Statistica

LA MODA

La moda è la modalità del carattere che presenta la frequenza assoluta, relativa o percentuale più elevata.

Se tale frequenza è maggiore del 50%, la moda è una buona sintesi della distribuzione. Per caratteri

raggruppati, continui o discreti, si procede all’identificazione della classe modale, la quale presenta la

frequenza specifica assoluta, relativa o percentuale più elevata. La classe modale si ritiene rappresentativa

se la sua frequenza percentuale (NON specifica) è maggiore del 50%.

LA MEDIANA frequenza relativa { X ≤ Me } ≥ ½

→

La mediana può calcolarsi per caratteri misurati in scala almeno ordinale. La mediana è la modalità nella

quale cade l’unità statistica che occupa la posizione centrale. Sono presenti diversi procedimenti di calcolo:

1. Carattere qualitativo in scala almeno ordinale:

+1

2

+ 1

2 2

2. Carattere discreto con dati non raggruppati: si calcola la posizione centrale (se N è dispari) o le

posizioni centrali (se N è pari) e la mediana è data dal carattere con frequenza cumulata ≤ al valore

calcolato.

3. Carattere discreto con dati raggruppati: l’identificazione della posizione centrale (o delle posizioni

centrali) deve basarsi sull’ipotesi di uniforme distribuzione delle unità statistiche sulle modalità di

classe, e quindi risultano utili le frequenze specifiche.

4. Carattere continuo con dati non raggruppati:

+

( (

) +1)

2 2

= 2

5. Carattere continuo con dati raggruppati:

( )

() = + ∙ − = :

−1 −1

2

= + ( − ) ∙ :

−1 −1

2

1

= + ( − ) ∙

−1 −1

2

Riassumendo, per caratteri a scala almeno ordinale con dati non raggruppati in classi, la mediana è:

- La posizione centrale nel caso di N dispari.

- Le due posizioni centrali, nel caso di N pari.

Per caratteri con dati raggruppati in classi, la seguente formula riunisce in sé il calcolo della mediana per

carattere riclassificato discreto o continuo:

−

−1

= + ( + ) ∙

−1 −1

2

I QUARTILI, I DECILI, I CENTILI è necessario ordinare i valori

→

I quartili sono modalità che dividono la serie ordinata dei valori in quattro parti uguali. Il secondo quartile

coincide con la mediana. Per definire i quartili in modo che il medesimo procedimento possa, poi essere

applicato per i decili e i centili, è necessario introdurre la nozione di posizione non intera, nell’ordinamento

non decrescente di valori. [0,

= + ∙ ( − ) ∈ 1]

(+) () (+1) ()

La mediana, sia per N pari che per N dispari, è data da:

= +1

( )

2

= = 1, 2, 3

+1

( ∙ )

4

= = 1, 2, … , 9

+1

( ∙ )

10

= = 1, 2, … , 99

+1

( ∙ )

100

MEDIA ARITMETICA SEMPLICE (M ) MEDIA ARITMETICA PONDERATA (M )

1 1

1 1

= ∑ = ∑ ∙ ∑ ∙

1 1

=1 =1 =1

MEDIA ARMONICA SEMPLICE (M ) MEDIA ARMONICA PONDERATA (M )

-1 -1

1

= =

−1 −1

1

∑

∑ ∑

=1

=1 =1

MEDIA GEOMETRICA SEMPLICE (M ) MEDIA GEOMETRICA PONDERATA (M )

0 0

1 1

= (∏ )

= (∏ )

0 0

=1 =1

MEDIA QUADRATICA SEMPLICE (M ) MEDIA QUADRATICA PONDERATA (M )

2 2

1

2 1

2

2 2

√ √

= ∑ = ∑ ∙

2 2

=1 =1

MEDIA POTENZIATA SEMPLICE (M ) MEDIA POTENZIATA PONDERATA (M )

S S

1 1

1 1

= ( ∑ ) = ( ∑ ∙ )

=1 =1

MEDIA ARITMETICA

Dati N valori x , …, x , la media aritmetica è la loro somma divisa per il loro numero. Se alcuni valori sono

1 N

ripetuti, la media aritmetica si dice ponderata, ovvero ciascun valore è moltiplicato per la rispettiva

frequenza. La media aritmetica ha 5 proprietà:

0. Internalità secondo Cauchy: la media aritmetica appartiene all’intervallo chiuso d’estremi il valore

minimo ed il valore massimo, cioè: x ≤ M ≤ x

(1) 1 (N)

DIMOSTRAZIONE

1 1 1

≤ ≤ = 1, … , ∑ ≤ ∑ ≤ ∑

1 (1) () ()

=1 =1 =1

1. I proprietà: la somma degli scarti dei valori dalla media aritmetica è nulla. In formula:

)

∑( − = 0

1

=1

DIMOSTRAZIONE

)

∑( − = ∑ − ∑ = ∑ − ∙ ℎè

1 1 1

=1 =1 =1 =1

1

= ∑ ∑ − ∙

1 1

=1 =1

2. II proprietà: la somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante reale A è minima se A = M ,

1

cioè il segno di eguaglianza si ottiene solo per A = M .

1

2 2

)

∑( − ) ≥ ∑( − ≡ ()

1

=1 =1

DIMOSTRAZIONE

2 2

) (

∑( − ) = ∑[( − + − )] =

1 1

=1 =1

2 2

) ) ( )

= ∑( − + ∑( − + 2 ∙ − ) ∙ ∑( − =

1 1 1 1

=1 =1 =1

2 2

) ( )

= ∑( − + ∙ −

1 1

=1

3. III proprietà: La media aritmetica complessiva di più gruppi parziali è uguale alla media aritmetica

ponderata delle medie parziali, con pesi pari al numero di valori di ciascun gruppo.

1 () ()

= ∑( ∙ ) à

1

1 1

=1

DIMOSTRAZIONE

()

= è à

1

+ + ⋯ +

1 2

= = =

1

(1) (2) ()

∙ + ∙ + ⋯ + ∙ 1

1 1 1 2 1 ()

= = ∑ ∙

1

=1

4. IV proprietà: se i valori x vengono trasformati nei valori y = a + bx (si suppone che vi sia una relazione

i i i

di linearità tra i caratteri x e y), con a e b due costanti, allora vale la seguente:

()

= + ∙ ()

1 1

DIMOSTRAZIONE

1

()

ℎè = ∑ = + ∙

1

=1

1 1 1

() )

= ∑( + ∙ ∑ + ∑ ∙ =

1

=1 =1 =1

1

= + ∙ ∑ = + ∙ ()

1

=1

Sono presenti altre proprietà della media aritmetica:

a. N valori ordinati si dicono in progressione aritmetica se la differenza fra termini consecutivi è costante.

b. Proposizione 1: se N valori formano una progressione aritmetica, allora la media aritmetica degli stessi

coincide con la mediana. Si osservi che per una progressione aritmetica, vale:

+ ( − ) + ( + )

(1) () (1) ()

()

= = =

1 2 2

c. Proposizione 2: sia X un carattere quantitativo riclassificato in classi. Allora, nell’ipotesi di uniforme

distribuzione delle unità statistiche all’interno di ogni classe, la media aritmetica coincide con la media

aritmetica dei valori centrali di classe con pesi pari alle frequenze assolute di classe.

(1) ()

∙ + ⋯ + ∙

1

1 1

()

=

1 + ⋯ +

1

Se all’interno di ogni classe vi è uniforme distribuzione, i valori di ogni classe sono in progressione

aritmetica – sia per caratteri continui sia per caratteri discreti – e quindi le medie parziali coincidono con la

+

≡

mediana, in questo caso pari al punto medio delle classi . Pertanto vale:

2

+ +

1 1

∙ + ⋯ + ∙ 1

1

2 2

()

= = ∑ ∙

1

+ ⋯ +

1 =1

La proposizione 2 dà le indicazioni utili al calcolo della media aritmetica per caratteri riclassificati in classi:

- Se sono note le medie aritmetiche di classe, o le somme dei valori delle classi, si procede per

associatività, secondo la III proprietà:

(1) ()

∙ + ⋯ + ∙

1

1 1

()

=

1 + ⋯ +

1

- Se non sono note le medie aritmetiche di classe, si procede i