Statistica Aziendale: Teoria

=Z =Z

incorrelate; si può notare che, essendo e , il vincolo equivale a porre:

1 1 2 2

1 1

( )

' ' ' ' '

cov y , y y y Z Z v R v λ v v

( ) = =v =v = =0

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2

n n λ

Scegliendo il secondo autovalore in ordine decrescente e sostituendolo nel sistema

2

R− λ I v v R

( ) =0 , si ottiene ovvero il secondo autovettore della matrice .

2 2 2

L’estrazione delle componenti principali termina quando il numero delle componenti principali estratte

è uguale al numero delle variabili originarie; nella procedura di estrazione, come per le prime due

v

componenti, il generico vettore che massimizza la varianza della k-esima componente principale,

k

sotto i vincoli di incorrelazione con le precedenti componenti già estratte, è il k-esimo autovettore della

λ

R

matrice di correlazione , dove il corrispondente autovalore costituisce la varianza della

k

y p

componente principale . Al termine della procedura si ottengono componenti principali

k

y

dove la generica è data dalla combinazione lineare:

k [ ]

p

∑ v z

[ ][ ] [ ]

sk 1s

z … z v y

11 1p 1k s=1 1k

y v

=Z = = =

…

… … … … …

k k p

z … z v y

∑

n1 np pk nk

v z

sk ns

s=1

p Z

Delle variabili originarie espresse in forma standardizzata nella matrice si ottiene la matrice

Y n × p p n

di dimensione , le cui colonne sono le componenti principali calcolate per le

unità statistiche osservate:

Y =ZV

V p× p R

Dove è la matrice con colonne uguali agli autovettori della matrice di correlazione

R v v

=λ

. Data la relazione , si ha:

j j j

RV =VL L p× p

Dove la matrice è una matrice diagonale di dimensione con gli autovalori sulla

diagonale principale:

[ ]

λ 0 0

1

L= 0 … 0

0 0 λ p

Dove qui osservare che:

p

1. Le componenti principali sono incorrelate tra loro;

p

2. Le componenti principali sono ordinate in senso decrescente rispetto alla varianza

var y ≥ var y ≥... ≥ var y ≥ var y

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 p−1 p

p p

3. Le componenti principali riproducono la varianza totale delle variabili originarie

p p p

∑ ∑ ∑

var z var y λ p

( ) ( )

= = =

k k k

k=1 k=1 k=1

Le proprietà 2 e 3 sono utili per scegliere il numero di variabili da selezionare e trattenere nella analisi;

bisogna infatti considerare il valore degli autovalori (si considerano le componenti alle quali è associato

un autovalore della matrice di correlazione maggiore o uguale a 1) e la percentuale di varianza spiegata

(si trattengono le componenti principali le cui varianza cumulate superano una fissata quota di varianza

Σ λ p> 0,75

/

totale, in generale ). I criteri sono alternativi e possono portare a risultati differenti:

k=1 k

CAPITOLO 7 - APPLICAZIONE DELL’ACP IN AZIENDA

L’ACP è frequentemente utilizzata nei seguenti casi: (i) la sintesi di indici del bilancio aziendale per la

valutazione delle prestazioni economico-finanziaria dell’azienda e per il confronto con le prestazioni di

altre aziende, (ii) la riduzione del numero di variabili che descrivono i profili dei clienti oppure i loro

giudizi con riferimento a un certo bene, (iii) la riduzione del numero di variabili effettuata prima della

analisi per gruppi (es segmentazione di mercato). Vediamo qui il caso degli indici di bilancio: supposte

n p

aziende e indici di bilancio per ogni azienda con informazioni diverse, poniamo come

obiettivo la interpretazione della situazione economico-finanziaria dell’azienda in base agli indici

disponibili, nonché il confronto con le altre:

Preliminarmente,(1)in primo luogo andiamo a verificare se l’unità di misura e l’ordine di grandezza

coincidono, e in caso standardizziamo; (2)in secondo luogo andremo ad analizzare le correlazioni tra le

variabili originarie: l’ACP conduce a risultati migliori quando le variabili di partenza sono fortemente

correlate. Dall’analisi di questo caso emerge che IND e CR hanno varianze con ordini di grandezza

differenti rispetto alle varianze di ROA e ROE:

Allora è opportuno passare ai dati standardizzati. Dalla matrice di correlazione si nota inoltre che gli

indici CR e IND sono correlati (negativamente), e che gli indici ROA e ROE sono fortemente correlati

(positivamente):

Questa è la situazione ottimale per l’ACP: esistono variabili ridondanti ma anche variabili non correlate

tra loro. PROCEDURA SOFTWARE NELLE SLIDE CAP 10 DA 19 A 23. Per poi attribuire un

p

significato alle 2 componenti principali trovate impieghiamo la correlazione tra queste e le

T

variabili di partenza (matrice di correlazione ); questa è data da:

−1 −1 −1

1 1

' '

2 2 2

T Z Y L Z ZV L L

= = =RV

n n RV T

Rammentando che si riscrive la matrice come:

=VL

[ ]

λ v … λ v

√ √

1

−1 1 1,1 1 1, p

2 2

T L L

=VL =V = … … …

λ v … λ v

√ √

1 p , 1 1 p , p

√ λ v

Dove è la correlazione tra la prima componente principale e la p-esima variabile originaria.

1 p ,1

L’informazione sulle correlazioni tra le variabili originarie e le prime due componenti principali può

essere rappresentata graficamente: Z

Esercizio: 10 aziende, 5 indici di bilancio; partiamo subito con la matrice standardizzata:

ROA ROE ROS CR QR

-0,24 0,72 0,48 2,26 2,15

-0,54 1,21 0,11 -1,13 -1,26

-1,75 -1,7 -1,75 -0,16 -0,41

0,51 0,24 0,63 -0,48 -0,92

-0,84 -1,21 0,26 -0,16 -0,07

0,07 0,24 0,11 -0,32 0,27

1,28 1,21 0,48 -0,97 -0,58

-0,84 -0,73 -1,38 0,81 1,3

1,58 1,21 1,23 0,97 0,27

0,37 -0,24 1,60 -0,84 -0,75

R)

Passiamo direttamente al secondo punto, la correlazione tra le variabili originarie :

(matrice

ROA ROS ROE CR QR

ROA 1

ROS 0,694 1

ROE 0,687 0,659 1

CR -0,066 0,055 -0,012 1

QR -0,156 -0,017 -0,069 0,923 1

Come si osserva vi è una correlazione medio-alta tra gli indici economici (ROA, ROS e ROE), una

correlazione alta per gli indicatori finanziari (CR e QR), che presentano però una bassa correlazione tra

loro; siamo dunque nella situazione ideale per l’analisi ACP. Avremo la seguente matrice dei vettori

V 5 ×5

di dimensione :

[ ]

0,577 0,078 0,140 0,797 −0,07

0,549 0,188 0,621 −0,527 −0,013

V = 0,557 0,135 0,179 0,023

−0,770

0,693 0,008 0,097 0,701

−0,137 0,678 0,010

−0,190 −0,043 −0,709

Dove la prima colonna rappresenta l’autovettore 1. Andiamo ora a stimare il numero ottimale di

variabili da trattenere impiegando la varianza: 5

∑

λ λ λ λ λ λ complessiva ;

=2,32 =1,91 =0,34 =0,29 =0,07 =5=varianza

1 2 3 4 5 1

i=1

λ λ λ λ

+ 4,3

1 2 1 2

=0,478=47,8 =0,382=38,2 = =0,86=86

5 5 5 5

È utile dunque passare ad una situazione con solo 2 variabili.

[ ] [ ]

v 0,892

11

v 0,849

21

t λ ×

√

= =

v 0,861

1 1 31 −0,212

v 41 −0,294

v

51

I primi 3 sono le correlazioni tra la prima componente e gli indici di reddittività; notiamo che mentre

con questi è alta, è invece bassa per gli indici finanziari.

[ ] [ ]

v 0,108

12

v 0,260

22

t λ ×

√

= =

v 0,187

2 2 32 0,958

v 42 0,937

v 52

Qui invece abbiamo il contrario. In seguito si dovrebbe fare il grafico delle correlazioni.

La prima componente principale è un indicatore sintetico concorde di reddittività; al crescere delle

prime c.p. aumenta la reddittività dell’azienda; vi è una forte correlazione positiva con gli indici di

reddittività e debolmente correlata con gli indici finanziari. La seconda c.p. è un indicatore sintetico

concorde di buon equilibrio finanziario a breve termine; al crescere di questa migliora l’equilibrio

finanziario dell’azienda; forte correlazione positiva con indici finanziari, e debole con gli indici

economici.

Rappresentare sul grafico delle osservazioni le posizioni delle aziende rispetto ai loro punteggi nelle

componenti principali è un ottimo sistema per confrontarle:

z

z

33 × v z × v z × v

¿ ( ) ( )

(¿ )+ + =−2,82

es azienda3 y , y

( ) 31 34 41 35 51

31 32 31 × v z × v

¿ ( )

(¿ )+ +¿

11 32 21

y =¿

31

Avremo ad esempio un grafico di questo tipo:

C2 C1

Con ogni punto indicante un’azienda.

CAPITOLO 8 - ANALISI DEI RISULTATI CON IL MODELLO DI REGRESSIONE LINEARE

SEMPLICE , y ,… , x , y , … , x , y

n

Considerando coppie di osservazioni il modello di regressione

(x )

1 1 i i n n

lineare semplice assume che il processo generatore di tali coppie possa essere espresso con una

funzione lineare: Y β , β , x

Y β x ( )

=f +ε

=β + +ε i 0 1 i i

i 0 1 i i

ε E ε

( ) =0

Dove è una variabile casuale con valore atteso nullo e varianza costante

i i

2

Var ε i=1, … ,n

( ) . In forma matriciale avremo:

=σ ∀

i

{

Y x ε

=β +β +

1 0 1 1 1

Y x ε

=β +β +

n 0 1 n n

[ ] [ ] [ ]

Y 1 x ε

[ ]

1 1 1

β 0

Y X= β= ε

= =

… … … …

β 1

Y 1 x ε

n n n

Y Xβ+ε

= ̂ ̂

β β y

+

Impiegando delle stime dei parametri (incogniti) è possibile stimare :

0 1

̂ ̂

y β β x

̂ = +

i 0 1 i y

̂

Il metodo di stima dei parametri individua i valori di tali parametri in modo che i valori stimati di i

y

siano il più vicini possibili ai valori osservati ; ciò equivale a minimizzare la somma dei residui

i

e y y

= − ̂ elevati al quadrato:

i i i

n n n

∑ ∑ ∑

2 2 2

S β e y y y x

( ) ( ) ( )

= = − ̂ = −β −β

i i i i 0 1 i

i=1 i=1 i=1

In termini matriciali avendo:

[ ] [ ]

y e

1 1

y= come vettore della variabile casuale Y e e= il vettore dei residui

… …

y e

n