Statistica bivariata, II parziale - Economica Cattolica

Statistica (II° parziale)

Frequenza marginale di x

La frequenza marginale di x indica quante volte si presenta un certo carattere "i" di x. Il numero totale di unità statistiche è rappresentato come segue:

μ_i. = ∑_j=1^K μ_ij, μ_.j = ∑_i=1^h μ_ij

Inoltre, ∑_j=1^r μ_.j = ∑_i=1^h μ_i. = μ. La somma delle frequenze marginali è uguale al totale delle unità statistiche.

Scatter plot

Uno scatter plot è un grafico che riporta le coppie di modalità (i, del carattere x e j, del carattere y) aventi frequenza. La tabella seguente rappresenta le variabili statistiche marginali:

Statistica (II° parziale)

Consideriamo le seguenti relazioni:

μ_i. = ∑ μ_i.j j = 1; μ_.j μ_i. μ_h. T1 μ_T. μ_.T = μ ∑ μ_.j j = 1 oltre ∑ μ_i. = μ i = 1

Scatter plot μ₁. μ₂. μ₃... μ_h. Variabile statistica marginale μ

Variabili statistiche condizionate

• X | Y:
  • x₁ μ_1j
  • x₂ μ_2j
  • x₃ μ_3j
  • ... ...
  • x_h μ_hj
• μ_i.
• Y | X:
  • y₁ μ_i1
  • y₂ μ_i2
  • y₃ μ_i3
  • ... ...
  • y_k μ_ik
• μ_.j

Frequenze relative

Le frequenze relative sono definite come:

• Congiunte: f_ij = μ_ij / μ
• Marginali: f_i. = μ_i. / μ e f_.j = μ_.j / μ
• μ_ij / μ_.j = f_ij / f_.j fissato j
• μ_ij / μ_i. = f_ij / f_i. fissato i

X | Y:

• x₁ μ_1j / μ_.j
• x₂ μ_2j / μ_.j
• ... ...
• x_h μ_hj / μ_.j 1 f_ij / f_.j

Non ho fatto altro che moltiplicare per μ sopra e sotto.

Indipendenza tra caratteri

Indipendenza stocastica

L'indipendenza stocastica (X e Y) si verifica quando c'è uguaglianza tra le frequenze condizionate relative (in tutte le modalità per cui si condizionano) tra loro e con la frequenza marginale (relativa).

Ricorda: n_ij / n_i. = f_ij / f_i. e n_ij / n_.j = f_ij / f_.j

• Essa rappresenta il massimo grado di indipendenza, però qualsiasi indicatore di soddisfatta e di posizione sono uguali (per ogni carattere condizionante).

Formalizzando

1. Tutte le condizionate hanno la stessa distribuzione relativa:
   • n_ij / n_i. = H_i ∀ j (X|Y)
   • n_ij / n_.j = K_j ∀ i (Y|X)
2. Le condizionate sono soddisfatte alle rispettive marginali:
   • n_ij / n_i. = n_i. / n ∀ j
   • n_ij / n_.j = n_.j / n ∀ i

Frequenze teoriche

^_μijt = _{μ.j μi.}/_μ

_fij^t = _{fi. f.j}

Se le frequenze teoriche coincidono con quelle osservate, si ha l'indipendenza stocastica.

Teorema del test

Condizione necessaria e sufficiente affinché X e Y siano indipendenti stocasticamente è che le frequenze osservate coincidano con le frequenze teoriche.

Dimostrazione di necessità

IP: X e Y indipendenti stocasticamente

TS: μ_ij^t = μ._j μ_i./μ

_μ.j/_μ = K_j∀i

μ_ij = K_jμ_i.Σ rispetto ad i

μ_ij = K_jμ

μ._j/_μ = K_j

Allora: μ._j/_μ = μ_ij/μ_ij = μ._j μ_i./_μ (= μ_ij)

Direzione di sufficienza

IFF: m_i,j = m_i. m_.j