Statistica

Statistica

La statistica studia il comportamento di fenomeni collettivi e di massa, organizza e descrive i dati di un certo fenomeno, cercando di trarre conclusioni generali sugli stessi.

Alcune definizioni...

• Popolazione statistica: Insieme degli elementi che riguardano un determinato fen.

• Unità statistica: Singolo elemento che appartiene alla popolazione.

• Campione statistico: Parte o sottoinsieme della popolazione.

• Osservazione: Lo specifico valore che il fenomeno assume in una determinata unità.

Variabile casuale = Fenomeno

Il Fenomeno

• Quantitativo

  • Discreto: I valori sono di un insieme discreto
  • Continuo: Può assumere infiniti valori

• Qualitativo

  • Ordinale: I valori sono in ordine
  • Categoria: I valori attribuiscono ai depen (es. No/F si)

Indagine statistica

Sperimentale

Su campione

Si accolgono idee

Statistica

• Descrittiva: Oltre sintesi degli elementi.

• Induttiva: Distribuzione dei valori di probabilità dei valori dell fen.

Statistica

x₁, x₂ ... x_n n° osservazione

Dato: Popolazione di dimensione N

• H₁, d₁, d₂ ... d_k < k le modalità con cui il fen. si manifesta nella pop.

n = 9

120, 100, 250, 120, 125, 100, 252, 120, 252

le k est sono 100, 120, 125, 250, 252

k = 5 "nuove alienza"

➲ Xk valori distinti

Statistica

La statistica studia il comportamento di fenomeni collettivi e di massa, organizza e descrive i dati di un certo fenomeno, cercando di trarne conclusioni generali su di esso.

Alcune definizioni...

• Popolazione statistica: insieme degli elementi che riguardano un determinato fenomeno.
• Unità statistica: singolo elemento che appartiene alla popolazione.
• Campione statistico: parte o sottoinsieme della popolazione.
• Osservazione: lo specifico valore che il fenomeno assume in una determinata unità.

Il Fenomeno

• Quantitativo:
  • Discreto: i valori sono in un insieme discreto
  • Continuo: può assumere infiniti valori
• Qualitativo:
  • Ordinale: i valori sono in ordine
  • Categorico: i valori dell'insieme di categorie (es. note)

Indagine statistica

• Sospensione
• Si accapona idea

Statistica

• Descrittiva: oltre strumenata matematica.
• Induttiva: da distribuzione dei valori di probabilità dei valori del fenomeno.

Statistica

Dati: popolazione di dimensioni h₁, d₁, d₂, ..., d_k

x₁, x₂, ..., x_n n° osservazioni

1. n=9

• 120,100,250,120,125,100,252,120,252

x_k valori distinti

• k k modalità

Ce test sono 100,120,125,250,252

k = 5 "nuova caliónia"

Frequenza assoluta

della generica modalità di:

i° osservazioni della popolazionedi = Fi = h∑_i=1^k Fi = N

• F(100) = 2
• F(110) = 3
• F(115) = 1
• F(150) = 1
• F(152) = 2

Frequenza relativa

fi = Fi / npercentuale dei casi∑_i=1^k fi = 1

• f₁ = 2/9
• f₂ = 3/9
• f₃ = 1/9
• f₄ = 1/9
• f₅ = 2/9

Frequenza cumulata assoluta

n° oss ≤ diF_c = F₁ + F₂ + F₃ + ... + F_iSomma delle freq. assolute delle modalità ≤ di∑_i=1^k F_c = N

• Fc₁ = 2
• Fc₂ = 5
• Fc₃ = 6
• Fc₄ = 7
• Fc₅ = 9

Frequenza cumulata relativa

% n° oss ≤ diF_c del minimo = 0

• f_c = F_c / n
• F_c = F_i=1 + ... + F_i

Istogramma della freq

(disegno vel.)_{DENSITÀdi / di+1 di freq.Area deve essere proporzionale alla frequenza relativahi = A / (a - ai)}

Indici statistici

MEDIA

media, mediana, moda, quartili

µ = somma sss / n

x pps: Indaco µ x complesso x

µ = (Σ xᵢ) / n

li = Σₖ fᵢ dᵢ / Σ fᵢ

li = f₁ d₁ + f₂ c₂ + ... + fₖ cₖ / h

media ponderata

1. µ = (120 + 100 + 250 + 120 + 125 + 100 + 125 + 110 + 250) / 9

1. li = (100 x 2) + (120 x 3) + (125) + (250) + (2 x 25 x 2) / 8

1. n = 10

1. x₁ = 176 x₂ = 184 x₃ = 177 x₄ = 193 x₅ = 194 x₆ = 196 x₇ = 199 x₈ = 176 x₉ = 179

• c₁ = 173 c₂ = 184 c₃ = 193 c₄ = 199 c₅ = 239
• d₁ = 3 d₂ = 5 d₃ = 7
• f₁ = 1/10 f₂ = 2/10 f₃ = 3/10
• d₅ = 39

• F₁ = 1 F₂ = 3 F₃ = 6
• f₅ = 2/10

ΣF = 10 = n ok

Σf = 1 ok

xᵢ - x + c x - t c x + c - c

(c x, c_X, c_X)

Traccia sulla media

k₁, x₂ ... x_n, µ

media ponderata

Ad ogni osservazione assegni importance diversa ρ₁, ρ₂, ρ_n

g_ip = (Σ pᵢ xᵢ) / Σ pᵢ

1. Informatica voto 27 P₁ = 2
2. Statistica voto 30 P₂ = 1

voto = ((27 x 2) + (30 x 1)) / 3 = 28

MEDIANA

(L'en parlato) È il valore del primo ordine il numero di osservazioni pari

1. se n oss è PARI — non c'è val centrale — ferma media dei 2 c.x. centrali
2. se n oss è DISPARI — ferma il valore che cade

• 62 28 90 62 73 80 32 96 36 MIO FERI!
• 28 8 96 62 in orcine
• bordo ferie ferie + pstruvium

MODA

А 90 è 28

QUARTILE - divide in 4 il numero delle oss

DECILE - divide in 10 il n oss

PERCENTILE - "100"

Indici di dispersione

1. Campo di variazione

2. Scarto per mezzo assoluto

3. Varianza

(scarto quadratico medio)

4. deviazione standard

1. Campo di variazione

   R differenza tra l'oss + grande e + piccola R = X_max - X_min

2. Scarto

   rispetto ad un'osservazione x_i S_i = x_i - g_x numeri >= _i

   d_i = k · d_i

   d_i = ΣS_i/n = 0

   d'amo = (x_i - g_x)

   g_x = Σx_i/n

3. Scarto medio-assoluto

   è il medio degli scarti assoluti

4. Varianza

   σ²= S₁² S₂² S_n²

   σ = √(Σ(x_i - g_x)²/n)

   σ²

Minore è la varianza, meno i dati sono dispersi

La varianza è una misura quadratica - Se le oss sono in cm σ² è in cm² - si esprime radice.

♀ Deviazione standard o scarto quadr. medio

♂ EsempioAnna = 30, 30, 28, 30, 26Stefano = 21, 30, 30, 30, 30

Più variabili

Oss. con n variab. i fenomeni - abbiamo coppie di osservazioni (X_i, Y_i).

Esempio

• n = 6
• h176158145167171
• kg6542436457

si nota che Sh, kg

cov (h, kg) = 133.9

osservare

Covarianza

\(\mu_x = \frac{\sum x_i}{n}\)

\(\mu_y = \frac{\sum y_i}{n}\)

\(\text{COV}(x,y) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu_x)(y_i - \mu_y)\)

Se cov > 0 al crescere di x cresce anche y

Se cov < 0 al crescere di x decresce y

\(\text{COV}(x,x) = \sigma^2_x\)

\(\text{COV}(x,y) = \text{COV}(y,x)\) ASIMMETRICA

MATRICE DI COVARIANZA

• \(x \quad \sigma^2_x \quad \text{cov}(x,y)\)
• \(y \quad \text{cov}(y,x) \quad \sigma^2_y\)

\(x\)

\(y\)

valori pari di cov indicano l'energia fra le 2 var.

cov = 0 variabili non hanno legame

Coefficiente di correlazione lineare

Quando le variabili saranno su una retta

\(r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sigma_x \sigma_y}\) asimm

\(r_{xx} = \frac{\sigma^2_x}{\sigma^2_x} = 1\)

\(-1 \leq r_{xy} \leq 1\)

I valori

\(r = +1\)

\(r = -1\)

\(r = 0\)

variabili sono legate secondo una retta con m > 0

variabili sono legate secondo una retta con m < 0

indipendenza tra le due variabili

MATRICE

• \(x \quad \sigma^2_x \quad \text{cov}(x,y)\)
• \(y \quad \text{cov}(y,x) \quad \sigma^2_y\)

• \(x \quad r_{xy}\)
• \(y \quad r_{yx} \quad 1\)

un esempio pr.: \(\text{cov}(x,y) = 13.3\)

\(\sigma_x = 12.13 \quad \sigma_y = 12\)

\(r_{xy} = \frac{13.3}{12 \times 12.13}\)

\(r = 0.92\)

\(\text{calc}\) \(0.92\)

Esercizio di esame Rispondi con V e F, motivando

1. La f.c. e' sempre >1 F e' sempre 0
2. - tutta l'area sotto a p(x) deve essere = 1 ...
3. - l'area sotto a un ... (finito) ...

... VALORE ATTESO E(x) o medio ...

VARIANZA

Var(x)

Var(x) = ∫_-∞^+∞ (x - E(x))² p(x) dx

Var(x) = ∑_i=1^q (x_i - E(x ))² ρ(x_i)

PROBABILITÀ CUMULATA

P^c(x) = ∫_-∞^x ρ(y) dy

fornisce la probabilità di avere un valore minore o uguale a x

• P(x ≤ k) = P^c(k)
• se x → ±∞ P^c(x) → 1
• P(x ≥ k) = 1 - P^c(k)
• P(c(k_c) = P^c(h) da val. compreso

MEDIANA

P^c(X_m) = ∫_-∞^+∞ p(x) dx = 0,5 (2˚caratt. d'un prob.)

MODA

valore a cui corrisponde un massimo della p(x) determinata dalle iterazioni dei max var.

NB! P(x ≤ b) - P(x ≤ h) P(x ≤ b) P(x ≤ h)

Distribuzione Uniforme

P(x) = ¹/_b-a a ≤ x ≤ b

ρ(x) = 0 x ≤ a x > b

Seguita da una var. continua in [a,b]

Δ=1

E(x) = X_m = ^a+b/₂

Var(x) = σ² = ^(b-a)2/₁₂

• p^c(x) = 0 x < a
• p^c(x) = ^x-a/_b-a a < x < b
• p^c(x) = 1 x > b

Esercizio

L'ombrellone (cm) con cui si misurano le durate di vita sperimentali è distribuito secondo una uniforme con parametro a = 100 e b = 500. Calcula prob.

• di scegliere un ombrellone < 100 cm
• di "" " " compreso tra 200 e 400 cm

Mi manca p(x) = ¹/_b-a = ¹/₄₀₀

^400-200/₄₀₀ = 0,5

Distribuzione normale o Gaussiana

P(x) = ¹/_σ√2π e ^-(x-µ)2/_2σ²

∞ <= x <= ±∞

La normale è simmetrica e asimmetrica

Valore ≈ µ dev. standard: σ

μ = x = modo

Intorno al σ i valori sono più densi attorno ad µ

Intervallo amplia 2σ

Area = 0.68

Distribuzione normale standard

µ = 0

σ = 1

P(z) = ¹/_√2π e ^-z2/₂

-∞ < z < +∞