Statistica economica - Analisi serie storiche

Temi della lezione

1. Richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi ritardo
2. Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari
3. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input
4. L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: le trasformazioni preliminari

Richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi ritardo

• La condizione di stazionarietà dell’operatore AR φ(B) è che tutte le radici dell’equazione caratteristica φ(B) = 0 siano in modulo esterne al cerchio unitario.
• La condizione di invertibilità dell’operatore MA θ(B) è che tutte le radici dell’equazione caratteristica θ(B) = 0 siano in modulo esterne al cerchio unitario.
• Un processo ARMA stazionario e invertibile ammette anche una rappresentazione MA oppure AR ed è dimostrabile che un processo AR è sempre invertibile ed un processo MA è sempre stazionario; si diranno quindi processi ammissibili i processi AR stazionari, i processi MA invertibili ed i processi ARMA stazionari e invertibili.

Richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi ritardo

• Nell’esempio AR(1) = φ₀ + φ₁Z_t-1 + ε_t

Z_t - φ₁BZ_t = 1 + ε_t

Z_t(1 – φ₁B) = 1 + ε_t

L’equazione caratteristica sarà data da 1 – φ₁B = 0 e la radice da B = 1/φ₁.

• Tutto dipende dal valore in modulo di φ₁.

Richiami alla precedente lezione: le proprietà dei polinomi ritardo

• Se le radici sono reali, B giace lungo l’asse orizzontale e potrà giacere entro, sul o fuori dal cerchio unitario; nell’esempio dell’AR(1) avremo tre casi:

|φ₁| = 1: la radice giace sul cerchio, dove sono le soluzioni di Φ(B) = 0.

|φ₁| < 1: la radice giace fuori dal cerchio, dove sono le soluzioni di Φ(B) = 0.

|φ₁| > 1: la radice giace dentro il cerchio, dove sono le soluzioni di Φ(B) = 0.

• Nel caso di polinomi di grado maggiore del primo, le radici possono essere sia reali sia complesse ed è quindi al loro modulo che bisogna riferirsi per indagare le condizioni di stazionarietà.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: i processi WN

• Definizione di un WN: successione di v.c. puramente aleatorie a_t, incorrelate, di media 0 e varianza costante.
• Media: E(ε_t) = 0.
• Funzione di autocovarianza:

γ(k) = 0 per ogni k ≠ 0.

γ(k) = σ² per k = 0.

• Funzione di autocorrelazione globale:

ρ(k) = 1 per k = 0.

ρ(k) = 0 per k = ±1, ±2.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi MA(q)

• Definizione di un MA(q): somma pesata di impulsi (v.c.) casuali presenti e passati tale che:

Z_t = ε_t – θ₁ε_t-1 – θ₂ε_t-2 - ….. θ_qε_t-q = θ(B)ε_t

• Media: E(Z_t) = 0.
• Funzione di autocovarianza:

γ(k) = E(Z_tZ_t-k) = σ_ε²(-θ_k + θ₁θ_k+1 + θ₂θ_k+2 + ... + θ_q-kθ_q) per k = 1,...,q.

γ(k) = σ_ε²(1 + Σθ_i²) per k = 0, i = 0.

γ(k) = 0 per k > q.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi MA(q)

• La funzione di autocorrelazione globale:

ρ(k) = 1 per k = 0.

ρ(k) = [-θ_k + θ₁θ_k+1 + ... + θ_q-kθ_q] / [1 + θ₁² + ... + θ_q²] per k = 1,...,q.

ρ(k) = 0 per k > q.

• La funzione di autocorrelazione parziale, al divergere di K tende ad annullarsi.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi MA(q)

• Dalle formule precedenti risulta evidente che media e varianza sono costanti, mentre l’autocorrelazione non dipende dal tempo ma esclusivamente dal ritardo e quindi dai parametri θ: pertanto MA(q) è sempre stazionario.
• La condizione di invertibilità è invece data dalle radici dell’equazione caratteristica θ(B) = 0.
• MA(q) è invertibile solo se tutte le radici dell’equazione caratteristica sono in modulo esterne al cerchio unitario (|B_i| > 1).
• L’esempio di un MA(1):

Z_t = a_t – θ₁a_t-1 = (1-θ₁B)a_t

L’equazione caratteristica è data da 1-θ₁B = 0; da cui B₁ = 1/θ₁, per cui |θ₁| < 1 è condizione di invertibilità.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi MA(q)

1.0 ACF MA(1) con θ > 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi MA(q)

1.0 PACF MA(1) con θ > 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi AR(p)

• Definizione di un AR(P): somma pesata di valori passati (v.c.) e di uno shock casuale contemporaneo.

Z_t = φ₀ + φ₁Z_t-1 + φ₂Z_t-2 – φ₃Z_t-3 - …… - φ_pZ_t-p + ε_t

Poiché un processo AR possiamo scriverlo anche come φ(B)Z_t = φ₀ + ε_t.

• Media:

E[Z_t] = (φ₀ + ε_t) / (1 - φ₁ - ... - φ_p).

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi AR(p)

• La funzione di autocovarianza:

γ(k) = φ₁γ(k-1) + ... + φ_pγ(k-p) + σ_ε² per k = 0.

γ(k) = φ₁γ(k-1) + ... + φ_pγ(k-p) per k > 0.

• La funzione di autocorrelazione globale: equazione omogenea alle differenze finite che dà luogo ad un sistema di p equazioni, note come equazione di Yule-Walker e che permettono di giungere dalla funzione di autocorrelazione ai parametri del processo AR.

ρ(k) = φ₁ρ(k-1) + ... + φ_pρ(k-p), K > 0.

• ACF, al divergere di K decade ed a seconda dei parametri tende a 0 con un comportamento misto tra l’esponenziale ed il periodico, mentre PACF è diversa da 0 per k ≤ p e pari a 0 per k > p.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi AR(p)

• Dalle formule precedenti risulta evidente che un processo AR(p) è sempre invertibile.
• La condizione di stazionarietà è invece data dalle radici dell’equazione caratteristica φ(B) = 0.
• AR(p) stazionario solo se tutte le radici dell’equazione caratteristica sono in modulo esterne al cerchio unitario (|B_i| > 1).
• L’esempio di un AR(1):

Z_t = φ₁Z_t-1 + a_t

L’equazione caratteristica è data da 1-φ₁B = 0; da cui B₁ = 1/φ₁, per cui |φ₁| < 1 è condizione di stazionarietà.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi AR(p)

1.0 ACF AR(1) con φ < 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi AR(p)

1.0 PACF AR(1) con φ < 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• Definizione di un ARMA(p,q): combinazione lineare di una somma pesata di valori passati (v.c.) e di uno shock causale contemporaneo e di una somma pesata di shock casuali passati.

Z_t - Σφ_iZ_t-i = ε_t - Σθ_jε_t-j, i = 1, j = 1, p, q.

φ(B)Z_t = θ(B)ε_t

• Media:

E[Z_t] = φ₀ / (1 - φ₁ - ... - φ_p).

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• La funzione di autocovarianza:

γ(k) = φ₁γ(k-1) + ... + φ_pγ(k-p) + E(Z_t-kε_t) - θ₁E(Z_t-kε_t-1) - ... - θ_qE(Z_t-kε_t-q) per k = 0,1,...q.

γ(k) = φ₁γ(k-1) + ... + φ_pγ(k-p) per k ≥ q + 1.

• Risulta evidente come la funzione di autocovarianza dipenda sia dalla componente AR sia dalla componente MA fino al lag q, mentre è determinata esclusivamente dalla componente AR per i lag > q.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• La funzione di autocorrelazione:

ρ(k) = γ(k) / γ(0) per k = 0,1,...q.

γ(k) = φ₁ρ(k-1) + ... + φ_pρ(k-p) per k ≥ q + 1.

• Analogamente alla funzione di autocovarianza, quella di autocorrelazione dipende sia dalla componente AR sia dalla componente MA fino al lag q, mentre è determinata esclusivamente dalla componente AR per i lag > q.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• ACF, per k > q decade come per un AR(p), con modalità esponenziale o periodica a seconda del valore e del segno dei parametri autoregressivi φ_i; in generale non si annulla mai, ma il decadimento è veloce se la componente AR è stazionaria.
• PACF con una forma molto complicata; in generale per k > p decade secondo una modalità esponenziale dipendente dal valore dei parametri θ_i, come per un processo MA(q); in generale PACF non si annulla mai ma la decadenza è veloce se la componente MA è invertibile.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• Il caso di un ARMA(1,1).
• Per k = 1, la funzione di autocorrelazione combina le caratteristiche sia di una AR(1) sia di un MA(1).
• Per k > 1, la funzione di autocorrelazione decade, analogamente ad un AR(1).
• L’andamento di ρ_k è determinato dal segno di φ₁ - θ₁.

φ₁ - θ₁ > 0: monotono decrescente.

φ₁ - θ₁ < 0: oscillante.

• PACF per k > 1, decade esponenzialmente al crescere di k, in maniera monotona se θ₁ < 0, oppure oscillante se θ₁ > 0.

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

1.0 ACF ARMA (1,1) con φ > θ > 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

1.0 PACF ARMA (1,1) con φ > θ > 0

0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Riepilogo dei principali processi stocastici stazionari: processi ARMA(p,q)

• Un processo ARMA (p,q) è stazionario se tutte le p radici dell’equazione caratteristica φ(B) = 0 sono in modulo esterne al cerchio unitario (|B_i| > 1, per i = 1,2,…..,p) ed è invertibile se tutte le radici dell’equazione caratteristica θ(B) = 0 sono in modulo esterne al cerchio unitario (|B_i| > 1, per i = 1,2,…..,2).
• Nell’esempio di un ARMA(1,1), le condizioni di stazionarietà ed invertibilità sono date rispettivamente da:

|φ₁| < 1

|θ₁| < 1

• I processi ammissibili (processi AR stazionari, i processi MA invertibili ed i processi ARMA stazionari e invertibili).

L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input

a) ITER = 2 se le serie sono trattate dal programma con lo stesso modello (in questo caso solamente la prima serie avrà la stringa di istruzioni $INPUT…$ con i parametri).

b) ITER = 3 se le serie sono trattate seguendo ognuna un modello diverso specificato dalle corrispondenti righe dei parametri di input (in questo caso tutte le serie nel file di input avranno la stringa di istruzioni $INPUT…$ con i parametri).

L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input

• L’effetto Pasqua riguarda il periodo di tempo che intercorre tra n giorni prima della Pasqua ed il sabato, vigilia di Pasqua.
• Variabile (dummy) che assumerà valore 0 per tutti i mesi che non risentono dell’effetto Pasqua, e valore j/n per quei mesi che contengono j giorni del periodo che risente dell’effetto Pasqua.
• Se il giorno di Pasqua di un dato anno è il 5 aprile e la durata dell’effetto Pasqua è n = 6, la variabile in questione assumerà valore 2/6 per il mese di marzo, 4/6 per il mese di aprile e 0 per tutti gli altri mesi.

L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input

• IATIP = 1, ricerca automatica degli outlier.
• Per default AIO è pari a 2 e ricerca outlier di tipo AO, LS e TC; ponendolo pari a 0 li ricerca tutti e quattro, mentre ponendolo pari ad 1 ricerca solo i tipi AO e TC; infine ponendolo pari a 3 ricerca i tipi AO ed LS.

L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input

I regressori esterni: l’imposizione degli outlier

• Inserito il parametro IREG (numero di regressori esterni forniti a TRAMO per il trattamento delle serie analizzata).
• IREG deve essere uguale al numero di outlier imposti.
• Successivamente alla stringa ($INPUT…..$) dovrà essere inserita un'altra stringa di istruzioni, aperta da $REG e chiusa da $, secondo il seguente schema:

$INPUT…….IREG = numero regressori esterni ……$$REG IUSER = 2 NSER = numero di outlier imposti dall’utente $

L’utilizzo del programma TRAMO SEATS: alcuni parametri di input

• Se obiettivo è le suddivisione della serie nelle diverse componenti, gli effetti deterministici individuati nell'analisi preliminare devono essere attribuiti ad una o più di queste componenti.
• Parametro REGEFF (SEATS = 2) che compare nella stringa ($REG…$) del file di input di TRAMO.
• In base al valore definito per REGEFF, SEATS attribuisce ad una delle componenti in cui scomp