Statistica aziendale

UCL=LC

- √

C n

4

Misurare l’efficienza e la produttività dell’azienda

Un’azienda ha due processi fondamentali: un processo di trasformazione degli input in

output (produzione), e un processo finanziario-economico della fissazione dei prezzi,

del controllo tramite il bilancio ecc… y

- Processo produttivo;

y - Aspetto economico Frontiera di efficienza

finanziario; 

7

Il processo di trasformazione degli 

 input in output è designabile attraverso

6 produttività ed efficienza.

Produttività

La è l’attitudine dell’azienda a produrre con un

4 certo input tanto più output possibile.

A B

Un’azienda ha tanta produttività se una x

x

data quantità di output è raggiunta

4 7 8

attraverso input più piccoli possibile, data la

tecnologia a disposizione.

Efficienza : per efficienza indichiamo un concetto relativo che si ricava dal confronto

con dati esterni all’azienda, è misurata confrontando la propria produttività con

Concetto di funzione matematica: è importante perché attiene alla quantificazione del

legame tra input ed output. Variabile dipendente gli output, indipendente input.

Possiamo pensare:

- Multidimensionale: l’azienda è meglio descrivibile dal punto di vista

multidimensionale, tanti input e un output.

- Unidimensionale: è la base, un input e un output. La produttività si misura con

un rapporto dove al nominatore abbiamo l’output (y) e al denominatore l’input

(x). quanto più grande è “p” tanto maggiore è la produttività:

y

p= x ( ) ( )

con y output alto e x input basso

(x)

y=f y

y Frontiera di efficienza



7 

 6

4 A B x

x

4 7 8

Il rapporto è proporzionale all’inclinazione del vettore che è un indice di

produttività.

Sia alpha che beta possono essere descritti da un vettore: una colonna di

numeri dove il caso alpha è dato dal vettore (8,7) e il caso beta da (4,6). Se

l’azienda alpha impiega 4 a parità di input con beta, alpha ottiene 4 e beta 6. A

parità di input si vede chi ha l’output maggiore. Con l’aumento dell’inclinazione

aumenta l’output ottenuto. Dal punto di vista dell’output, fissando l’output vedo

chi richiedere l’input più piccolo per dire chi è più produttivo tra alpha e beta.

Beta è più produttiva (6/4 = 1,5 ; 7/8 = 0,88).

Problema

È difficilmente interpretabile poiché normalmente perché x e y sono espressi in unità

di misura diverse, quindi il rapporto anche se ha un forte contenuto intuitivo non è

direttamente paragonabile.

Consideriamo la multidimensionalità con “n” fattori produttivi:

( )

y=f x , x , … x

1 2 n

dove f è la funzione di produzione

A variare quindi sono tanti input. La produttività di y è relativa ad un singolo input, si

studia come varia l’output quando un singolo input cambia e gli altri output sono fissi.

Concetto di produttività parziale: Consideriamo la produttività di “y”

rispetto a x tenendo fissi tutti gli altri input diversi da x .

i i

Risolvere il problema dell’unità di misura:

Definiamo un concetto di produttività relativa: la produttività di un’azienda rispetto ad

un’altra. L’indice di produttività tra alpha e beta è definito come:

y β {

x '

>1

αIPβ è più produttiva l azienda β

β

= =

αIPβ y '

<1

αIPβ è più produttivita l azienda α

α

x α

Se volessimo esprimere questo rapporto in un modo alternativo, considerando gli

indici di produttività relativa dell’output sull’input (indice di variazione dell’output e

indice di variazione dell’input), abbiamo:

y y

β β

x y

β α

= =

partendoda αIPβ otteniamo=αIPβ

y x

α β

x x

α α

y Tracciamo la funzione di produzione ideale: il

massimo output dati tutti i livelli di input.

Da sinistra a destra varia la dimensione dell’azienda.

c

 L’azienda A abbastanza efficiente perché ottiene

quasi l’output massimo data una certa tecnologia.

D L’azienda A non sta ottimizzando ma è meglio della

B. C è alla frontiera non può aumentare l’output, è

A B già massimizzato data la tecnologia a disposizione.

Tra D e alpha è meglio D in quanto si osserva la

x distanza delle aziende dalla frontiera.

y β

y α è un rapporto tra2 numeri puri

x β

x α

y β

x β è un rapporto puro ottenuto come rapporto tradue numeri con stessaunità di misura

y α

x α

Esempio

L’input è l’energia elettrica misurata in kilowatt/h. convertendo l’unità di misura da

Kw/h a w/h otteniamo per l’azienda alpha una produttività pari a 0,00088

(p =0,00088) e per beta 0,0015 (p =0,0015). L’indice di produttività RELATIVO, anche

 

cambiando l’unità di misura, non cambia. y 6 6

β

x 4 4000

{ }

x= 320,188,0 β

= = = =1,714

αIPβ y 7 7

{ }

y= 18,175 , … q α 8 8000

{ } x

+

z= x y α

La produttività relativa non è influenzata

dall’unità di misura, mentre la produttività assoluta si.

.

Concetto di efficienza

Abbiamo una combinazione input-output che caratterizza il processo produttivo.

L’efficienza è definibile come distanza di un processo produttivo dal suo massimo

potenziale. Per definizione l’efficienza è già un numero puro essendo la lunghezza di

un segmento (non ha unità di misura).

Grafico che descrive tutte le aziende che producono un determinato output

(rappresentazione grafica di tutti i possibili processi produttivi):

y Tracciamo la funzione di produzione ideale: il

massimo output dati tutti i livelli di input.

Da sinistra a destra varia la dimensione dell’azienda.

c

 L’azienda A abbastanza efficiente perché ottiene

quasi l’output massimo data una certa tecnologia.

D L’azienda A non sta ottimizzando ma è meglio della

B. C è alla frontiera non può aumentare l’output, è

A B già massimizzato data la tecnologia a disposizione.

Tra D e alpha è meglio D in quanto si osserva la

x distanza delle aziende dalla frontiera.

C’è una misura di distanza tra

l’azienda e la frontiera (l’insieme dei massimi livelli di output data la tecnologia)

ovvero il metodo DEA.

Metodo DEA

Dea sta per “data envelopment analysis”, il suo obiettivo è valutare l’efficienza di

un’azienda utilizzando i dati sulla produttività dell’azienda. Definiamo l’insieme di

produzione attraverso 2 vettori:

- Il vettore degli input, “q” elementi; le x sono le quantità impiegate di input

{ }

x= x , x ,… x

1 2 q

- Vettore degli output, “p” elementi; le y sono le quantità prodotte di output

{ }

y= y , y , … y

1 2 p ?=Z , q=2, p=1

Questi vettori si possono concatenare in un unico vettore “z” chiamato processo

produttivo e raccoglie i valori del vettore x e i valori del vettore y, la sua lunghezza

sarà data (p+q).

Esempio: Supponiamo di descrivere il processo produttivo dell’azienda sigma dove si

ottengono 320 paia di scarpe, 188 cinture e 0 borse, utilizzando 18 Kw/h di energia,

165 h di lavoro, 460 chili di cuoio, 0 chili di gomma, 14 chili di colla, 740 metri di filo e

120h di macchina da cucire. Sapere quanto vale p,

{ }

quanto vale q e quanto vale Z.

x= 320,188,0

outp

p=7 { }

y= 18,175 ,…q

ut 

q=3 Input 1

{ }  

+

z= x y

z=10 

Definizione insieme di produzione: Tutti i vettori che descrivono processi



produttivi tecnologicamente realizzabili costituiscono l’insieme di

Input 2

produzione.

p

+¿ z è realizzabile

q ∈

+¿ , y R ¿

( ) ∈

z= x ; y , x R ¿

¿

Z≡

L’insieme di tutti i vettori Z costituiti dalla concatenazione di x e y tale che x è un

elemento di Rq positivo e y di Rp positivo, condizionata al fatto che Z sia realizzabile.

Noi conosciamo “z” della nostra azienda, in quanto conosciamo input e output, ma non

conosciamo Z insieme di produzione dato da tutte le possibili combinazioni di input e

output grazie alle tecnologie. L’insieme di produzione non è noto a priori in quando

rappresenta l’insieme di tutte le possibili combinazioni di input e output

tecnologicamente possibili. L’insieme di produzione va stimato. Introduciamo una

tecnica di stima dell’insieme di produzione facendo delle ipotesi sulla tecnologia

presente nel tipo di mercato che stiamo considerando.

1. Ipotesi 1 -> Ciò che è realizzato è realizzabile: gli “z” osservati sul mercato

fanno parte dell’insieme di produzione Z. Se z esistono significa che sono

fattibili e quindi essendo realizzabili fanno parte di Z.

2. Ipotesi 2 -> Con un dato insieme di input si può ottenere anche meno output di

quelli osservati (una quantità inferiore di output). (Se con 5 e 8 ottengo 9 ma

posso ottenere anche meno di 9). A parità di input si può avere un output

minore.

3. Ipotesi 3 -> una data quantità fissata di output può essere ottenuta con

maggiori quantità di input; un dato output può essere ottenuto con una quantità

maggiore di input rispetto a quello osservato.

Descrizione geometrica delle ipotesi

=(10

z ; 7 ; 26) ?=Z , q=2, p=1

α =(5

z ; 5 ; 9)

β =(

z 4 ; 13 ; 26)

γ =(8

z ; 2; 26)

δ

=(12

z ; 9 ; 45)

ε

Osserviamo 5 processi; lo scopo è ottenere una stima dell’insieme di produzione.

Rappresentiamo geometricamente i 5 processi:

outp

ut 

Input 1  

 

Input 2

Se le linee verdi sono elementi del processo di

produzione sono punti che hanno stesso output con input inferiori:

abbiamo segnato queste linee grazie all’ipotesi 2. L’ipotesi 1 ci ha

permesso di disegnare i puntini. Per avere l’ipotesi 3 dobbi