Statistica Economica 2 - Modulo Massiani

Statistica economica II - Appunti condivisi

I modelli input-output e SAM

Aggiornato 23 marzo 2021

Versione Provvisoria 1

Introduzione: richiami di contabilità nazionale

Tre concetti fondamentali per questo capitolo:

• Equazione risorse-impieghi
• Calcolo del P.I.L.
• Matrice di contabilità sociale (S.A.M). La social accounting matrix semplifica molti calcoli economici.

Equazione risorse-impieghi

Una delle componenti di questa equazione sono i Prodotti e Servizi e da qui guardiamo cosa succede su un periodo definito (di solito un anno) e guardiamo le risorse disponibili del bene e come è stato utilizzato, ricordando che: si può utilizzare solo quello che si ha a disposizione.

ergorisorse=impieghi

Esempio:

• Qualunque bene (o servizio) si consideri: le risorse disponibili sono: lo stock iniziale del bene (stock), durante l'anno andremo a produrre di più il bene (PROD), ci sono dei beni importati (M).
• Gli usi possibili sono: l’utilizzo nel processo produttivo di altri beni (CI), il consumo delle famiglie (Cfam), la spesa governativa (G), possono essere esportate (X), possono esserci anche investimenti sul bene (I) e infine potrebbero essere stockate a fine periodo (stock).

Richiamo: Differenza tra CI e I: dipende da quanto a lungo il bene è presente nel processo di produzione. Se il bene è consumato entro un anno è considerato CI, altrimenti I. Esempio tipico: una stampante è un investimento, il toner della stampante è un consumo intermedio.

Il fatto che risorse siano uguale a utilizzi si può scrivere sotto forma di un’identità contabile, ossia:
Stock + Prod + M = CI + Cfam + G + X + Stock

Questo vale per qualunque prodotto (o servizio). Questo vale anche per la somma di tutti i prodotti. Questa equazione ci dice che c'è equivalenza tra risorse e utilizzi. Sotto questa forma si chiama equilibrio dei beni e servizi. Per arrivare alla forma che ci interessa, dobbiamo fare un ulteriore passo. Dovremmo sottrarre i consumi intermedi da ogni parte dell'equazione, prendendo tutti i termini dell'equazione e scriverli sotto forma di P.I.L o Valore Aggiunto.
Prod-CI = Cfam + G + I + (X-M) + (Stf-Sti)

PIL e valore aggiunto

Possiamo definire il PIL spesso notato Y (yield) come produzione al netto dei consumi intermedi (PROD-CI), ossia come Valore Aggiunto: L’equazione precedente si può riscrivere: Y = Cfam + G + I + (X-M) + (St-Sti).

Nota: non sempre è esplicitamente presente la variazione di Stock in quanto a volte è una variabile trascurabile.

Possiamo calcolare il P.I.L con diversi metodi che generano lo stesso risultato:

• Attraverso l'equazione risorse impieghi (vedere sopra)
• Attraverso il valore aggiunto (PROD-CI). Ricordiamo che il P.I.L è la somma dei valori aggiunti dei settori dell'economia. Questo calcolo darà lo stesso risultato che il precedente; in effetti, l’identità fra i due calcoli deriva proprio dall’equazione risorse impieghi fornita sopra.
• Attraverso la remunerazione dei fattori (l’esempio del calcolo del PIL sulla base di una SAM lo chiarisce, vedere sotto)

Matrici di contabilita sociale

Definizione: sono tabelle a doppia entrata che registrano i flussi che intercorrono tra gli operatori di un sistema economico.

La SAM quantifica come il consumo, l’investimento, ecc., possono circolare tra i vari agenti economici, quindi ci informa sul circuito economico, concetto che può essere illustrato dai grafici seguenti.

Questa tabella distingue in riga e in colonna i diversi agenti economici, o diverse categorie di esse. Quindi la somma della prima riga sappiamo essere uguale alla somma della prima colonna e così via. Ad esempio consideriamo i produttori. I ricavi dei produttori sono uguali agli utilizzi di questi ricavi che servono a pagare consumi intermedi, stipendi, ecc., nonché un profitto per l'imprenditore. Può sembrare banale ma è molto utile per tutti i calcoli che potremmo effettuare con questa tabella.

Una prima verifica da fare quando si è in presenza di una SAM è l’uguaglianza fra colonne e righe. Questa proprietà diventa più visibile se si prova a completare ipotetici “buchi” in una SAM.

Ipotesi IVA =0

Riprendiamo un esempio già visto in Statistica Economica 1:
1600 Produzione (fatturato) dell'azienda A
1600 venduto al settore privato
0 Venduto allo Stato

Inoltre, bisogna ricordare che, dove mancano le componenti degli scambi economici che ci sono all’interno di questa Economia, si possono costruire comparando i totali (t-spese e t-ricavi) e sottraendo o addizionando i singoli scambi economici:
600 Fatturato dell'azienda B all'azienda A come forniture
500 Spesa per stipendi delle aziende A e B
[2200-(600+500+100)]= 1000
250 Spesa dello stato per stipendi
200 Investimenti del settore privato (bene prodotti nel territorio)
Importazione da parte dell'azienda A di un prodotto esente IVA come consumi intermedi
100 intermedi
500 spesa delle famiglie del paese per consumi finali prodotti nel paese

Calcolo del PIL a partire da una SAM

È possibile calcolare il PIL a partire da una SAM. Consideriamo un’economia senza stato.

Applichiamo i tre metodi per calcolare il PIL:

• Y = C + I + G + (X – M) 250 + 50 + 50 + (200 – 50 – 50) = 450
• Y = produzione – C.I. 1000 – (500 + 50) = 450
• Y = remunerazione dei fattori 300 + 150 = 450

Constatiamo che questi tre metodi danno lo stesso risultato. È un caso? No. Deve essere così. Da un punto di vista logico, il Valore Aggiunto è la somma dalla quale si può attingere per pagare gli stipendi, per rimunerare l’investitore e per pagare le tasse sulla produzione. Dunque, necessariamente il Valore Aggiunto deve essere uguale alla rimunerazione dei fattori.

Tabella Input-Output

Presentazione

Negli esempi forniti sopra, avevamo un’unica cella per i flussi fra i produttori, in cui comparivano i consumi intermedi. Possiamo essere interessati a suddividere quella cella in diverse celle considerando i diversi settori. In questo caso facciamo apparire gli scambi fra i diversi settori produttivi, e creiamo una tabella input-output. Questo tipo di metodo è stato sviluppato da W. Leontief dopo la Seconda guerra mondiale e rimane influente, almeno quando si tratta di analisi economiche settoriali o comunque interessate ai legami intersettoriali.

Esempio di tabella input-output:

I coefficienti tecnici

Definizione: Indica quanto bene del settore in riga è necessario per produrre un’unità del bene in colonna. Ad esempio, sui dati sopra, si calcola il coefficiente tecnico dividendo ogni indice per la somma della colonna:

Alcuni studiosi distinguono:

• Coefficiente tecnico: rapporto fra le quantità fisiche,
• Coefficiente di spesa: rapporto in termini di euro.

Tuttavia, la maggior parte degli economisti si riferisce al coefficiente tecnico come il rapporto fra valore (euro di input/euro totali). Convenzione: si designa ogni cella della matrice IO con il nome della riga poi il nome della colonna. Abbiamo dunque (industria, industria): per ogni euro di produzione dell’industria, servono 0.5 euro di beni dell’industria, nello stesso modo (industria, agricoltura): per ogni euro di produzione dell’agricoltura, servono 0.2 euro di beni dell’industria, (agricoltura, industria): per ogni euro di produzione dell’industria, servono 0.125 euro di beni dell’industria, (agricoltura, agricoltura): per ogni euro di produzione dell’agricoltura, servono 0.4 euro di beni dell’agricoltura. Si usano per esprimere l’intensità del legame fra settori produttivi. Potranno essere utilizzati per fare previsioni d’impatto.

Nota:

1. Un coefficiente tecnico è sempre minore di 1: in effetti, se servissero 1,5 euro del bene 1 per produrre un’unità del bene 2, non sarebbe una situazione viabile. Il settore andrebbe immediatamente in perdita.
2. La somma dei coefficienti tecnici di una colonna deve per lo stesso motivo essere inferiore a 1. Perché altrimenti vorrebbe dire che per ogni euro di fatturato, dovrebbero dare un euro o più ai fornitori e non avrebbero nulla con cui pagare gli stipendi, le tasse, la remunerazione dell’imprenditore.
3. Più il coefficiente è minore di uno in questo modo quello che non sarà speso in CI, sarà disponibile sotto forma di valore aggiunto per pagare ciò che serve (stipendi, tasse ecc.).

Calcolo della produzione complessiva in funzione della domanda finale

In questa sezione intendiamo calcolare quanta produzione complessiva (inclusi i consumi intermedi) è necessaria per rispondere a una determinata domanda finale. Per capire meglio il concetto di coefficienti tecnici, consideriamo i consumi intermedi che si realizzano se la domanda complessiva di industria e agricoltura siano rispettivamente 41 e 60, ossia 1 unità e dieci unità in più. Il modello IO suppone che il rapporto fra produzione e input rimanga fisso. Si possono dunque applicare gli stessi coefficienti tecnici per calcolare la produzione di input necessari. I consumi intermedi possono essere calcolati applicando i coefficienti tecnici al nuovo vettore di domanda finale.

• (I, I) = 41 * 0.5 Questo risultato si può anche calcolare come 20 + 1*0.5 = 20,5
• (A, I) = 41* 0.125 5 + 1*0.125 = 5.125
• (I, A) = 60*0,2 10 + 10*0.2 = 12
• (A, A) = 60*0.4 20 + 10*0.4 = 24

Ossia gli scambi intersettoriali generati da questa domanda finale sono i seguenti:

Seguendo lo stesso ragionamento, ipotizziamo ora altri consumi finali:

• C = 200 I
• C = 100 A

Quanti C.I. servono all’industria e all’agricoltura per produrre questi consumi finali?

• Per produrre 200, l’industria necessita 100 Io 25 Ao
• Per produrre 100, l’agricoltura necessita 20 Io 40 Ao

È possibile ottenere questo risultato attraverso il prodotto matriciale:

[ ] [ ] [ ] [ ]

0.5 0.2 200 0,5 * 200 + 0,2 * 100 120 = = dove ogni riga rappresenta i CI di Industria e Agricoltura. 0.125 0.4 100 0.125 * 200 + 0.4 * 100 65

Vediamo che lo stesso fenomeno economico può essere rappresentato sia con notazioni scalari (equazioni semplici), sia come espressione matriciale.

Formulazione semplice

Calcolo del coefficiente tecnico dividendo ogni indice per la somma della colonna:

Formulazione matriciale

Chiamiamo A la matrice dei coefficienti tecnici, con il numero di righe e colonne adeguate (in questo caso 2):

A= , a contiene i coefficienti tecnici.

La domanda finale è D: D= ad esempio D= , d₁ 200 d₂ 100

Z è la quantità di consumi intermedi necessari per produrre i beni del consumo finale, la uno in pedice denota che riguardiamo solo il “primo giro di spesa” ossia solo un’iterazione nel processo di propagazione della domanda nel sistema produttivo. Vale la relazione Z₁ = A*D. Attenzione il prodotto matriciale non è commutativo (A*D e D*A possono dare risultati diversi), l’ordine della moltiplicazione deve essere quello previsto.

Ulteriori effetti indiretti

La stessa logica deve tuttavia essere estesa: a sua volta la produzione Z₁ genera un'altra richiesta di input, quindi si avrà, una richiesta Z₂:
Z₂ = A*Z₁, sostituendo per Z₁ possiamo anche scrivere Z₂ = A.Z₁ = A *D

Z è la quantità di consumi intermedi necessari per produrre i consumi intermedi per la produzione di Z₁

Nello stesso modo possiamo anche definire Z₃ = A*Z₂ = A *D₂

Z è la quantità di consumi intermedi necessari per produrre i consumi intermedi per la produzione di Z₂

E continuiamo così fino all’infinito. La quantità di consumi intermedi totale, corrispondente alla domanda finale, può essere calcolata come somma di tutti gli Z_i, dove i designa il “giro di spesa”.

Nonostante il numero degli Z sia infinito, la sommatoria converge (sotto alcune condizioni normalmente rispettate nel sistema produttivo) ad un numero finito. NOTA: non ci stupiamo di questo risultato perché esistono vari esempi di sommatorie infinite che tendono ad un numero finito. Un esempio noto è la serie geometrica che converge per alcuni valori:

Sia x_t, il valore di un termine x al tempo t, e una progression geometrica del tipo: x_t = rx x_t-1

rappresenta il valore di x al tempo 0. Siamo interessati alla somma dei termini di questa serie. Se 0<r<1 questa somma converge verso un valore finito x₀ seguendo questa equazione.

x₀ + rx₀ + x₀ + x₀ + … = x₀ (1-r)

La sommatoria di tutti gli Z ricorda molto la serie geometrica. Vediamo che il risultato precedente è molto simile a quello che cerchiamo, con l’unica differenza che abbiamo a che fare con matrici e non scalari. Potremmo provare a generalizzare l’equazione precedente al calcolo matriciale (strada percorribile). Ma un’altra possibilità è di porre il problema in altri termini.

Riprendiamo e completiamo le nostre notazioni:

• Q la produzione complessiva (comprende i consumi intermedi)
• Z la sommatoria degli Z (cioè i consumi intermedi complessivi)
• D è la domanda finale (si parla a volte di consumo finale, ma è più preciso parlare di “usi finali” perché questi includono gli investimenti che non sono consumi)
• A la matrice dei coefficienti tecnici
• I la matrice identità

Da queste definizioni deriva: Q = Z + D
Possiamo sfruttare l’equazione Z = A.Q e riscrivere Q come
Q = A.Q + D
Q – A.Q = D
(I - A).Q = D

Pre-moltiplicando a destra e a sinistra per (I - A)^-1 e otteniamo:
(I-A)^-1.(I-A).Q = (I - A)^-1.D

Possiamo quindi concludere che
Q = (I - A)^-1.D

Attento: la notazione è da evitare: la notazione (I-A)^-1.D rende immediatamente chiaro che si tratta di una pre-moltiplicazione (o divisione se vogliamo). In algebra matriciale si distingue la divisione a sinistra e la divisione a destra (M/N) e (M\N) che corrispondono a due operazioni diverse. La notazione proposta sopra evita ambiguità.

Questa equazione dice, per qualunque livello della domanda D, qual è il livello complessivo di produzione dell'economia, inclusi i consumi intermedi.

Con notazioni matriciali dettagliate.

Poi bisogna fare l'inversa di I-A. Nel caso di matrici grandi si usano dei calcolatori.

Simulazione di un cambio nel livello di domanda

Cosa cambia se al posto di D: avessimo D':

[200]

[100]

Allora dovrei sostituire nella formula Q = (I-A)^-1.D con D’. Essendoci dei cambiamenti esogeni della domanda, avremo impatti sulle variabili endogene, in questo caso la produzione complessiva.

Oltre al livello di produzione complessiva, il modello...