Statistica - Domande e formulario

Operazioni insiemistiche

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

A ∪ ∅ = A

A ∩ ∅ = ∅

A ∪ S = S

A ∩ S = A

A ∪ A = A

A ∩ A = A

A ∩ A^c = ∅

A ∪ A^c = S

A^cc = A

Probabilità

P(S) = 1

P(∅) = 0

P(A^c) = 1 - P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Probabilità condizionata

P(A | B) = P(AB) / P(A)

P(B | A) = P(AB) / P(B)

P(A | B) = 1 - P(A | B)

Probabilità totale

P(C) = Σ P(E_i) P(C | P(E_i))

Formula di Bayes

P(E_k | F) = P(E_k) P(F | E_k) / Σ P(E_i) P(F | E_i)

Indipendenza di eventi

P(AB) = P(A) P(B)

P(A | B) = P(A)

P(B | A) = P(B)

Regola moltiplicativa

P(E₁, E₂ ... E_n) = P(E₁) P(E₂ | E₁) P(E₃ | E₂) ... P(E_n | E₁ E₂ ... E_n-1)

Regola d'addizione

P(E₁ ∪ E₂ ∪ E₃) = P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) - P(E₁, E₂) - P(E₂, E₃) - P(E₁, E₃) - P(E₁ E₂ E₃)

Proprietà delle operazioni insiemistiche e probabilità

A B = B A

A B C = A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (C A)

A B = B A

A (B C) = (A B) (A C)

A A = A

A A^c = ∅

A ∅ = ∅

A A^c = S

(A^c)^c = A

(A B)^c = A^c B^c

(A B)^c = A^c B^c

A A = A

Funzioni di probabilità

P(S) = 1

P(∅) = 0

P(A) = 1 - P(A^c)

P(A B) = P(A) P(B) - P(A B)

Probabilità condizionata

P(A | B) = P(B)P

P(A | B) = P(A)

P(A) = P(B | A) P(A)

P(A | B) = 1 - P(A | B)

Probabilità totale

P(C) = P(C) P(E | C) P(E)

P(E | F) = P(E | C) (E)

Indipendenza di eventi

P(A B) = P(A) P(B)

P(A | B) = P(A)

P(B | A) = P(B)

Regola moltiplicativa

P(E E ... E) = P(E) P(E | E) P(E | E E) ... P(E | E E ... E)

Regola d'addizione

P(C ... C) = P(E) P(E) P(E) P(E) - P(E E)

Funzioni di distribuzione e varianza

Funzione di distribuzione cumulativa F_X(x) = P(X ≤ x)

Funzione di densità discreta

Variabile casuale discreta X

p_X(x_i) = P(X = x_i) con i=1,2,...,n

p_X(x) = 0 se x ≠ x_i

Funzione di densità di probabilità

Variabile casuale X continua

F_X(x) = ∫_-∞^x p_X(x) dx = P(X ≤ x+dx)

Media o valore atteso

µ_x = E(X) = Σ x_i p_X(x_i)

Se la v.c. X è discreta con punti assunzione X₁,...X_n

E(X) = ∫ x p_X(x) dx

φ(x) = E(σx) = Σ σ x p_X(x_i)

Varianza

σ_x² = var(X) = E(X - µ_X)² = E(X²) - E(X)²

Se X v.c. discreta con punti assunzione X₁,...X_n

Se X v.c. continua con funzione di densità p_X(x)

Deviazione standard o scarto quadratico medio

σ_X = √σ_x² = √var(X)

Coefficiente di correlazione

ρ_xy = σ_xy / (σ_xσ_y)

Covarianza

cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y))) = E(XY) - E(X)E(Y)

cov(X,X) = var(X)

cov(X,c) = 0 per ogni costante c

cov(X,Y) = cov(Y,X)

cov(aX,Y) = a cov(X,Y)

cov(X+Y,Z) = cov(X,Z) + cov(Y,Z)

cov(aX+bY,cZ) = ac cov(X,Z) + bc cov(Y,Z)

z può si dice incorrelata se cov(X,Y)=0

var(X,Y) = var(X) var(Y)

Disuguaglianza di Tchebycheff

Sia X una v.c. e g(X) una funzione non negativa per ogni x∈R, allora

P(g(X)≥k) ≤ E(g(X))_k ∀ costante k positiva

Sia X una v.c. di valore atteso μ_ξ e varianza σ_ξ² finite e non nulle,

allora per ∀ ξ>0.

P(|X-μ_ξ|≥ξ) ≤ σ_ξ²_ξ² oppure P(|X-μ_ξ|≥kσ_ξ)=P(X≤μ_ξ-kσ_ξ∪X≥μ_ξ+kσ_ξ)≤1_k²

Distribuzioni discrete

Distribuzione uniforme discreta

P_Χ(χ) = P_Χ(x;N) = { 1_N per x=1,2,...,N0 altrove

F_Χ(x) = { 0 per χ