Statistica - Appunti parte 1

10/11/2020

Info preliminari

Ricevimento : scrivigli via mail o Teams

Contenuti del :

• metodi statistici o al x sui metodi nello sta sviluppati su un certo modo
• tipo di fenomeni (alettorio e multivariah)

appetenza.

*tecnica > basata sulla fine di varianza. E\n modello di struça paroutenico e test di norme

• PARTIE 1 o > oo.e > perché ci sciaov
• PARTIE 3 4.cuole te di concentratin aggiuntive o
• 10 CFU o 6 CD:

- ogni settimana 2W

a partire dalla III settimana di lezione:

24/11 o 8:00-11:00 (MARTEDI)

1/12 col tutto

4/12

15/12

TESTI d'esame:

1. McColl, Multivariate Probability -> capp. 4-8 [ il testo è in inglese ] -> Contenuti di probabilità\n ( PARTE 4 )
2. Azzaalini, lnferenza statistica -> capp.1-4 ( PARTE 2)(II edizione)

• indispensabile 91 appunti
• x no preparazione sufficiente →
• esame dell'esame il

• Libro (1) -> Lo spiegano una maniera rigorosa e analystica(stretta corrispondenza con libro e notazione)
• Libro (2) -> non è ricco di esempi e
• con appunti
• Rutenzo.

- dispuse: - camenza mod. prob. vunanoh

- tabella simesi J

- er. esercizi d'envase e equj RISOLUZIONE

Esame: devi conoscere la teoria e la devi sapere applicanc(com. teosiche e com. pratiche)

• esame non GVIO
• ESAME SOLO IN FORMA SCRITTADOM. TEO E ESERICH
• SOLO DISPENSA E CALCOLATRICE
• PROVA DA RICHIEDERE ***
• Alma Esami

lo mesc. di o compenswa

Il Partaale

media aumno wk 2 pantalla

voto Tosote

• * Recupera lacune
• * freq.lezbona
• * Studia, volta o volta
• * speia esame ol e pronto

PROVE D'esame :

• 25/11/21 1 Parteale = omme 30 u. lez.
• 8/4/21 II parteale e I Totaleultimo 3o l.
• 4/6/21 II TOT.
• 6/13/21 II TOT.
• gern. 22 II TOT.

Notazione:

• X generica v.c.
• z generica determinazione/realizzazione della v.c. X
• R_X supporto della v.c → Insieme possibili det. v.c X

Distribuzione di prob.

funzione di ripartizione della v.c X = F_X:

↓ regola specificano il valore della F in una det. realizzazione:

• F_X(x₀) = P(X ≤ x₀) ∀x∈ℝ

F_X: ℝ → [0, 1]

3 proprietà generali di F_X:

1. lim_x→-∞ F_X(x) = 0   F_X(-∞)
2. lim_x→+∞ F_X(x) = 1   F_X(+∞)
3. a≤b si ha F_X(a) ≤ F_X(b) → funz. di rip. è una funz. monotona non decresc. di X
4. lim_h→0 F_X(x+h) = F_X(x) ∀x∈ℝ , (h>0) → funz. di rip. è continua a destra

Notazione:

• Variabili casuali
  • DISCRETE
  • CONTINUE

R_X = supporto della v.c

• se è un insieme finito di valori → v.c discreta
• se è un insieme infinito numerabile di valori → v.c discreta
• se è un insieme infinito non numerabile di valori → v.c continua

X discreta:

• Funzione di massa di probabilità

p_X(x) =

• P(X=x) , x∈R_X
• 0 , x∉R_X

3) VC Geometrica

RX = {1, 2, … } → valore min=1 xk devo effettuare almeno 1 rip.

p_X(x) = p (1-p)^x-1 1_RX (x)

• Costante caratteristica: p con p ∈ [0, 1]
• X ∼ Geom(p)

* p compare in (1), (2) e (3)

→ qnd si usa? Fenomeno associato a repliche esperim. aleatorio Bernoulliano.

Questo esp. ad 1 eseguo 1 ripetum. e individuo subit. ql esp.

Finché non ottengo l’esito “successo”

Quindi X = #repliche necessarie per registrare

l’evento “successo”

Graficamente : Asimmetrico → ma è “Forte”

Positiva sempre → quando p è elevato

4) VC Binomiale Negativa

RX = {k, k+1, … }

p_X(x) = (x-1)^k-1 . p^k (1-p)^x-k . 1_RX (x)

• ho 2 costanti caratteristiche : k e p

k ∈ ℤ⁺⁺ (no 0)

p ∈ [0, 1]

X ∼ BinN(k, p)

→ ESPERIM. AL. BER. → x_replic un avven. udlp

tante volte qnt ne servono x registr

questo succ per k volte

X = #repliche necessarie

per registrare l’evento

“successo” PER k VOLTE

• PROPRIETA' della funzione matematica Γ(α): (appendice 2 sul McCall)
  1. Γ(α) = (α-1) Γ(α-1) per α > 1 (formula ricorsiva)
  2. Γ(n) = (n-1)! per n = 1, 2, ... (se α è un numero intero positivo)
  3. Γ(¹/₂) = √π per α = ¹/₂

  NB. funz. speciale gamma ≠ vc gamma!

  2 cost. caratt. -> α e λ entrambe ∈ ℝ⁺

  ⨯ ∨ ∨ Gamma (α, λ)

• Se ∝ x: f_X(x) = ¹/_Γ(α) . λ^α . x^α-1 . e^-λx . 1/Γ_RX(x) = λ e^-λx . 1/Γ_RX(x)
• f_X(x) di una vc esponenziale

➡ si usa anche vc x = t tempo che uler. tra l' ist. urtabile e l' istante

i tempi di avvio che satu o verifica l’ arrs equma manifestata: un evento aleat. di interesse

⨯ α = 1: Ι maurt. evento di urt

(exp. Geometrico)

⨯ α = 2: non uso l'exp. bin reg.

• graficamente f_x(x): vedi dispensa

VC CHI-QUADRATO

Caso Partic. VC ∂ per α = ν/2 e λ = 1/2 : ν numero intero ⊕.

• f_X(x) = ¹/_Γ(ν/2) (1/2)^ν/2 x^(ν-1)/2 e^{-½ x} . 1/Γ_RX(x)
• 1 cost. caratt. -> "ν" = ν = #gde
• R_X = ℝ⁺

⨯ si usa au aubio di metodi statistica univensalle

⨯ ∨ ∨ x²(ν)

• graficamente f_x(x): dispensa

⨯ abbiamo vc ⨯_N(0,1) |[N ⨯²⇀ x²(ν = 1)

(lo dusostrerno)

• X~Pare(2m,k)

Esercizi da risolvere

1. Opportuna distrib. di prob. per X? Binomiale secondo me.

dD = valutate al processo produttivo

VC discreta o continua? Discreta ➔ # guarnizioni difettose = 1,2,3,...

Abbiamo dDp discreta:

VC = # guarnizioni difettose ➔ il conteggio lo faccio dopo averne scelte 500

X~Bin(500,p)

• # tot. guarnizioni. Pezzi con enormi guarnizioni......na guarnizione da difettosa...

Indicatori x studiare ua vc

1. Centro o locazione della distribuzione di X
2. Dispersione "" "" di X
3. Indicatori :
   1. Valore atteso
   2. Mediana
   3. Moda
4. Indicatori :
   1. Varianza
   2. Scarto quadratico medio
5. Valore atteso di X ➔ E(X) =
   1. x_z∈Rx f_x(x_z) x discreta
   2. x_z∈Rx f_x(x_z) dx x continua

Non è detto che questa misura ➔ x tutte le vc ➔ potrei avere un risultato non finito (anni non finiti)...