Statistica

INTRODUZIONE ALLA STATISTICA

• Disciplina costituita da un insieme di metodi scientifici e strumenti volti a raccogliere,

rappresentare, sintetizzare e analizzare fenomeni collettivi o di massa, scoprire leggi e relazioni tra

gli stessi, con il fine ultimo di sodisfare l’esigenza sempre sentita dall’uomo di razionalizzare le

proprie conoscenze in ogni campo del sapere.

STATISTICA METODOLOGICA: costituisce la parte teorica, nasce dall’esigenza di utilizzare strumenti

comuni per analizzare fenomeni di diversa tipologia. Essa si fonda su metodi matematici e strumenti propri

per l’analisi dei dati relativi a fenomeni collettivi. Si avvale dell’apporto di altre discipline (matematica,

calcolo delle probabilità, ecc.) ed elabora metodi idonei ad esprimere un giudizio quantitativo su certi

aspetti di tali fenomeni

STATISTICA DESCRITTIVA: mira all'organizzazione, all'analisi tabellare e grafica per comprendere l’esito

della rivelazione. Insieme di metodi e tecniche per sintetizzare l’informazione contenuta nei dati. Gli

strumenti di sintesi sono essenzialmente di 3 tipi: tabelle, rappresentazioni grafiche, indici sintetici.

Attenzione

Quando sintetizziamo l'informazione contenuta nei dati, ne perdiamo una parte

Gli strumenti di sintesi devono essere scelti in modo tale da:

• preservare, per quanto possibile, l'informazione rilevante per il problema analizzato

• eliminare l'informazione non necessaria

LE FASI DI UNA RICERCA STATISTICA:

1. Definizione del fenomeno in base agli obiettivi della ricerca

2. Individuazione del collettivo in cui il fenomeno si verifica

3. Scelta delle caratteristiche del collettivo che interessano la ricerca

LE RILEVAZIONI

La rilevazione dei dati consiste nella annotazione sistematica, precisa e impersonale della modalità delle

variabili riscontrate sull'unità.

Le rilevazioni possono essere:

• TOTALI o CENSIMENTI: riguarda tutti gli elementi o unità di una popolazione rispetto alle variabili

di interesse (POPOLAZIONE)

• PARZIALI: la rilevazione è estesa solo ad una parte di popolazione scelta in base ad opportuni criteri

(CAMPIONE).

La riduzione delle unità, propria del METODO CAMPIONARIO, è valida solo se permette il raggiungimento di

risultati molto prossimi di quelli ottenibili con la TOTALE.

PERCHÈ IL CAMPIONE?

La rilevazione totale non è sempre praticabile perché:

• Ha un costo eccessivo o richiede grandi organizzazioni

• Richiede troppo tempo

• È superflua, rischiosa (Esempio: vaccino), distruttiva, lenta

LE FASI DI UN’INDAGINE STATISTICA

riguarda la definizione del problema da analizzare in tutti i suoi aspetti.

1. Piano di rilevazione:

Fase preparatoria e preliminare alle fasi successive.

Successivamente bisogna definire:

campo di indagine

a. metodo di rilevazione: diretta (totale o parziale) – indiretta – sperimentale

b. periodo di rilevazione (cioè quando effettuare la raccolta)

c. personale e organizzazione necessaria

d. tempi e costi di rilevazione e di elaborazione

e. diffusione dei risultati (pubblicazioni, convegni...)

f.

2. Raccolta dei dati: consiste nell'acquisizione della documentazione statistica di partenza, secondo le

modalità definite nella fase preparatoria, con tutte le informazioni relative a tutte le unità

statistiche considerate e quindi rappresenta la base di partenza per la formazione dei dati statistici

necessari alle successive analisi.

3. Classificazione: riguarda la trasformazione dei dati grezzi in forma statisticamente trattabile.

4. Spoglio dei dati: è l’insieme delle operazioni che hanno lo scopo di fare le prime aggregazioni delle

informazioni raccolte sulle singole unità.

Lo spoglio che può essere di due tipi:

a. Spoglio manuale che è la forma più elementare (si fa nelle sezioni elettorali per

determinare i voti ricevuti da ogni lista e/o candidato)

b. Spoglio con mezzi informatici (che consente una più alta velocità e una maggiore

precisione)

5. Elaborazione dei dati: riguarda tutte le possibili elaborazioni che possono essere effettuate a

partire dal file dei dati creato nella fase precedente. In questa fase si applicano i procedimenti

propri della metodologia statistica.

6. Interpretazione dei risultati: riguarda l’analisi dei risultati ottenuti e l’isolamento dei risultati

significativi emersi dalle analisi effettuate.

NOMENCLATURA STATISTICA

• UNITÀ STATISTICA: è il soggetto elementare su cui vengono osservati i caratteri oggetto di studio

(una persona fisica, un oggetto, un’azienda...)

• COLLETTIVO STATISTICO O POPOLAZIONE: è un insieme di unità statistiche omogenee rispetto ad

una o più caratteristiche. La popolazione non concerne necessariamente esseri viventi (umani o

animali) ma può concernere qualsiasi insieme di elementi, reale o teorico, che appartiene al

presente o al futuro.

• CARATTERE STATISTICO: è l'aspetto che si intende studiare nel dato. Può essere una distanza, una

numerosità, una forma, un grado, una composizione di caratteristiche da trattare in modo

aggregato.

Classificazione dei caratteri statistici

Le modalità di un carattere possono essere:

1. QUANTITATIVE ossia espresse da numeri, ad esempio, l'età in anni compiuti, il reddito in euro, la

temperatura in gradi centigradi ..., in tal caso il carattere si dice quantitativo o variabile.

Carattere Quantitativo = Variabile

I caratteri quantitativi vengono distinti in:

• DISCRETI se sono in numero finito o al più un'infinità numerabile

Esempio: il numero di figli, numero di pezzi prodotti, voto ad un esame.

• CONTINUI se l'insieme delle modalità può essere messo in corrispondenza biunivoca con un

sottoinsieme di numeri reali,

Esempio: il peso, l'altezza.

2. QUALITATIVE ossia espresse da termini nominali, categorie, attributi, numeri convenzionali ad

esempio il sesso, le professioni in libero professionista, dirigente, impiegato, artigiano, i colori, i

mesi ... in questo caso il carattere si dice qualitativo o mutabile.

Carattere Qualitativo = Mutabile

Classificazione delle mutabili

Un carattere qualitativo viene distinto in:

• CARATTERE SCONNESSO (o con scala nominale) se date due sue modalità è possibile affermare

solo se sono uguali o diverse;

Esempi di caratteri sconnessi sono: sesso, stato civile, religione, razza.

Tra le modalità di ciascuno di questi caratteri non è possibile stabilire un ordinamento e quindi le

modalità possono essere elencate in modo del tutto arbitrario.

• CARATTERE ORDINATO (o con scala ordinale) se date due modalità è possibile solo dare un ordine,

specificando che una precede l'altra;

esempio: grado di soddisfazione (poco, abbastanza, molto), titolo di studio (senza titolo, licenza

elementare, licenza media, diploma, laurea, dottorato).

I caratteri ordinati si dicono:

1. RETTILINEI: se possiedono una modalità iniziale ed una finale

Esempio: titolo di studio

2. CICLICI: se non hanno vere e proprie modalità iniziali e finali ma vengono spesso fissate in modo

convenzionale

Esempio: la direzione del vento o le stagioni (si nota che le modalità estreme sono in realtà molto

prossime tra loro).

Un carattere viene detto se ha senso immaginare che un’unità statistica possa cedere tutto o

TRASFERIBILE

parte del carattere posseduto ad un’altra unità statistica

Quantitativo Qualitativo

Discreto Sconnesso (scala nominale)

Continuo Ordinato (scala ordinale)

Trasferibile Rettilineo

Non Trasferibile Ciclico

Caratteri dicotomici

I caratteri dicotomici detti anche variabili logiche, dummy, variabili indicatrici binarie, hanno solo due

modalità: maschi e femmine, vivi o morti, ecc.

Le unità statistiche sono classificate in base alla classificazione per dicotomia: presenza /assenza di un dato

attributo. Alle modalità "presenza" si attribuisce, convenzionalmente, valore a e alle modalità "assenza"

valore b, con a e b simboli qualsiasi (ad Esempio: 0 e 1).

SUDDIVISIONE IN CLASSI DI UN CARATTERE QUANTITATIVO

Si definisce suddivisione del carattere in classi l’operazione consistente nel suddividere l’insieme di

possibili valori in intervalli tra loro disgiunti.

Questa operazione consente di ottenere un’immagine sintetica della distribuzione osservata, anche se a

prezzo di una certa perdita di informazione.

Le classi possono avere uguale o diversa ampiezza; per ampiezza si intende la differenza tra estremo

superiore ed estremo inferiore.

È opportuno definire le classi in modo tale che:

1. Il loro numero sia abbastanza piccolo da fornire una sintesi adeguata ma sufficientemente grande

da mantenere l’informazione con un livello accettabile di dettaglio;

2. Siano tra loro disgiunte;

3. Comprendano tutte le possibili modalità del carattere;

4. Abbiano, se possibile, la stessa ampiezza.

Nello stabilire gli estremi della classe occorre tener presente che ognuna delle determinazioni del

carattere deve essere compresa in una ed una sola classe.

Per considerare sia il limite inferiore che il limite superiore appartenenti alla stessa classe, è necessario

utilizzare un apposito simbolo di separazione, un trattino orizzontale chiuso ad entrambi i lati mediante due

rette verticali.

• 0|--|4 da zero a quattro incluso

• 4 --|6 da quattro (escluso) a sei (incluso)

• 7|-- 8 da sette (incluso) a 8 (escluso)

La chiusura soltanto a destra indica la presenza di un intervallo chiuso con un estremo superiore incluso

nella classe. La chiusura soltanto a sinistra, invece, indica un intervallo chiuso con l'estremo inferiore

incluso nella classe.

• un numero troppo basso di classi, raggruppando eccessivamente i dati, determina una perdita di

informazione sulle caratteristiche della distribuzione e la rende non significativa;

• un numero troppo elevato di classi disperde i valori e non rende manifesta la forma della

distribuzione.

Dalle Distribuzioni Unitarie Alle Distribuzioni Di Frequenza

• Si definisce DISTRIBUZIONE UNITARIA SEMPLICE quando l’elencazione delle modalità osservate,

unità per unità, nel collettivo preso in esame.

• Si parla di DISTRIBUZIONE UNITARIA MULTIPLA quando tale elencazione si riferisce a più di un

carattere.

La distribuzione unitaria pur riportando per ogni unità i valori dei caratteri presi in esame, non consente di

cogliere in maniera sintetica le caratteristiche del fenomeno. Ovviamente tale operazione diventa

impraticabile quando si considerano collettivi con numerosità elevata.

Per ottenere una maggiore sintesi è possibile considerare per ogni carattere la frequenza con cui le diverse

modalità sono state osservate.

• La FREQUENZA ASSOLUTA di una modalità di un carattere è il numero di volte che questa viene

osservata nel collettivo.

o Tramite le frequenze si può ottenere una rappresentazione molto più sintetica denominata

appunto distribuzione di frequenze.

La DISTRIBUZIONE DI FREQUENZE SEMPLICE associa alle modalità che può assumere un carattere X,

qualitativo o quantitativo, le corrispondenti frequenze assolute.

• Si dice semplice se è riferita ad un unico carattere;

• si dice doppia se è invece riferita a due caratteri congiuntamente

• si dice multipla se si riferisce a più di un carattere.

In generale si consideri un carattere con x modalità che chiameremo genericamente , , , ….., ,

1 2 3

osservato su n individui, e siano , , ,…. le frequenze delle k modalità.

1 2 3

La distribuzione di frequenze semplice del carattere x è rappresentata dalla seguente tabella:

Se il carattere x è quantitativo ordinabile, la sequenza di modalità x1, x2, …, xk viene ordinata dall’alto verso

il basso in senso crescente o decrescente.

Riprendendo i dati della tabella precedente, si possono costruire le distribuzioni di frequenze semplici per

ogni carattere osservato.

Il processo di sintesi dell’informazione ottenuto attraverso la distribuzione di frequenze ha il vantaggio di

evidenziare le caratteristiche del fenomeno sul collettivo di unità preso in considerazione.

Tuttavia ogni processo di sintesi implica una perdita di informazione. In questo caso si perde la conoscenza

di quali unità hanno presentato certe modalità delle variabili.

FREQUENZE RELATIVE E PERCENTUALI

• La FREQUENZA RELATIVA è il rapporto tra la frequenza assoluta e il numero totale di unità

osservate

• La FREQUENZA PERCENTUALE è pari alla frequenza relativa moltiplicata per 100.

FREQUENZE CUMULATE

Nel caso in cui le modalità del carattere in esame siano ordinate può essere interessante considerare la

frequenza con cui si presentano modalità di ordine inferiore o uguale ad una certa modalità.

La DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE CUMULATE si ottiene sommando progressivamente le frequenze.

Dato un carattere con modalità ordinate in senso crescente, si indica con:

= + + ⋯ +

1 2

La FREQUENZA ASSOLUTA CUMULATA: è la somma della frequenza assoluta della modalità di posto e

delle frequenze assolute che la precedono con

= + + ⋯ +

1 2

La FREQUENZA RELATIVA CUMULATA: è la somma della frequenza relativa corrispondente alla modalità di

posto e delle frequenze relative che la precedono con

= + + ⋯ +

1 2

La frequenza percentuale cumulata corrispondente al j-esimo valore. È la frequenza cumulata relativa

moltiplicata per 100

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE

Le rappresentazioni grafiche hanno lo scopo di visualizzare la composizione di un insieme di dati, cioè della

variabile statistica.

• I vantaggi delle rappresentazioni grafiche sono fornire una visione sintetica ed essere di facilmente

interpretabili.

• l’inconveniente è di mancare di precisione e, soprattutto, d’essere soggettive, cioè di permettere

letture diverse degli stessi dati.

• Grafici a barre → per caratteri qualitativi ordinati, caratteri quantitativi discreti

• Grafici ad aree → per caratteri quantitativi continui nel tempo

• Istogrammi → per caratteri quantitativi continui suddivisi in classi

• Grafici a torta → per caratteri qualitativi non ordinati o ordinati ciclici

• Grafici radar → per caratteri ciclici

• Cartogrammi → per serie territoriali

• Ideogrammi → per caratteri qualitativi e quantitativi

• Diagrammi cartesiani → per serie temporali

Grafici a barre

→ per caratteri qualitativi ordinati, caratteri quantitativi discreti

Nei diagrammi a barre e a nastri (ortogrammi) ogni frequenza o intensità della distribuzione viene

rappresentata da una barra o da un nastro in modo da ottenere una successione di rettangoli con la stessa

base (o altezza) e le altezza (o le basi) proporzionali alle frequenze o quantità.

Quando il carattere è qualitativo ordinato o quantitativo, e preferibile utilizzare il grafico a barre poiché le

barre poste sull’asse orizzontale permettono di cogliere meglio l’ordinamento delle modalità

ESEMPIO

Valutazione della risposta all’applicazione di due farmaci antipiretici a 100 pazienti.

Classificazione Farmaco A Farmaco B Fa rma c o A Fa rma c o B

Peggioramento 3 5 60

50

Nessuna Variazione 4 7 40

Lieve Miglioramento 15 16 30

Miglioramento 52 29 20

Guarigione 26 43 10

0

Totale 100 100 pe ggior. ne ssuna va r. lie ve miglior. migliora me nt o gua rigione

Grafici ad aree

→ per caratteri quantitativi continui nel tempo

Mostra l'importanza relativa dei valori in un dato periodo di tempo. Sebbene sia simile al grafico a linee, il

grafico ad aree evidenzia maggiormente l’andamento del fenomeno rispetto alle modalità di un carattere

continuo quale il tempo.

Consiste in una spezzata che unisce i punti che hanno come coordinate i valori delle frequenze

corrispondenti ai valori di ascissa osservati.

L’area sotto la spezzata viene colorata per evidenziare maggiormente l’andamento del fenomeno.

ESEMPIO

Vendite di un particolare tipo di croccantini per regione

Anno Veneto Valle d’Aosta Piemonte Lombardia Liguria

2003 45000 35000 37000 50000 56000

2004 68000 69000 70000 75000 68000

2005 145000 100000 123000 130000 150000

Vendite per regione

700000

600000

500000 Liguria

Lombardia

400000 Piemonte

300000 Valle D'Aosta

200000 Veneto

100000

0

2003 2004 2005

Grafici radar

→ per caratteri ciclici

Per rappresentare un carattere attraverso un grafico a radar:

1. si suddivide l’angolo di 360° con tanti raggi quanti sono le modalità del carattere;

2. agli angoli compresi tra le coppie di raggi si attribuisce stessa ampiezza

Esempio: se le modalità sono i mesi dell’anno, si avranno 12 raggi distanziati da angoli di

30°;

3. su ogni raggio si calcola un segmento di lunghezza proporzionale o uguale alla

corrispondente frequenza.

Graficamente può essere efficace unire con una spezzata gli estremi dei segmenti e colorare l’area interna

al poligono.

ESEMPIO

Analisi nutrizionale dei cereali Vit. A Vit. B1 Vit. B2 Vit. C Vit. D Vit. E

Tipo A 34 23 56 3 23 89

Tipo B 23 45 12 78 90 12

Tipo C 12 13 15 16 10 16

Vitamina A

100

80

60

Vitamina E Vitamina B1

40

20 Tipo A

0 Tipo B

Tipo C

Vitamina D Vitamina B2

Vitamina C

Diagrammi a torta

→ per caratteri qualitativi non ordinati o ordinati ciclici

• Si usano in presenza di distribuzioni delle freq. relative percentuali di una