Statistica - Appunti parte 2

Distribuzione Trinomiale

v.a.

1. P_X_Y = { (n, y): n ∈ {0, 1, ..., n}, y ∈ {0, 1, ..., x}, n+y ∈ {0, 1, ..., h} }
2. P_X_Y (n, y) = _nC_y θ₁ⁿ θ₂ʸ (1-θ₁-θ₂)ⁿ⁻ᵞ

3 costanti caratteristiche: 1, 2, 3

• 0 ≤ θ₁ ≤ 1
• 0 ≤ θ₁ + θ₂ ≤ 1
• 0 ≤ θ₂ ≤ 1

v.a. TRIN (n, θ₁, θ₂)

Applicazioni: ʁ repliche indipendenti di un esp. al. che ammette 3 esiti:

• e₁ = Perché eseguendo I si verifica esito e₁
• e₂ =
• e₃ = ʁ - n - x - y

Propietà:

1. X ~ Bin (n, θ₁, θ₂) - Dim. (come il teo. binomiale)
2. Y ~ Bin (n, θ₁, θ₂) - Dim. (stessa logica)
3. X e Y non sono udip Kₖ P_X_Y + P_X ₓ P_Y
4. Y / 1-X ~ Bin (n - x,
5. X | 1-Y = y ~ Bin (n - y, θ₁ / 1-θ₂)

- Dim. (stessa logica)

Cov(X,Y) = -nθ₁θ₂

ES. □

Distribuzione multinomiale

X = (X₁, ..., X_m)

1. P_X = { x: ∑ x ∈ {0, 1, ..., n}, x₁ + x₂ + ... + x_m ∈ {0, 1, ..., n} }
2. P_X (x) = _nC_{x₁ n-x₁}C_x₂ ... θ₁ˣ₁ θ₂ˣ₂ ... (1-θ₁-θ₂...θₘ)

X ~ MULTIN (n, θ₁, θ₂, ..., θₘ) - ho m+1 costanti caratteristiche.

Introduzione all'Inferenza

• Inferenza = procedimento x induire caratt. non note
• Statistica di una pop. a partire da un campione (info. campionarie) estratto dalla popolazione

Esempio

Voglio verificare accuratezza/regolarità di un sistema produttivo di bulloni (ctrl periodica)

• Def. grandezza Y_x = 1 se bullone difettoso; 0 han perfetto
• Oggetto di inferenza = ddp di Y nel processo produttivo nella pop.

• Y = 1 se bullone estratto è difettoso
• Y = Bernoulli(p)

Inferenza parametrica è condotta rispetto al parametro incognito di una certa classe ddp

• Oggetto di inferenza è formalizzato

NB. Notazione: fdm=fdd - indica entrambe con f

• f (y_i; θ) con θ ∈ ℍ

I Fase Procedimento Inferenziale: Specificazione di un modello probabilistico

• HP. Legge distributiva f (y_i; θ) ∈ ind. di ddp adeguate x l. v.a.
• f (y_i; θ) ∈ f, y_i ∈ Y, θ ∈ ⟨

Esmpio di modelli probabilistici

1. Modello probabilistico Bernoulliano

Sappiamo che E(Y) = ⁴⁄₅:

trasformo il parametro del m. prob. exp λ in un nuovo parametro Ψ attraverso una funzione matematica h.

E(Y) = 1/λ → Ψ = h(λ) = ∫ ^∞₀ dx (ad un nuovo λ' = ^h-1(Ψ))

tempo atteso (in minuti) tra 2 manifestaz. consecutive del fen. al.

Riscrivo mod. prob. iniziale rispetto al parametro Ψ:⇨ _gy^p ≠ {f_Y(y; y) = ¹⁄_Ψ e^-y⁄_Ψ y ∈ ^R+Z*, Ψ ∈ ^R+Z}

→ il classe di exp.

→ vi è una perfetta corrispondenza tra gli elem. delle 2 classe di distrib. e le 2 sono equivalenti, ma hanno un parametro Ψ.

quindi = se attend. ns Ψ = tempo atteso...

→ una rappresentazione di un mod. prob. è il parametro trasformato con una trasforma. invertibile

↘ un parametro Ψ è se tratto biunivoca

a seconda der significato del param.

→ tutte, posso scegliere una k delle 2 classi

^{λ Ψ} (questo è il modulo↘ della spec. di

→

Definizione generale di riparametrizzazione

Dato il mod. prob. per y ⋅ Ψ = {f_Y(y; y), Ψ, Θ ∈ ^R+Z} se R(θ) = φ è una funzione biunivoca

allora Ψ_{y φ} = {f_y(y; y), Ψ, Θ ∈ ^R+Z} è un riparametrizzazione del modello Ψ_y

dove Ψ = { Ψ: R(θ) → Ψ, Θ ∈ Θ } è il nuovo "spazio parametrico"

della riparametrizzazione del mod. prob. iniziale.

Recap.

Mod. stat. parametrico per y:

H.P. {y = {f_Y(y; y), Θ ∈ ^R+ } una o c dei ^{x_estreme di}X e nella ep.

m.d.c (Y₁, ..., Y_n) = v.n.c. campione di provement_n R_{fY(y; y)}≐₃₀

RC (estremo diX^{xspecifica corretta})

↘ Detto R="fattore di unite affermato sopra.

Def. - funzione di verosimiglianza (fvs)

"Dato un mod. stat. param. (come questo...) e osservato un campione y = (y₁, ..., y_n)

detto θ = θ₀, ^{definito in} (y"/>

^f). Se _{fY(y; y)} = ^{_{&fd{uating L = c{ (θ)}θ)}}(1) | (θ}) |_{^Def | ^analit.} (cnRE)

CONSTANTE ^op. A / Δ e q( B^{Può eventuali.} di 0 up 2)

↙

- Funzione di cui

>.^{6 afferra cap.} (20)

Arrisire φ_dip testistro produciamo

, ^{inspecie. 1 e} dispersione du.a

* La @ guancione modalità (c=)

Esempio - N.S. Bernoulliano

• c.c.c. -> n = 3: S = {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)}

0 0 0 0 2 3

1. T ( ȳ ) = 1/4 Y₁ + 1/2 Y₂ + 3 = (y₁, y₂, y₃)

• t r̅ a _y1,y2,y3 = [(y₁, y₂, y₃) ⇔ A t ∈ (T ( ȳ ) = a)]

t A t

• 0 (0,0,0) = A₀
• 1 (0,0,0) = A₁
• 2 (0,1,0) = A₂
• 3 (1,1,1) = A₃

realizz. camp. → così creo partizioni

della stat. → s è composta da t elem.

• Anti-img dt è = parte di s che contiene camp. a cui
• lo stat. attribuisce il valore t

(a) T : S ⇾ R ndeu. d{: fisso un valore nel codominio di T

• a partita da t. nel dominio, selezionando lo↖↗ valori t.

--> Proprieta delle statistiche (proseguendo con l’esempio)

1. T ( ȳ ) = 1/4 T₁ + 1/2 T₂ + 1/3 → R T₀ = {0,1,2,3}

Nota che la postuno emtr eiro stat. a cou so stesso suponso

e hanno in comune lo stessa partizione di S.

1. T e( ȳ ) = 6. (y₁, y₂, y₃) + 3. t ⇔ b - R Tc₂

In questo con le 4 ant. img sono rumane uguali nonostante

stat = e support.

→ cosa succede se ho una statist. e apolico una trasformazione biluniova?

Trafor. bolinivoca:

supporo =

• parquet. =
• volar. anti-img =

▷ STATISTICHE "FALSE"

HC,

• "Dato un modello statistico OCpr bius" definsco il momento campionaro di oroine Yb
• ¹/_n Σ_yi

dove _i= 1,2,3,...

momento intero ε

E5. modello Gaussiano

T(₁) = ¹/_2h ^∑(_i=1)^2h Y_i = Y stat. sufficiente per θ = (μ,σ²)

Considero un II vettore trasformo le ¹/_{v.c. camp.}) Y Y ^- T_n ¹/_n ^∑(_i=1)ⁿ Y_i media aritmetica campionaria S²_n ¹/_n-1 ^∑(_i=1)ⁿ (Y_i - Y ^-_n)² varianza campionaria sorge scalare

oltre a Y una stat. è una stat. suff. per θ = (μ,σ²)? se mostro che Il vet. è una transf. biunivoca del I vet. :) concludo che il vet. è una stat. suff. Partiamo con quello: Y_n^- d

wga lavoriamo sul modo da metterla nn nel con T₂ T₀: S²_n ¹/_n ^∑(_i=1)ⁿ (Y_i - Y^-_n)² = ¹/_n [^{∑ i=1} Y_i² - 2nY^-_nY^-_i + ^{∑ i=1} Y_i² ] = ¹/_n [^{∑ 1}/_∑$ssub$nY_i² - nY^-_n² ]`

• x stabilisce ne la transf. è biunivoca verifica se tra(ᶻ) museo:
• Y^-_T / St²_n
• T_n = T_n = Y_- T_N = nS²_{n + nY}

quando tra la I stat. e la II stat. 3 transf. biunivoca stat. suft. una stat. stat. sufficiente per θ = (μ,σ²)

non è proprio sufficine, ha delle no

• Studo della stat. suff. di un n.s." uniforme " Y \∼ Unif(θ,20) → R_γ → (0,20) ] [non sappiamo e valore θ mod. strat :
• Hp {Υ _i