Statistica - Domande e formulario

• A ∪ B ⊆ A
• A ∪ A = A
• A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A
• A ⊆ B ⇒ B^C ⊆ A^C
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
• A ∩ Φ = Φ
• A ∪ Φ = A
• A ∪ S = S
• A ∩ S = A
• (A^C)^C = A
• A ∩ A^C = Φ
• A^C = S \ A
• A ∩ B = A ∪ B
• A ∩ A = A

• P(S) = 1
• P(Φ) = 0
• P(A^C) = 1 - P(A)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Probabilità Condizionata

• P(A|B) = P(AB) / P(B)
• P(B|A) = P(BA) / P(A)
• P(A|B) = 1 - P(A|B)
• P(CA|B) = P(A) / P(S)

Probabilità Totale

P(E) = Σ P(ε_i)P(E|ε_i)

Formula di Bayes

P(E_k|F) = P(E_k)P(F|E_k) / Σ P(E_i)P(F|E_i)

Indipendenza di Eventi

• P(AB) = P(A)P(B)
• P(A|B) = P(A)
• P(B|A) = P(B)

Regola Moltiplicativa

P(E₁, E₂, ..., E_n) = P(E₁)P(E₂|E₁)P(E₃|E₁, E₂)...P(E_n|E₁, E₂, ..., E_n-1)

Regola d'Addizione

P(E₁ ∪ E₂ ∪ E₃) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) - P(E₁ ∩ E₂) - P(E₁ ∩ E₃) - P(E₂ ∩ E₃) + P(E₁ ∩ E₂ ∩ E₃)

Funzione di distribuzione cumulativa

F(x) = P(X ≤ x)

Funzione di distribuzione discreta

P(X = x_i) = p_i con i = 1,2,...,n

Funzione densità di probabilità

F(x) = ∫_-∞^x p_i(x)dx = P(X ≤ x ≤ dx)

Media o valore atteso

μ_X = E(X) = ∑ x_i p_i(x)

= ∫_-∞^+∞ x p_i(x) dx

E(X + Y) = a E(x) + b E(y)

Varianza

σ²_X var(X) = E(X - μ_X)² = ∑ (x_i - μ_X)² p_i(x_i)

Deviazione standard o scarto quadratico medio

σ_X = √σ²_X = √var(X)

Covarianza

cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))

Correlazione

ρ_xy = σ_xy / (σ_xσ_y)

Distribuzione di Poisson tronca in zero

P_X(x) = { ^λx/_x! * e^-λ per x = 1, 2, ..., n

{ 0 altrove

Distribuzione di Poisson censurata

P_X(x) = { ^λx/_x! * e^-λ per x = 0, 1, 2, ..., k - 1

P(X = k) = P(X ≥ k)

0 altrove

Distribuzioni continue

Distribuzione uniforme (o rettangolare)

P(X < x) = p^x ∀ x ∈ ℝ (Prendeva un valore fissato è nulla integrale uno)

f_X(x; a, b) = { 1 / (b - a) per a ≤ x ≤ b

{ 0 altrove

E(X) = (a+b)_/2 var(X) = (b-a)²_/12

F_X(x) = { 0 per x < a

{ (x-a) / (b-a) per a ≤ x ≤ b

{ 1 per x > b

Distribuzione normale (di Gauss o Laplace)

f_X(x; μ, σ²) = 1 / 2πσ e^{-1/(2σ2)(x-μ)2}

per -∞ < x < ∞

con -∞ < μ < ∞, σ > 0

E(X) = μ var(X) = σ²

X_i ~ N(μ_i, σ_i²) indipendenti: X₁ + X₂ ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)

Distribuzione normale standard

Z ~ N(0,1)

f_Z(z) = 1 / 2π e^-z2/2

F_Z(x) = Φ(x) = ∫_a^x 1 / 2π e^-v2/2 dv

X ~ N(μ,σ²)

z = (X-μ)/σ ~ N(0,1)

Definire la funzione di distribuzione cumulativa (c.d.f.) e le sue proprietà

Data una v.c. reale X, si definisce funzione di distribuzione cumulativa F_X(x) (o distribuzione cumulativa) la funzione che fa corrispondere a ciascun numero reale x, con codominio [0,1], il numero reale

F_X(x) = P(X ≤ x) = P({s: X(s) ≤ x} ⊆ T)

La funzione di distribuzione può essere vista come distribuzione di massa della v.c. in particolare, il grafico della funzione può presentare dei “salti”, nel caso in cui la v.c. abbia valori di massa (v.c. discreta), oppure essere continuo. La funzione di distribuzione determina se stessa e qualsiasi altra funzione di una variabile aleatoria nello spazio di probabilità _X → _V

I valori possibili della funzione di distribuzione sono X(s) ⊆ X ∩ {f} e [0,1]

1. F_X(x) è una funzione monotona crescente (cioè non decrescente) cioè per ogni x₁, x₂ tale che x₁≤ x₂ si ha F_X(x₁) ≤ F_X(x₂)
2. F_X(x) è continua da destra cioè si ha: lim_x→d F_X(x) = F_X(x)R.s.o.

Definire la funzione di distribuzione per una v.c. discreta indicando le sue proprietà

Data una v.c. discreta X con codominio {x₁, x₂, ..., x_n} ⊆ R la funzione p_X(x) definibile da

p_X(x) = { P(X = x) se x = x_i con j=1,...,m_X 0 se x ≠ x_j

Proprie della funzione di densità discreta di X (0, funzione di P; funzione di PDF usata) La funzione di densità discreta p_X(x) è una funzione da R nell’intervallo chiuso [0,1] tale che gode delle seguenti proprietà

1. p_X(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R (può accadere che si può dire che P(X=a) per ogni x < x_i per ogni x se x potrebbe essere qualsiasi)
2. ∑_i p_X(x_i) = 1 dove {a contiene ala etica a N⦵ punto massa} x₁, ..., x_mX

Definire la funzione di densità di probabilità e le sue proprietà

Se la v.c. X è continua, la funzione p_X(x) vale per sé:

F_X(x) = ∫_-∞^X p_X(x) dx

Proprie della funzione di densità di probabilità di X (e anche sola funzione di densità) Le proprietà di cui gode la funzione di densità di probabilità sono analoghe a quelle della funzione di densità discreta

1. p_X(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R
2. ∫_-∞^∞ p_X(x) dx = 1

Inoltre vale la formula: P(a < X ≤ b) = F_X(b) - F_X(a) = ∫_a^b p_X(x) dx