Statistica - Appunti parte 2

Distribuzione Trinomiale

v.a. ^(_X)

1. R_X1X2 = { (n, y) : n ∈ {0, 1, ..., n}, y ∈ {0, 1, ..., n}, z ∈ {0, 1, ..., n}

n+y ∈ {0, 1, ..., n}

2. P_X1X2 (n, y) = ^n!/_{n1! y! (n-y)!} θ₁ⁿ θ₂^y (1-θ₁-θ₂)^n-n-y 1_RX1X2(n, y)

3. 3 costanti caratteristiche: i = 1, 2, 3, ...

• 0 ≤ θ₁ ≤ 1
• 0 ≤ θ₂ ≤ 1
• 0 ≤ θ₁ + θ₂ ≤ 1

4. ^(_X) ~ TRIN (n, θ₁, θ₂)

5. Applicazioni: n repliche indipendenti di un esp. al. che ammette 3 esiti:

• e₁ → θ₁
• e₂ → θ₂
• e₃ → 1-θ₁-θ₂

x = #repliche in cui l'esito è stato e₁

y = #repliche " " " " " e₂

z = " → z = n-x-y

VI. Proprieta

1. x ~ Bin (n, θ₁) → Dim. (stessa logica)
2. y ~ Bin (n, θ₂) → Dim. (stessa logica)
3. x e y sono ind. allora K R_X + P_Y
4. y/1-x ~ Bin (n-x, ^θ₂/_1-θ1) → Dim. (1° numero 4° dipende da stessa base)
5. x/1-y ~ Bin (n-y, ^θ₁/_1-θ2) → Dim. (stessa logica)

Cov(⟨X, Y⟩) = -n θ₁ θ₂

• E⟨X⟩ = n θ₁
• E⟨Y⟩ = n θ₂

E⟨Z⟩ = n (1-θ₁-θ₂)

E = [ ^v(X), cov(x, y)

E = [ ^{cov(y, x)}, v(y)

• v⟨X⟩ = n θ₁ (1-θ₁) → -n θ₁ θ₂
• -n θ₁ θ₂
• n θ₂ (1-θ₂)

Distribuzione Trinomiale

v.a. _^(X)

1. R_X,Y = { _(n,y) : n ∈ {0,1,...,n, ...} , y ∈ {0,1,...,}, n + y ∈ {0,1,...,h} }
2. P_X,Y (n,y) = ^n! / _{n! y! (n-y)!} θⁿ ₁ θ^y ₂ (1-θ₁ -θ₂)^n-y 1_RX(n,y)
3. 3 costanti caratteristiche: \quad i = 1,2,3, ... 0 ≤ θ₁ ≤ 1 \quad 0 ≤ θ₁ + θ₂ ≤ 1 0 ≤ θ₂ ≤ 1
4. _(X,Y) ~ TRIN (n, θ₁, θ₂)
5. Applicazioni: n repliche indipendenti di un'esp. al. che ammette 3 esiti:
   • e₁ → θ₁
   • e₂ → θ₂
   • e₃ → 1-θ₁-θ₂
   • Y: Risultato eseguito = e₁
   • X: Risultato eseguito = e₂
   X = #repliche in cui è stato e₁Y = #repliche in cui è stato e₂X,Y ∈ {0,1,...,n}Z = n - X - Y

Proprietà:

1. X ~ Bin (n, θ₁) ➔ dim. {n- x}ⁿ
2. Y ~ Bin (n, θ₂) ➔ dim. (stessa logica)
3. X e Y non sono ind. ➔ RX/Y + RY * RX
4. Y / 1-X ~ Bin (n-x, ^θ₂ / _1-θ1) ➔ dim. (stessa logica)
5. X / 1-Y ~ Bin (n-y, ^θ₁ / _1-θ2) ➔ dim. (stessa logica)
6. cov (X,Y) = -nθ₁θ₂
7. E(X) =^nθ₁ / 2n
8. E(Y) =^nθ₂ / 2n

[ cov(X,Y) / V(Y) E(X) / V(X) ] = [ vθα(1-θα) -nθ ][v -nθ ]nθ(1-θα)

Distribuzione multinomiale

X = (X₁ , ... , X_m)

1. Rx = { n ∈ {0,1,...,k} : p = 1,2,...,m, X₁ + ... + X_m = 1}
2. PX(x) = n! /x1! x2! ... xm! θx1 1 θx2 2 ... θxm n (1-θ1-θ2-...θm)
3. X ~ MULTIN (n, θ₁, θ₂, ..., θ_n) → p ho m+1 costanti caratteristiche.

Introduzione all’inferenza

• Inferenza = procedimento x indurre caratt. NON note
• Statistica di una pop. a partire da un campione (inf. campionare) estratto dalla popolazione

ESEMPIO

Voglio verificare accuratezza/regolarità def. grandezza Y di un sistema produttivo di bulloni (ctrl periodica) al. d'associare al fen. reale

• Oggetto di inf. = è q\textit{1} difettoso o non difettoso

Oggetto di inf. → = def. p.e fdm di prob. di Y non ancora nota nella mia pop.

• Inferenza quindi Y
• Y = l'incognita grandezza distributiva nella mia pop.

Oggetto di inf. in gen. è formalizzatoInferenza è condotta rispetto al parametro incognito di una certa classe di ddp

NB: Notazione: fdm := fdd ⇒ indicate entrambe con f (fdd × both)

∫ f(y; θ) dω = 1 con ω ∈ ω LΩ

• teorema

SE I FASE Procedimento In