Statistica e Metodologia della Ricerca

I NDICE

I. _______________________________________________________________________ 3

INTRODUZIONE

II. ________________________________________________________________________ 5

LA STATISTICA

III. ______________________________________________________________________ 6

LA PROBABILITÀ

IV. __________________________________________________________________________ 7

LE VARIABILI

V. ______________________________________________________________ 8

STATISTICA DESCRITTIVA: _______________________________________________________ 8

INDICE DI TENDENZA CENTRALE

VI. ______________________________________ 11

STATISTICA DESCRITTIVA: INDICI DI DISPERSIONE

VII. _______________________________________________________ 13

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

VIII. __________________________________________________ 15

CAMPIONAMENTO E DISTRIBUZIONI

IX. 17

TEST DI SIGNIFICATIVITÀ______________________________________________________________

X. _______________________________________________________________ 22

TEST SU UN CAMPIONE

XI. ______________________________________________________________ 26

TEST SU DUE CAMPIONI

XII. ____________________________________________________________________________ 30

LA STIMA

XIII. _____________________________________________________ 33

REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE

XIV. ______________________________________________________________________ 34

CORRELAZIONE

XV. __________________________________________________ 36

OSSERVAZIONI E SPERIMENTAZIONI

XVI. ________________________ 40

ORGANIZZAZIONE E PIANIFICAZIONE DI UNA RICERCA CLINICA 1

2

I. I

NTRODUZIONE



Bias cognitivi Tversky e Kahneman

Tunnel della mente (errori)

Bias pericolosi:

 Il framing (incorniciamento, fregatura)

 L’ancoraggio

 L’eccesso di informazione

 La cecità alla probabilità

 L’errore del campanaio



I principi di Serendip la casualità

I metodi pseudoscientifici (errori scientifici):

 Tenacia (impermeabilità alle prove)

 Intuizione (auto-evidenza)

 Autorità (ipse-dixit)

 Razionalismo senza empirismo

 Empirismo senza razionalismo (associazioni casuali che diventano causali)

Fasi logiche della scoperta scientifica:

1. Osservazioni, intuizioni

2. Identificazione del problema

3. Formulazione di un’ipotesi

4. Concezione di un esperimento per la verifica dell’ipotesi

5. Realizzazione dell’esperimento

6. Risultati dell’esperimento

7. Conclusioni sulla base dei risultati

Successo e fallimento di un esperimento

Lo scienziato televisivo che borbotta tristemente: “L’esperimento è un fiasco; non siamo

riusciti a ottenere quello che speravamo” è vittima di un copione scadente. Un esperimento 3

che non ottenga i risultati previsti non è un fiasco. Lo è solo quando non fornisce alcuna

conclusione valida, in un senso o nell’altro, rispetto alle ipotesi di partenza.

Pirsig RM (1974) Zen and the Art of Motorcycle Maintenance

■ □ ■ 4

II. L S

A TATISTICA

La statistica è la matematica dell’esperimento. Ci aiuta a prendere decisioni

nell’incertezza.

A differenza della matematica, che usa un metodo logico deduttivo, dal generale al

particolare, la statistica usa metodo induttivo, dal particolare al generale. Ha componente

matematica, ma è il contrario di essa.

Esistono due diversi approcci di statistica:

- Approccio descrittivo: si limita a descrivere lo stato di una popolazione o di un

campione.

La popolazione è un insieme di elementi caratteristica di quelli elementi (

non

o ).

devono essere persone

Il campione è una popolazione in miniatura, estraendolo “casualmente”

o rendendolo così rappresentativo, e lo si usa pere inferire sulla popolazione. Il

1

campionamento invece è l’estrazione di un campione.

- Approccio inferenziale (dimostrazione)

■ □ ■

Errore Metodologico: campionare una popolazione, inferire su un'altra.

1 5

III. L P

A ROBABILITÀ

La probabilità, nata col gioco d’azzardo, è una branca della matematica senza ancora

una definizione precisa e soddisfacente. È un qualcosa che si applica, che si aspetta che

accada.

I primi calcoli vennero eseguiti da Pascal, ma Laplace è il primo che ha dato una

definizione di probabilità.

Definizione classica:

- La probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli al

realizzarsi dell’evento e il numero di casi possibili, purché tutti equiprobabili.

=

 evento

p=0 evento impossibile, p=1 certo

La probabilità è sempre compresa tra 0 e 1. Non esiste maggiore di 1 o minore di 0.

La seconda definizione di probabilità ci viene data da Von Mises.

Definizione frequentistica:

- La probabilità di un evento è data dal limite a cui tende la frequenza relativa dei casi

favorevoli, quando il numero delle osservazioni tende all’infinito.

= lim

→∞

La terza definizione di probabilità viene data da De Finetti, anche se questa definizione ha

una scarsissima applicabilità pratica, legata alla soggettività della scelta di chi la applica.

Definizione soggettivista:

- La probabilità di un evento è data dalla somma p che uno scommettitore è disposto a

puntare su un evento E per ottenere l’importo 1 in caso di successo e l’importo 0 in

caso di fallimento, a patto che una volta fissata la posta lo scommettitore sia disposto a

scambiarsi di ruolo col banco (coerenza dello scommettitore). 6

IV. L V

E ARIABILI

Una variabile è una qualsiasi caratteristica che può assumere differenti valori o modalità

in diversi soggetti. Viene definita casuale, o aleatoria, o stocastica.

Quando si parla di variabile casuale si intende una variabile la quale assuma i suoi valori

in accordo a una definita distribuzione di probabilità. In altri termini, ad ogni valore della

variabile è possibile associare la probabilità che esso ha di realizzarsi.

Le variabili si indicano con la lettera maiuscola, mentre una lettera minuscola

accompagnata da un indice numerico al pedice, indica i singoli valori che la variabile

assume (da 1 a n).

• C LASSIFICAZIONE DELLE VARIABILI

Le variabili si possono distinguere in:

• Variabili qualitative (non è possibile effettuare rapporti fra valori diversi):

nominali (categorie) possono essere uguali o diverse:

o  binarie (o dicotomiche) se ammettono due sole modalità;

 politomiche se ammettono più di due modalità.

ordinali (punteggi, giudizi).

o

• Variabili quantitative:

Scala discreta (conteggi);

o Scala continua (misure).

o ■ □ ■ 7

V. S D :

TATISTICA ESCRITTIVA

I T C

NDICE DI ENDENZA ENTRALE

La statistica descrittiva ha lo scopo appunto di “descrivere” in forma sintetica i risultati

delle osservazioni effettuate su un campione (o più raramente sull’intera popolazione).

Le osservazioni possono essere descritte poi mediante indici:

• indici di tendenza centrale: quando descrivono con un solo valore la tendenza

dell’intero campione;

• indici di dispersione: quando descrivono il grado di dispersione del campione

attorno all’indice di tendenza centrale;

• indici di forma: quando descrivono la forma della distribuzione. Si distinguono di

soliti in indici di asimmetria e indici di curtosi (cioè del grado di appiattimento o

appuntimento della distribuzione).

I maggiori indici di tendenza centrale sono: la media aritmetica, media geometrica, media

armonica, mediana, moda.

 La media aritmetica: è data dalla somma dei dati, divisa per il numero dei dati stessi.

Le notazioni con cui si indica la media aritmetica sono molteplici, la maggior parte dei casi

m

x

� . Nel caso però ci si riferisca alla media dell’intera

con (x medio o x soprassegnato), o

popolazione, e non del campione, la media viene indicata con la lettera greca µ.

La principale proprietà della media aritmetica è la seguente:

cioè la somma degli scarti dei dati dalla media aritmetica vale sempre 0, o in altri termini

che gli scarti in negativo dalla media bilanciano quelli in positivo.

In termini fisici significa che la media aritmetica è il baricentro dei dati. 8

Non può essere applicata né su variabili di tipo qualitativo ordinale (infatti per tali variabili

non ha senso confrontare differenze di valori tra loro), né, ovviamente, su variabili di tipo

qualitativo nominale. Pertanto è applicabile solo su variabili quantitative.

 La mediana: è data dal valore centrale di una serie di dati ordinati in modo crescente; in

altri termini, essa è il valore che divide la distribuzione in due parti uguali.

Se i dati sono in numero dispari esiste un solo valore centrale, mentre sei dati sono in

numero pari non esiste un valore centrale; in questo caso si considera la coppia dei due

valori centrali e si prende per convenzione il punto di mezzo tra tali due valori.

La principale proprietà della mediana è rappresentata dalla sua robustezza, ossia dalla

capacità che la media ha di non essere influenzata da pochi valori fortemente estremi.

Può essere impiegata sia su variabili ordinali che su variabili quantitative. Altro campo di

applicazione della mediana si ha quando si ha a che fare con dati troncati. I dati troncati

sono dati a informazione incompleta, sui quali cioè non sia possibile assegnare un valore

preciso, ma solo un valore del tipo: “almeno”, “più di”.

Mo

 ): è il valore della variabile (la modalità nel caso di variabili qualitative) che si

La moda (

ripete con maggiore frequenza. Indica quindi la normalità, la tipicità, della distribuzione.

Si applica a variabili sia qualitative che quantitative. Nel caso di variabili quantitative

continue occorrerà che i dati siano raggruppati in classi: si parlerà quindi di classe modale.

- Una distribuzione può essere:

Unimodale: se presenta una sola moda;

o Bimodale: se presenta due mode;

o Multimodale: se presenta più mode:

o Amodale: se non presenta valore o classe modale.

o

N.B.: in una distribuzione simmetrica, mediana e media aritmetica coincidono; in una

distruzione unimodale e simmetrica, mediana, moda e media aritmetica coincidono.

n-ma

 del prodotto dei dati.

La media geometrica: è definita come la radice 9

Ai fini pratici però si usa la seguente formula:

 La media armonica: è definita come il reciproco della media aritmetica del reciproco dei

dati.

 La relazione tra media aritmetica, media geometria e media armonica

PS: per l’esame la media armonica e geometrica non si deve studiare.

■ □ ■ 10

VI. S D : I D

TATISTICA ESCRITTIVA NDICI DI ISPERSIONE

Gli indici di dispersione sono quelli che descrivono il grado di variabilità (ossia di

dispersione) del campione.

Tra gli indici di dispersione vi sono: varianza, deviazione standard, coefficiente di

variazione, differenza interquartile.

 Varianza: è data dalla media degli scostamenti al quadrato di tutti i dati dalla media

aritmetica. =1 2

∑ ( − ̅ )

=

Il numeratore della varianza prende il nome di devianza, ed è anch’esso un indice di

dispersione: =1 2 2

∑ − ̅

= 2

Esso se si riferisce ad un campione si indica con s , invece se è riferito alla popolazione

con σ 2 .

 Deviazione standard: è data dalla radice quadrata della varianza:

=1 2

∑ ( − ̅ )

�

=

Formula euristica. Dal punto di vista pratico, valgono le considerazioni già fatte per la

varianza, quindi: 2

=1 2

∑ − ̅

�

=

Se essa si riferisce ad un campione si indica con s, invece se è riferito alla popolazione

con σ.

 Coefficiente di variazione: è data dal rapporto tra devianza standard e media aritmetica: 11

= ̅

può anche essere espresso come coefficiente di variazione percentuale:

% = ∙ 100

̅

Il coefficiente di variazione è adimensionale.

 I quantili: sono indici di posizione (ma non di tendenza centrale) di una distribuzione. Essi

dividono la distribuzione in un numero definito di parti uguali. I più utilizzati sono i quartili, i

decili e i percentili.

 I quartili: sono 3 valori che ripartiscono la distribuzione in parti uguali. Sono indicati con

Q (è anche la mediana) Q

Q 1, 2 , 3.

Per il calcolo dei quartili, ci sono tre casi:

1. n è pari: essi sono divisibili per 4 allora basta dividere i dati in quattro parti uguali;

2. i dati sono pari, quindi si duplicano;

3. n è dispari: se non sono divisibili per quattro basta duplicare i dati finché non si

arriva a un numero divisibile per 4.

 I decili: sono i 9 valori che ripartiscono la distribuzione dei dati in 9 parti uguali. Sono

indicati con D , D , …, D .

1 2 9

 Differenza o distanza interquartile: è data dalla differenza tra terzo e primo quartile;

∆= −

3 1

■ □ ■ 12

VII. D P

ISTRIBUZIONI DI ROBABILITÀ

Una distribuzione di probabilità è una legge che associa a ogni valore che la variabile può

assumere la probabilità che tale valore ha di realizzarsi. Cioè è una qualunque legge che

associa la sua probabilità ad ogni valore. → ()

Tra le distribuzioni di probabilità vi sono: la distribuzione binomiale (Bernoulli) e la

Gaussiana.

 Distribuzione nominale: si applica a variabili discrete tipo “numero di successi su n

osservazioni, nel senso che la probabilità di successo p nella singola osservazione resti

costante per tutte le n osservazioni: −

( )

= � �

dove x è la variabile; n è il numero di osservazioni; p è il probabilità di successo; q=1-p è la

probabilità di insuccesso. Nelle distribuzioni simmetriche p=q.

Media, varianza e deviazione standard di una binomiale sono dati da:

= ∙

2

= ∙ ∙

= � ∙ ∙

 Distribuzione Normale Gaussiana: è una delle più utilizzate funzioni di densità di

probabilità. 1 1 2

− (−)

( )

= 2

2

√2 13

è la variabile, µ è la media, σ è la deviazione standard (DS).

dove: x

La Gaussiana è sempre positiva, è simmetrica rispetto a µ, ha un massimo di

corrispondenza a µ (pertanto è anche moda della distribuzione), ha due punti di flesso, e

l’area sottesa della curva vale 1.

 La Gaussiana standardizzata: è una Gaussiana con parametri:

=0 =1 z

media µ , deviazione standard σ . Si indica con la lettera .

1 1 2

− 2

( )

=

√2

Il passaggio da una normale gaussiana ad una standardizzata avviene mediante la

formula di standardizzazione: −

=

■ □ ■ 14

VIII. C D

AMPIONAMENTO E ISTRIBUZIONI

In statistica si definisce Popolazione o Universo un insieme di elementi aventi una

caratteristica in comune.

 Il processo di campionamento deve garantire la rappresentatività della popolazione, e

implica due aspetti:

1. il campione deve essere “randomizzato”, cioè ogni elemento della popolazione deve

avere la stessa probabilità di entrare a far parte del campione. Qui prende il nome di

“unità di campionamento”.

2. Il campione deve essere adeguatamente numeroso.

Il processo:

popolazione campionamento campione inferenza popolazione

   

Il valore atteso, o media, della distribuzione delle medie campionarie è uguale al valore

atteso, o media, della distribuzione della variabile nella popolazione.

�

( )

= () 15