Statistica descrittiva ed inferenza statistica

Formule di Probabilità

(B)PDa questa definizione si possono ricavare i seguenti risultati:(A∣B) = 0 (A ∩ = 0 ∩ = ∅1. se , seP P B) A B(A ∩ = (A∣B)P (B) = (B∣A)P (A)2. P B) P PLa (2) viene detta regola della Probabilità Composta.Indipendenza statisticaDati due eventi A e B, si dice che A è indipendente da B se e solo se si verifica:(A∣B) = (A), conP (B) > 0P PCioè se la probabilità di A non cambia sapendo che si è verificato B.Se A è indipendente da B, considerando che:(A ∩P B)(A∣B) = = (A)P P(B)PAllora si avrà anche che:(A ∩ = (A) ⋅ (B)P B) P PMa dalla (2) discende che:(A ∩ (A)P (B)P B) P(B∣A) = = = (B) (3)P P(A) (A)P PDunque, si è dimostrato che se A è indipendente da B, anche B è indipendente da A; quindi,l'indipendenza è una caratteristica reciproca.Poiché da una qualsiasi delle tre relazioni precedenti derivano le altre due, allora la (1), (2) e (3) possonoessere

Considerate tutte condizioni necessarie e sufficienti per l'indipendenza.

ESEMPIO DELL'ESTRAZIONE DELLE CARTE

Probabilità 7

Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità

Una variabile casuale X è una funzione definita sullo spazio campionario S che associa ad ogni evento ω uno ed un solo numero reale. È anche detta variabile aleatoria o variabile stocastica.

E S

In pratica la Variabile Casuale trasforma lo spazio campionario originale (formato da eventi di natura qualsiasi) in un nuovo spazio campionario formato da numeri reali, che vengono detti determinazione o realizzazione della Variabile Casuale stessa.

Variabili casuali discrete e continue

Una variabile casuale discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali.

Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale.

Variabili casuali discrete

Distribuzione di probabilità

Data una v.c. di crescita X che assume i valori:

, … , ≤ ≤ … ≤conx x x x x x1 2 1 2n n

Si definisce funzione di probabilità (f.p.) di X la funzione che associa ai possibili valori di X le rispettive probabilità di verificarsi.

(x ) = (X = ) → Probabilità che la v.c. X assuma il valore

P P x xi i i

Proprietà:

∑ (x ) = 1

P ii(x ) ≥ 0

Funzione di probabilità (x)

La funzione di probabilità si indica anche con il simbolo in alternativa a .

f(x) P

La fp si può definire anche su tutto l'insieme dei numeri reali (non solo sull'insieme dei possibili valori della vc) nel seguente modo: R= (X = = (x), ∀x ∈f(x) P x) P

In tal caso valgono le seguenti proprietà:

> 0 = , , … ,f(x) x x x x1 2 n

= 0 altrimenti

f(x)+∞∑ = 1

f(X)=−∞X

La cumulata della funzione di probabilità, , di una variabile discreta X viene definita funzione di f(x)(x)ripartizione, :F

Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità 1∑(x)

ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤ F(x2) se x1 ≤ x2 2. Inoltre: lim F(x) = 0 quando x → -∞ lim F(x) = 1 quando x → +∞ 3. È continua a destra, ossia: lim F(x) = F(x0) quando x → x0+ Media (o Valore Atteso) e Varianza di una Variabile Casuale discreta Media (o Valore Atteso) di una V.C. discreta X: E(X) = Σ(x * P(x)) Varianza di una V.C. discreta X: V(X) = Σ((x - μ)^2 * P(x)) dove μ è la media della V.C. discreta X. Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità Osservazione: la media e la varianza di una V.C. sono definite in modo identico alla media ed alla varianza di un carattere statistico (la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è una funzione che associa ad ogni valore della V.C. la probabilità che la V.C. assuma quel valore o un valore inferiore. La funzione di ripartizione F(x) di una V.C. discreta X è definita come: F(x) = P(X ≤ x) Esempio: Lancio di un dado Osservazione: la funzione di ripartizione di una V.C. discreta è sempre una funzione crescente a gradini. Proprietà della Funzione di ripartizione 1. È non decrescente, ossia: F(x1) ≤

La probabilità della V.C. corrisponde alla distribuzione delle frequenze relative di un carattere statistico). L'obbiettivo per cui introduciamo anche qui il concetto di media e varianza è sempre quello di sintetizzare, in questo caso, le caratteristiche della V.C.

Proprietà

Il Valore Atteso e la varianza di una V.C. godono di proprietà analoghe a quelle rispettivamente della media aritmetica e della varianza di un carattere statistico. In particolare:

Valore Atteso: E(aX + b) = aE(X) + b

Varianza: V(aX + b) = a^2V(X)

Se sono V.C. indipendenti:

E(aX1 + aX2 + ... + aXn) = aE(X1) + aE(X2) + ... + aE(Xn)

V(aX1 + aX2 + ... + aXn) = a^2V(X1) + a^2V(X2) + ... + a^2V(Xn)

Variabile Casuale Uniforme [a, -1]

Una V.C. Uniforme discreta assume valori compresi in un certo intervallo con la stessa probabilità = 1/s per = a, a+1, ..., a-s

f(x) = 1/s

0 altrimenti

f(x) Media e Varianza

a+s-1 a+s-1 a+s-1

1 + (a + - 1)a s∑ ∑ ∑= (x ) = = =E[X] x P x xi i i i 2s si=a i=a i=a= + - 1indicando si ottiene

b a s+a b=E[X] 2 2(a - + 1b) s(X) = ⋅V 12 -1s

SI utilizza questa V.C. nel caso di esiti discreti ed equiprobabili

Variabile Casuale di Bernoulli (o dicotomica)

Una V.C. suscettibile di assumere due soli valori viene detta variabile casuale Dicotomica, Binaria o di Bernoulli.

Per convenzione:

= 0 (insuccesso) = 1 (successo)

ex x1 2(X = 1) = (0 < < 1), con P π π

Funzione di probabilità: 1-x) = (X = ) = (1 - = 0, 1x , perf(x P x π π) xi i i

Che equivale a:

Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità 3= (X = 0) = 1 - = (X = 1) =;f(0) P π f(1) P π

Media e Varianza= 0 ⋅ (1 - + 1 ⋅ =E(X) π) π π2 2(X) = (0 - ⋅ (1 - + (1 - ⋅V π) π) π) π2 2= (1 - + (1 -π π) π)

π= − ⋅ [(π + (1 − = −π(1 π) π)] π(1 π)1

Variabile Casuale Binomiale

Sia dato un esperimento casuale descritto da una V.C. dicotomica Z così definita:

=0 insuccesso; = 1 −{ Z f(0) π=1 successo; = (0 < < 1)

Z f(1) π π

Se si effettuano prove indipendenti di questo esperimento, il numero dei successi ottenuti è a sua volta

n 0, 1, … ,una V.C. che può assumere i valori: n

Tale V.C. è detta Binomiale e la sua funzione di probabilità è data da:

INSUCCESSI

SUCCESSI

( )

n −x n x= ⋅ ⋅ (1 − = 0, 1, 2, … ,

f(X) π π) x nx↑

Questa espressione viene definita coefficiente binomiale e si legge "n su x"

Il coefficiente binomiale si calcola nel modo seguente:

( ) n!n = −x x!(n x)!

In generale vale sempre la seguente uguaglianza:

( ) ( )n n= −x n x

Media e Varianza

= (Z + + … + ) = + + … + = ⋅

E(X) E Z Z π π π n π1 2 nV.C.

di Bernoulli(X) = (Z + + … + ) = − + … + − = −V V Z Z π(1 π) π(1 π) nπ(1 π)1 2 n

Proprietà della Binomiale

Il Valore Atteso e la Varianza crescono al crescere di n= 0.5

Per la distribuzione è simmetrica rispetto al valore medioπ n/2→ +∞

Per la distribuzione tende ad essere simmetrica rispetto al valore medion

Variabili casuali continue (a,

Data una V.C. continua X che assume valori in un intervallo è ad essa associata una funzione dettab)funzione di densità (f.d.) definita in modo che:

> 0 < <f(x) a x b1. = 0 altrimentif(x)

Variabili casuali e Distribuzione di Probabilità 42. L'area totale sottesa dalla funzione è uguale ad 1.f(x)+∞ b∫ ∫= = 1f(x)dx f(x)dx−∞ a

La f.d. corrisponde alla funzione di probabilità delle v.c. discrete ma, a differenza di questa, NONrappresenta una probabilità:= (X =V.C. discrete - f.p.: f(x) P x)= (X =V.C.

continue - f.d.: f(x) La f.d. serve a calcolare la probabilità che X assuma un valore compreso in un certo intervallo. Tale probabilità è rappresentata dall'area sottesa dalla curva in quell'intervallo. La probabilità che una V.C. continua X assuma un particolare valore reale è sempre zero: R(X = x) = 0, ∀x ∈ (a, b). Ciò è dovuto al fatto che lo spazio campionario è talmente numeroso (denso) che la sua probabilità unitaria si ripartisce tra un numero infinito di punti da diventare infinitesima. Tuttavia la somma di tutte queste probabilità infinitesime, risulta pari ad 1: ∫ f(x) dx = 1 (X ≤ b). Data una V.C. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X ≤ x) viene detta funzione di ripartizione. F(x) = P(X ≤ x) Per chi ha nozioni di calcolo integrale: F(x) = ∫ f(w) dw da -∞ a x La funzione di ripartizione ci serve

Operativamente, per calcolare la probabilità che la variabile casuale X assuma un valore compreso in qualsiasi intervallo reale, si utilizza la seguente formula:

P(X ≤ x) = ∫[x] P(X ≤ x) dx

P(x < X ≤ y) = P(X ≤ y) - P(X ≤ x)

P(X > x) = 1 - P(X ≤ x)

Valore Atteso e Varianza di una variabile casuale continua:

Media o Valore Atteso:

E(X) = ∫-∞+∞ x f(x) dx = μ

Varianza:

Var(X) = ∫-∞+∞ (x - μ)² f(x) dx = σ²

Notare l'analogia con la media e la varianza definite per le variabili casuali discrete.