimate sulla serie storica

osservata (campione)

• Quando non sono chiaramente identificabili un modello AR o un

processo MA, è sempre preferibile l’utilizzo di modelli ARMA,

che, peraltro, hanno il vantaggio di rendere in genere il modello

più parsimonioso

• La necessità di adottare comunque la soluzione più parsimoniosa

evitando sovraparametrizzazioni: i criteri AIC (Asymptotic

Information Criterion, proposto da Akaike) e BIC (Bayesian

Information Criterion) aiutano ad individuare modelli

parsimoniosi come risulta dalle successive formulazioni (dove k è

2 2

il numero dei parametri, n il numero delle osservazioni e σ σ

0

k

sono rispettivamente la varianza sui residui di un modello con k

parametri e la varianza delle n osservazioni) 9

LA PROCEDURA DI BOX E JENKINS: LA FASE DI IDENTIFICAZIONE DEL MODELLO

2

ˆ

AIC

( k ) log( ) 2

k / n

σ

= +

k 2 2 2

ˆ ˆ ˆ

BIC ( k ) ( n k ) log( n /( n k )) k log( n ( ) / k )

σ σ σ

= − − + −

k 0 k

• La scelta del modello si orienta verso quello che presenta il

valore più basso di AIC o BIC

• Altre varianti sono il criterio di Schwarz (SCH) e quello di

Rissanen (RIS) 10

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: LE SERIE PER LE ESERCITAZIONI

• Breve cenno ai Regolamenti Europei (1165/98; 586/2001 STS Regulation)

• le serie utilizzate per l’esercitazione ed i modelli identificati da Istat:

Eip110040: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/beni

intermedi (2,1,0) (0,1,1)

Eip110050: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/beni

strumentali (2,1,0) (0,1,1)

Eip110060: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/beni

di consumo durevoli (0,1,1) (0,1,1)

Eip110070: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/beni

di consumo - non durevoli (0,1,1) (0,1,1)

Eip110080: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/beni

di consumo (0,1,1) (0,1,1)

Eip110090: produzione industriale/indice grezzo della produzione industriale/

Energia (0,1,1) (0,1,1)

Eip11tindpa: produzione industriale/indice grezzo della produzione

industriale/Indice generale (2,1,0) (0,1,1) 11

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: LA CORREZIONE PER I

GIORNI LAVORATIVI

• la correzione per l’effetto giorni lavorativi ed il regressore per

le festività nazionali: la prassi fino a due anni fa per quel che

riguarda le serie destagionalizzate dall’Istat era l’utilizzo di due

regressori (quello generato da TRAMO e quello esterno per le

festività nazionali)

• Ma l'utilizzo di due regressori implica che i sabati e le

domeniche abbiano un'influenza sulla serie grezza diversa da

quella delle festività nazionali

• Quindi un giorno feriale in cui cade anche una festività viene

considerato come giorno lavorativo nel regressore generato da

TRAMO [td(t)] e come festività nel regressore esterno [hol(t)]

• L’effetto netto dipende, ovviamente, dai coefficienti stimati 12

L’UTILIZZO DEL PROGRAMMA TRAMO SEATS: LA CORREZIONE PER I

GIORNI LAVORATIVI

• A partire dal febbraio 2005, la soluzione adottata è stata quella

di utilizzare un regressore unico, costruito come segue:

td-h(t) = (nlun(t) + nmar(t) + ... + nven(t) - nhol(t)) - 5/2

(nsab(t) + ndom(t) + nhol(t))

• Il regressore td-h(t) è stato a sua volta diviso per la sua media

(considerando nel caso specifico la serie dal 1990 al 2020)

ottenendo così td-h(t)*

• in presenza di festività infrasettimanali e a parità di giorni

lavorativi (rispetto al mese dell'anno precedente), le variazioni

tendenziali calcolate sulla serie corretta mediante il regressore

td-h(t)* coincidono, a meno di arrotondamenti, con quelle

calcolate sui dati grezzi 13

Appunti di Statistica economica sulla seconda parte di Analisi serie storiche. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: i richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi ritardo, il riepilogo dei principali processi stocastici stazionari, l’utilizzo del programma Tramo Seats: alcuni parametri di input, l’utilizzo del programma Tramo Seats: le trasformazioni preliminari .