Statistica aziendale

Statistica aziendale

Prof. Di Marzio

All’interno dell’azienda ci sono delle figure che si occupano dei problemi formulati dal manager in maniera corretta. Per prendere le decisioni si utilizza la statistica: l’azienda ripete nel tempo sempre le stesse operazioni che generano naturalmente un approccio frequentistico, siccome l’azienda ha bisogno di decisioni che sono sempre le stesse. Queste scelte sono ripetute tante volte, costantemente, e allora la statistica si inserisce con i dati statistici frequentistici.

Il manager ripete le stesse operazioni, serve uno strumento per capire se le tecniche di decisione sono adeguate. Non è facile perché ci sono molte variabili che concorrono a complicare il contesto.

I dati sono caratterizzati da continuità, costanza e omogeneità.

Il manager opera in condizioni di incertezza, quindi il modello di esperimento casuale di cui non si conosce l’esito esprime la vita decisionale del manager.

Processo di reperimento di dati

Le fonti dei dati possono essere:

• Interne all’azienda: descrivono l’azienda;
• Esterne all’azienda: descrivono fenomeni che hanno a che fare con l’azienda, tra queste ricordiamo:

• Fonti classiche come quelle provenienti dall’ISTAT o dalla Banca d’Italia;
• Fonti locali/regionali come quelle delle camere di commercio, osservatori regionali (CRESA), istituto Tagliacarne…;
• Banche dati nazionali/mondiali come l’AIDA.

Inoltre i dati vengono reperiti anche attraverso tecniche di benchmarking: confronto tra le quantità del proprio processo aziendale e le quantità del processo dei competitors considerati i migliori nel settore.

Come ottenere i dati: il campionamento

Per campionamento si intende quell’atto del reperire unità statistiche su cui si osserva il fenomeno d’interesse; lo scopo è quello di ottenere stime precise a seconda di dove si opera. Non si può conoscere tutte le unità perché troppo costoso. Con il campionamento si vogliono avere pochi dati che non fanno perdere informazioni sulla popolazione studiata: si estrae un campione che si spera sia il rappresentativo della popolazione. Prima di effettuare il campionamento bisogna conoscere la popolazione.

Esistono vari tipi di campionamento:

Campionamento di tipo probabilistico

1. Di tipo probabilistico: hanno sempre e comunque una forma di casualità, casualità come sinonimo di imparzialità.

a. Campionamento casuale semplice: dalla popolazione a caso scegliamo un individuo, ogni individuo ha la stessa probabilità di essere estratto; la probabilità di estrazione è pari a 1/N. Il campionamento casuale semplice può essere con ripetizione quando una volta estratto l’individuo poi lo rimetto “nell’urna”, quindi si potrebbe ripetere lo stesso individuo nel campione, e può essere senza ripetizione che è considerato migliore in quanto riduce la variabilità.

b. Campionamento stratificato: abbiamo una popolazione di cui conosciamo H variabili, e queste variabili che conosco sono d’aiuto per ottenere un campione rappresentativo in termini di varianza più bassa. In base alle variabili che conosco si costruiscono gli strati, dopodiché si va a campionare proporzionalmente dagli strati per avere un campione più rappresentativo possibile.

Abbiamo una popolazione rappresentata da H variabili stratificate, solitamente si usano tanti criteri di stratificazione (sesso, età, stato occupazionale, residenza…). Poi si estrae casualmente dagli strati; quanto estraggo? In proporzione dallo strato dato dalla numerosità del campione e dalla numerosità della popolazione.

H NΣ H =1
Nh=1

Il campionamento stratificato può essere proporzionale: estraggo una percentuale del campione in ogni strato pari al rapporto tra la numerosità del campione e la numerosità della popolazione. Può essere non proporzionale quando, a seconda di quanto è grande lo strato, in proporzione si prendono più elementi.

Esempio di campione stratificato proporzionale

Popolazione di 3000 individui di cui conosciamo le seguenti variabili: sesso, età, cifra spesa in media in 12 mesi. Ritenendo che c’è connessione tra le variabili, il proprietario del negozio decide di procedere con un campionamento stratificato della popolazione. Gli strati sono incrociati con le caratteristiche conosciute dal proprietario.

Fascia d’età
Sesso Fascia di 18-39 40-59 60+
Spesa
F <= 50 350
euro >50 240
M <=50 180 330
>50 162 300 183 3000

Gli strati sono le celle gialle, ci sono 12 strati e dentro ogni strato quante persone appartengono allo strato.

Vogliamo creare un campione di 350 individui su 3000 che è la popolazione:

n 350
= =0,12
N 3000

0,12 è la frazione di campionamento; utilizziamo la frazione di campionamento per estrarre da ogni strato: es. primo strato

350*0,12=35

e così avanti per tutti gli strati. Come estraggo? Estraggo a caso con una modalità senza ripetizione.

c. Campionamento sistematico: ordiniamo gli individui secondo qualche variabile, poi definiamo due quantità: un numero scelto a caso J e il “passo di campionamento” K. Si parte dall’individuo a cui corrisponde il numero scelto a caso e da quello si aggiunge sempre K, tutto per essere imparziali.

d. Campionamento a grappoli: è un campionamento molto utilizzato dall’ISTAT, consiste nel dividere la popolazione in gruppi omogenei e poi si osserva integralmente alcuni gruppi scelti a caso (grappoli). Es. divido la popolazione in comuni italiani, estraggo dei comuni e osservo tutti gli elementi appartenenti al comune estratto.

e. Campionamento a Stati: sempre utilizzato dall’ISTAT, suddivisione in gruppi omogenei e dentro il gruppo si individuano altri gruppi che vengono estratti a caso e da questi si estraggono gli individui.

Campionamento di tipo non probabilistico

2. Di tipo non probabilistico: altamente discutibili;

a. Campionamento di comodo: come quello degli exit poll, non è affidabile;

b. Campionamento ragionato: gli elementi sono scelti uno a uno dall’intervistatore, ad esempio per misurare l’inflazione si guarda al paniere di beni selezionati per motivi socio-economici da esperti, non sono beni scelti a caso.

Esistono modi alternativi di ottenere un campione. In corrispondenza di ogni modalità esiste una formula diversa per lo stimatore (stimare la media su un campione casuale con ripetizione diverso da senza ripetizione diverso dalla stratificazione).

Per ogni tipo di campione esistono stimatori diversi sia puntuali sia per intervallo.

Fondamentalmente conosciamo:

• Campione casuale semplice con ripetizione: si rimette l’elemento estratto;
• Campione casuale senza ripetizione: si estrae un elemento e non si rimette nella popolazione; la differenza è che il primo può avere campioni che contengono lo stesso elemento più volte, questo no.

Nella realtà pratica si ricorre tuttavia alla ripartizione della popolazione in strati.

• Campionamento stratificato.

Noi abbiamo tutta la popolazione a disposizione, ad ogni elemento si attribuisce un’etichetta; poi si opera il campionamento estraendo le etichette.

Esempio

Un’impresa idraulica che vuole stimare il tempo medio di attesa degli interventi realizzati nell’ultimo mese (utile in termini di ottimizzazione) sulla base di un campione di clienti. L’azienda dispone di una lista di clienti, 115 clienti ciascuno contrassegnato da un numero progressivo (da uno a 115, queste sono le etichette). A ogni questionario c’è un costo quindi è preferibile, in termini di risparmio, intervistare poche persone con un campionamento efficiente: un campione poco numeroso più rappresentativo possibile del totale della popolazione.

Estraiamo due campioni:

• Campione casuale semplice con n=25;
• Campione stratificato proporzionalmente con n=25.

Dobbiamo trovare la variabile di stratificazione più adatta. In questo caso è la fascia oraria della chiamata d’intervento: n e n sono gli strati, il primo fatto da 10 persone_{1 2} che hanno telefonato dalle 20 alle 8, e il secondo da 15 che hanno chiamato dalle 8 alle 20.

{ =10(20.00−8.00)
n 1 =15(8.00−20.00)
n 2

Campione semplice
Etichett 2 2 11 4 8 2 6 11
a 0 8 0 4 1 1 8 0
Y=tem 1 4 3 4 0 3 3 0 4 1 2 0 2 3 2 4 3 3 1 1
po attesa

Campione stratificato
Etichett 8 49 115 18 109 112 99 95
a
Strato 1 2 2 1 1 1 2 2
Y 0 5 2 4 2 1 5 4
Etichet 93 76 103 68 15 25 27 69
ta
Strato 2 2 1 2 1 2 2 1
Y 2 5 1 3 4 3 4 2
Etichet 28 22 20 81 46 69 93 109
ta
Strato 2 2 1 1 2 2 2 1
Y 2 3 2 0

Come calcolo la media di attesa (in ore)? Sommo le ore di tutti quelli appartenenti alla fascia e divido per il numero (10 se è la prima fascia e 15 per la seconda fascia).

Media fascia 1: quanto hanno aspettato le persone che hanno aspettato nella fascia uno (dalle 20 alle 8)? Ymedio1=1,9

Media fascia 2: quanto hanno aspettato le persone che hanno aspettato nella fascia due (dalle 8 alle 20)? Ymedio2= 3,14

Come si calcola la media per il campione casuale semplice

La sommatoria degli elementi diviso N:

N
1 Σ
ý= y i
N i=1

La varianza campionaria:

Σ 2( )−y ý
12 =s
y n−1

La varianza stimata della media campionaria:

2s
2 y=s
ý n

La precisione dello stimatore sulla media

La prima formula ci stima la media; la terza ci dice quando è precisa stima della media, l’auspicio è che sia piccolo. La terza formula misura della precisione della media campionaria. Valori molto lontani dalla media è impossibile sotto la distribuzione 1 ma è probabile sotto la distribuzione 2 [grafico curve]. Questo è l’errore di stima. Se la varianza dello stimatore media campionaria è più o meno alta allora errori di stima più o meno grandi sono più probabili.

La varianza su campioni stratificati deve essere minore di campioni non stratificati.

Nel caso di un campione casuale senza ripetizione si dovrebbe guadagnare in termini di efficienza in quanto non si ripete l’informazione quindi, in termini di errore standard:

Errore campione casuale senza ripetizione
√ 2s ý
( )ES ý= 1−f
n
n=f
N

Errore varianza dello stimatore campione casuale con ripetizione
2s ý
ES ý= n

“f” è la frazione di campionamento; il fattore di destra è uguale al campionamento senza ripetizione. Se estraggo un solo elemento, il campione ha dimensione uno, estrarre con o senza ripetizione non cambia niente. Con e senza ripetizione tendono ad essere diversi con campioni di grandi dimensioni (se estraggo 80 da 100 con ripetizione è possibile che mi ricapita lo stesso individuo).

Tanto è più grande il campione tanto è più probabile che lo stesso individuo compaia più volte nel caso di campionamento casuale semplice.

Tanto più il campione cresce tanto più il campionamento senza ripetizione guadagna in termini di efficienza. Vediamo se questo concetto è rispettato dalle formule della varianza. Tanto più “f” cresce tanto più scende la varianza dello stimatore basato sul campione senza ripetizione quindi è più preciso tanto più è alta la numerosità campionaria. Varianza più bassa significa più preciso e allora la varianza dello stimatore con ripetizione tende ad essere più preciso all’aumentare della numerosità campionaria N.

Tra con ripetizione e senza la media dei campioni si stima con la stessa forma, la varianza no.

Stimatore della proporzione campionaria

Nelle indagini di opinione non è tanto importante la media (ad esempio nelle indagini di marketing). Le risposte ai questionari non sono numeriche ma alternative di tipo categoriale quindi si guarda alla proporzione delle risposte date. La proporzione ci dice la % di persone che preferiscono una certa proposta tra quelle presentate.

La proporzione può essere vista come un’osservazione dicotomica: si dà 1 e 0.

La proporzione si calcola con una media dove le persone che hanno scelto una data opzione hanno valore 1 del carattere dicotomico usato per descrivere la scelta, e 0 se non hanno scelta quella caratteristica.

{ =0
Z
z=variabile dicotomica Z=1

n
1 Σ
Stimatore della proporzione p= Z
in i=1

Vediamo se e come cambia la formula della varianza; errore standard della proporzione del campione casuale semplice senza ripetizione:

√ (1−π )π
( )= (1−f )
ES p
n−1

Ci sta una parte (rossa) che è la parte della varianza su campione con ripetizione.

La proporzione è definibile come media di un carattere dicotomico con modalità 0 e 1.

Esempio

Abbiamo una variabile dicotomica Z definita come:

Z=0 se le ore di attesa minore uguale a 3
Z=1 se le ore sono maggiore di 3
Z=0 quando y= 0,1,2,3
Z=1 quando y=4

Questa variabile Z mi porta a rispondere a questa domanda: qual è la percentuale di persone che aspettano massimo tre ore? Che aspettano più di tre ore?

Abbiamo visto fino ad ora i metodi di stima puntuale solo per il campione casuale semplice con e senza ripetizione.

Metodo di stima puntuale per campionamento stratificato

Metodo di stima puntuale (media e varianza) per campionamento stratificato.

Nel caso di estrazione campionamento stratificato la media è una media ponderata delle medie di strato:

nH H 1 hΣ Σ Σ
´ ´= =
Y W Y W YSTR h h h h
inh=1 h=1 i=1h

La media stratificata è uguale alla sommatoria delle medie degli strati per il “peso” degli strati. Nelle medie ponderate non c’è diviso n perché c’è il peso. Si vede che è la media di uno strato h-esimo.

W = peso dell’h-esimo strato
h
Y = media dell’h-strato
h
n = numerosità dell’h-strato
h
H= numero di strati
Y =i-esima osservazione dell’h-esimo strato.
hi

N num. dello strato della popolazione
h
=W
h= N num. tot della popolazione

Questa formula del peso (una possibile forma) è costruita con dati della popolazione o comunque del campione. Non si usa quasi mai perché se W =N /N si dimostra che tutte le formule del campionamento stratificato vengono a coincidere con le formule del campione casuale senza ripetizione.
h h

È la frequenza relativa dello strato nella popolazione = quante osservazioni sono nello strato sul totale della popolazione.

n h
=frazione
fh= di campionamento
N h

Frequenza relativa dello strato NEL campione.

Varianza del campionamento stratificato

È uguale a quello del campionamento semplice senza ripetizione dove si considerano le varianze dei singoli strati (mi aspetto una media ponderata delle varianze):

Varianza della media = errore standard della media =
y str´¿¿ ¿1¿=ES 2

In particolare è lo stimatore corretto della varianza all’interno dell’h-strato:

S nn1 hΣ ´ 22 ( )= − =¿S Y Y
n ih h−1n i=1h '¿ stimatore corretto della varianza dell h−strato

Stimatore corretto della varianza del carattere nel caso di campionamento con ripetizione:

n1 Σ
2 ( )= −S y ý
in−1 i=1

Questa è uno stimatore della varianza della popolazione E NON DELLA MEDIA.

Stimatore corretto della varianza della media nel caso di campionamento casuale semplice senza ripetizione:

√ 2S ý
( )= ( )¿3 ES ý 1−f
n

Stimatore corretto della varianza della media con campionamento casuale semplice con ripetizione:

√ 2S ý
( )¿ =2 ES ý
n

Discutiamo tutte queste formule, prima ricordiamo una cosa della statistica di base: la varianza della media campionaria era sigma quadro su n:

2σ
( )=var ý
n

L’errore standard o scarto quadratico medio era la radice di questa quantità. Noi ora stiamo parlando della varianza delle medie e quindi saranno tutte divise n perché tutte ritorneranno a questa formula; tutte varianze di media che rispettano la struttura della varianza diviso n.

Le tre formule cerchiate sono le varianze della media. ES(STR) ES(y segnato) senza ripetizione sono delle modificazioni. Nella varianza della media per CSS senza ripetizione (1-f) è il fattore di correzione dovuto al mancato reinserimento dell’individuo osservato.

1) Media delle varianze per ogni strato. In questa c’è la formula 3 calcolata per h-strato.

È sempre la stessa formula ma inseriamo quei fattori che variano a seconda della tecnica di campionamento usato.

Ricordiamo che ci sono due tipi di varianza:

• Del carattere: non c’è diviso n;
• Della media: varianza del carattere diviso n.

Media

Media del campione casuale semplice con ripetizione:

n1 Σ
ý= y i
n =1i

Senza ripetizione:

n1 Σ
y= y i
n =1i

Campione stratificato:

HΣ ´
ý= W Y
h hh=1

n y
hΣ ih=¿Y
h ni=1 h
´¿dove

Per la media la modalità di campionamento incide solo nel caso stratificato dove si deve fare la media ponderata degli strati, mentre per con e senza ripetizione la media è uguale.

Abbiamo visto come la logica di campionamento influenza le formule di media e varianza.

Per quanto riguarda la proporzione dobbiamo ricordarci della dicotomia del carattere:

√ ( )−1π π
( )=