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Analisi delle proprietà di produzione nel lungo periodo
Esistono due proprietà di particolare interesse nel contesto della produzione nel lungo periodo:
- Produttività marginale: indica di quanto cambia la produzione quando aumenta la quantità di un singolo argomento o fattore.
- Economia di scala: indica di quanto cambia la produzione quando i diversi fattori aumentano nella stessa proporzione.
Molte di queste proprietà si esprimono più facilmente se si suppone che la funzione di produzione sia continua e derivabile.
Prodotto marginale
Nel breve periodo, si può osservare come cambia la produzione in funzione della quantità di lavoro, KdF( , L), dove K rappresenta una quantità fissa di capitale.
Nel lungo periodo, si può calcolare il prodotto marginale rispetto al lavoro, KdL, e/o anche rispetto ad altri input, se necessario.
Il prodotto marginale è decrescente, seguendo la legge dei rendimenti decrescenti. Nel caso generale, si osserva che i rendimenti decrescono.
situazione può essere osservato sia a livello dell'azienda che a livello macroeconomico. A livello più globale, ossia guardando allo sviluppo storico di un'economia nazionale, rientra un altro fenomeno: ossia il fatto che i fattori non sono tutti così produttivi. Pensiamo per esempio alla terra, esistono delle terre molto produttive altre meno. È prevedibile che le terre più produttive siano utilizzate per la coltura prima delle altre. Storicamente possiamo dunque aspettarci al fatto che la produzione (in particolare la produzione agricola) ha rendimenti decrescenti. È solo perché la qualità della terra non è illimitata e la sua qualità non è uniforme, e perché man mano che la popolazione aumenta viene coltivata terra di qualità inferiore o in posizione meno vantaggiosa, che si paga una rendita per il suo uso. Quando, col progredire della società, viene messa aColtura una terra di secondo grado di fertilità, si forma subito una rendita su quella di prima qualità, il cui ammontare dipenderà dalle differenze di qualità di queste due porzioni di terra." David Ricardo, 1817, Principi di Economia Politica e dell'Imposta, UTET, p.224.
Economie di scala
Uno studio più complessivo delle funzioni di produzione richiede anche di analizzare come la quantità prodotta cambia in funzione di un cambiamento contemporaneo di K e L. In questa casistica, indichiamo la funzione di produzione con F(K, L) e valutiamo cosa può accadere se varia K e L della stessa proporzione (2 per esempio, per indicare un raddoppio nella disponibilità di ogni fattore). Possiamo trovarci in diverse situazioni:
- In questo caso raddoppiando gli Input produco più del doppio. Questo vuole anche dire che il costo unitario dei prodotti si abbassa all'aumentare della produzione.
variazione relativa di ΔB/B1, che si può anche scrivere in modo più sintetico come ΔB/B1
A B B2 B1- ΔB/B1B1ΔA/A
omettessimo l'indice corrispondente alla situazione iniziale otterremo, a condizione di non dimenticare che questa elasticità può prendere valori diversi ΔB/B per diversi valori iniziali e finali e A B A B1 1 2 2
Molto spesso questo concetto si applica quando si suppone che sia una funzione di , in tale caso l'elasticità indica quanto la variabile abbia un effetto A B B(relativo) forte su .
Nota:
- L'elasticità può essere stimata sia per segmento o intervallare (fra due punti osservati) sia per variazioni infinitesimali (quando la variazione ipotizzata di tende verso 0).
- In un grafico dove e sono portati sugli assi, una retta corrisponde a un'elasticità variabile, mentre un'elasticità costante corrisponde (tranne in alcuni casi particolari poco probabili) a una
curva.Versione ProvvisoriaElasticità della produzione
Tale elasticità può essere calcolata rispetto al lavoro e rispetto al capitale come:
dYY che è l’elasticità della produzione rispetto al lavoro che ci dice partendo da un certo valore della produzione e del lavoro, come aumenta la produzione quando dLL varia il lavoro;
dYY che è l’elasticità della produzione rispetto al capitale (utilizziamo qua la notazione come equivalente alla notazione delta nell’esercizio precedente).
ddKKRapporto fra SMST e produttività marginale∂Y ∂Y
La produttività marginale dei fattori o può essere utilizzata per mettere in evidenza alcune proprietà. Ad esempio, il saggio marginale di sostituzione∂K ∂LdL(tecnica) al lavoro può anche essere scritto in base alla produttività dei fattori.
SMST = -K/L dK
Vediamo come cambia la produzione quando modifico la quantità di capitale e di lavoro.
Supponiamo un'azienda che parte da una certa situazione e vediamo cosa succede alla produzione in base alla variazione di capitale e di lavoro. La dimostrazione più facile ricorre al concetto di differenziale totale che collega la variazione degli argomenti della funzione di produzione e la variazione della produzione e si può esprimere come:ΔY = ΔK × ∂Y/∂K + ΔL × ∂Y/∂L
Se ci muoviamo su un isoquanto, abbiamo:
ΔY = 0 = ΔK × ∂Y/∂K + ΔL × ∂Y/∂L
Da cui:
ΔL/ΔK = -(∂Y/∂K) / (∂Y/∂L)
Dunque, abbiamo trovato un modo di scrivere il saggio marginale di sostituzione (tecnica) in funzione della produttività dei fattori. Consiglio: cercare un metodo mnemotecnico per non confondersi fra capitale e lavoro fra numeratore e denominatore nel saggio marginale di sostituzione tecnica. Si vede chefra le tre scritture proposte alla riga precedente il termine sopra la barra di frazione si alterna fra K e L. Il differenziale è una nozione matematica che calcola un'approssimazione lineare della variazione di una funzione al variare di tutti i suoi argomenti per una variazione di tutti i suoi argomenti. Il concetto potrebbe non essere ancora stato presentato agli studenti.
Versione Provvisoria
Elasticità di sostituzione
Il concetto di elasticità di sostituzione ci dice come varia l'intensità di capitale in base a come varia il saggio marginale di sostituzione tecnica. È quel concetto che ci servirà ad esprimere come la variazione del saggio marginale di sostituzione tecnica va a incidere sul rapporto. Si tratta di un'applicazione del concetto K/L di sostituzione alla produzione. È il rapporto fra:
(ΔK/K) / (ΔL/L)La formula relativa del saggio marginale di sostituzione tecnica (ossia il rapporto tra la variazione del saggio marginale di sostituzione e il valore del saggio marginale di sostituzione) è:
ΔSMST/dK = (ΔdLL/K) / (dY/dL)
Riscrivendola in modo più semplice, possiamo ottenere:
SMST = - (dLL/K) / (dY/dK)
Mettendo insieme il numeratore e il denominatore, otteniamo un'espressione complessa: elasticità di sostituzione = K * (ΔL/L) / (ΔY/Y) * (dY/dK) / (dY/dL)
Se proviamo a esprimere questa espressione con una frase, potrebbe essere: "di quanto cambia relativamente l'intensità di capitale, quando cambia relativamente il rapporto tra produttività del lavoro e del capitale."
Questa formula è utile per caratterizzare alcune funzioni di produzione.
Vedremo ad esempio un caso...
interessante: l'espressione sopra potrebbe assumere valori diversi in base alla combinazione di e utilizzati nella produzione. Ma potremmo anche fare un'ipotesi molto comoda per diversi calcoli ovvero che quel rapporto non cambi quando cambia il livello di e di . Per esempio, se il costo del lavoro si riduce, l'azienda tenderà a usare più lavoro, la quantità di capitale si adatterà secondo l'elasticità calcolata... ma l'elasticità sottostante a questo meccanismo rimarrà.
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